IIR和FIR数字滤波器的设计及其结构研究.doc
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IIR和FIR数字滤波器的设计及其结构研究
1.摘要
数字滤波器是一个离散系统,其系统函数一般可以表示为的有利多项式形式,即
(1-1)
当{;i=1,2,...,N}都为零时,由式1-1描述的系统为有限脉冲响应数字滤波器,简称FIR数字滤波器。
当系数{;i=1,2,...,N}中至少有一个为非零时,式1-1描述的系统称为无限脉冲响应数字滤波器,简称IIR数字滤波器。
对于数字滤波器,一般满足,这是系统称为N阶IIR数字滤波器。
对于FIR数字滤波器,系统函数中的有理多项式的最高次幂就是其阶数.
2.数字滤波器设计的意义
随着数字集成电路,设备和系统技术的快速进步,通过数字方法进行信号处
理已变得越来越有吸引力。
目前主要有两类滤波器,模拟滤波器和数字滤波
器,它们在物理组成和工作方式上完全不同,而模拟滤波器的技术发展已相当成
熟,与模拟滤波器相比,数字滤波器是DSP(数字信号处理)系统独特而又重要的一类,是通过计算算法将输入数字序列转换为不同输出序列的离散时间系统,具有更高的精确度和可靠性,使用灵活、方便,已经成为数字信号处理技术中的重要手段。
如频谱分析,数字图像处理和语音处理等等。
目前随着计算机技术和数字信号处理器芯片的发展,研究不同数字滤波器的设计原理和稳定性分析对于满足军事、航空、民营等等各个领域的信号处理要求具有十分重要的意义。
3.IIR数字滤波器设计的基本过程
IIR滤波器的设计就是根据给定的数字滤波器指标确定滤波器的阶数N和系数﹛﹜。
在满足技术指标的条件下,滤波器的阶数应尽可能的低,从而降低成本。
我们在设计IIR数字滤波器时一般是通过模拟滤波器来设计数字滤波器。
其中IIR数字滤波器的设计过程如图3.1。
待设计数字滤波器指标
模拟
滤波器指标
数字滤波器H(z)
模拟滤波器H(s)
频率设计模拟s到z域
转换滤波器转换
图3.1IIR数字滤波器的设计过程
3.1模拟滤波器的设计及方法
常用的IIR滤波器设计是以模拟滤波器设计为基础。
在设计模拟滤波器时,先将待设计的模拟滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器技术指标,然后设计模拟低通滤波器,再通过频率变换将模拟低通滤波器转换为所需要的滤波器。
因此模拟低通滤波器的设计是模拟滤波器设计的基础。
3.1.1butterworth模拟低通滤波器
butterworth模拟低通滤波器简称BW型低通滤波器,其幅度相应的模仿为:
式中N为滤波器阶数,为滤波器的3截止频率,当时,butterworth模拟低通滤波器称为归一化的butterworth模拟低通滤波器。
设计步骤为:
(1)由滤波器的设计指标和公式确定滤波器的阶数N。
(2)由公式确定。
(3)由公式,计算S左半平面的N个极点。
(4)由公式确定滤波器的系统函数H(s)。
3.1.2chebyshev模拟低通滤波器
butterworth模拟低通滤波器通带和阻带内都存在许多裕量。
chebyshev模拟低通滤波器的幅度响应在一个频带中具有等波纹特性可以降低滤波器的阶数。
ChebyshevI型模拟低通滤波器(简称CBI)的幅度响应在通带是等波纹的,在阻带单调下降。
ChebyshevII型模拟低通滤波器(简称CBII)的幅度响应在通带单调下降,在阻带是等波纹的。
CBI型模拟低通滤波器其幅度响应为:
,其中N是滤波器的阶数,是滤波器的参数,是N阶Chebyshev多项式。
设计步骤如下:
(1)由通带频率确定:
=。
(2)由通带衰减确定:
。
(3)确定后,根据阻带衰减由幅度响应可求出N的阶数为:
(4)由模方求滤波器的极点。
,
其中:
(5)由极点确定系统函数H(s):
CBII型低通滤波器其幅度相应模方为:
其中N是滤波器阶数,是滤波器的参数。
设计的具体步骤如下:
(1)由通带频率确定:
=。
(2)由通带衰减确定:
。
(3)确定后,根据阻带衰减由幅度响应可求出N的阶数为:
(4)由表查获CBII型低通滤波器的系统函数H(s)
CBI型和CBII型低通滤波器最大的区别是CBI型模拟低通滤波器在通带等波纹波动,参数控制通带波动,而CBII型低通滤波器在阻带等波纹波动,参数控制阻带波动。
模拟低通滤波器不仅包括butterworth模拟低通滤波器和chebyshev模拟低通滤波器,还有椭圆模拟低通滤波器,其具体设计不做介绍。
3.1.3模拟高通、带通和带阻滤波器设计
模拟高通、带通和带阻滤波器设计过程如图3.2所示。
在进行模拟滤波器设计时,需要通过频率变换将待设计模拟滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标,频率转换只对应衰减响应的横坐标频率轴进行转换,而对纵坐标衰减幅度没有影响,所以转换后的模拟低通滤波器的通带衰减与待设计滤波器相同。
数字滤波器H(z)
模拟滤波器指标
待设计数字
滤波器指标
模拟滤波器H(s)
模拟频率设计模拟复频率
变换低通滤波器转换
图3.2模拟滤波器的设计过程
3.2IIR数字滤波器设计方法
IIR数字滤波器设计的基本方法是首先将数字滤波器的设计指标转换为模拟滤波器的设计指标,然后再将模拟滤波器H(s)转换为数字滤波器H(z),转换时要求模拟域到数字域的映射满足两个条件:
第一,两者的频率特性不变,即s平面的虚轴必须映射到z平面的单位圆上;第二,变换后的滤波器仍是稳定的,在s左半平面必须映射到z平面的单位圆内。
这样才能保证变换前后的频率响应基本一致。
常用的方法是脉冲响应不变法和双线性变换法。
3.2.1脉冲相应不变法
脉冲相应不变法通过对模拟滤波器的单位冲击响应等间隔抽样来获得对应数字滤波器的单位脉冲响应,即:
其中T是抽样间隔若已知模拟滤波器的系统函数H(s),则利用脉冲响应不变法将H(s)变换为数字滤波器的系统函数H(z)的步骤如图3.3
模拟滤波器H(s)
模拟滤波器
H(s)
数字滤波器H(z)
单位冲激响应
h(t)
Laplace等间隔抽样z变换
逆转换t=KT
图3.3利用脉冲响应不变法将H(s)变换为H(z)
利用脉冲响应不变法设计通带截频{}、通带衰减、阻带截频{}、阻带衰减的数字滤波器,其设计步骤如下:
(1)将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标。
利用将数字滤波器的频率指标转换为模拟滤波器的频率指标,转换后模拟滤波器的通带衰减和阻带衰减与数字滤波器想同。
(2)设计通带截频{}、通带衰减、阻带截频{}、阻带衰减的模拟滤波器的H(s)。
模拟滤波器可以通过BW型、CBI型、CBII型和椭圆模拟低通滤波器而设计。
(3)利用脉冲响应不变法将模拟滤波器的H(s)转换为数字滤波器的H(z)。
转换步骤如图3-2所示。
也可利用脉冲响应不变法的基本原理直接建立H(s)和H(z)的对应关系。
当H(s)只有一阶极点时,脉冲响应不变法可由:
的映射完成,同理可以推出H(s)的重阶极点的映射关系。
由时域抽样理论可知,脉冲响应不变法获得的数字滤波器的频率响应:
为消除因子对数字滤波器幅度的影响,将在模拟滤波器转换为数字滤波器时,将H(s)乘上常数因子T然后再将TH(s)转换成H(z)。
3.2.2双线性变换法
双线性变换法的基本思想是,在将模拟滤波器转换为数字滤波器时,先将非带限的H(s)映射为带限的,在通过脉冲响应不变法将域映射到z域。
从频域来看模拟频率与数字频率的关系需通过来建立,由于可得由模拟频率计算数字频率的关系式:
可以建立s域到z域的映射关系:
令可得s平面和z平面的映射关系:
上式即为双线性变换。
利用双线性变换法设计通带截频{}、通带衰减、阻带截频{}、阻带衰减的数字滤波器,其设计步骤如下:
(1)将数字滤波器的频率指标{}换为模拟滤波器的频率指标{}
(2)设计通带截频{}、通带衰减、阻带截频{}、阻带衰减的模拟滤波器H(s)。
(3)利用双线性变换法将模拟滤波器H(s)转换为数字滤波器的H(z)。
3.3脉冲相应不变法和双线性变换法的优缺点
脉冲响应不变法将模拟滤波器转换为数字滤波器时,数字滤波器能较好的保持滤波器的幅度响应。
但实际应用中模拟滤波器一般不满足带限条件,数字滤波器的频率响应都存在混叠。
尤其对于模拟高通和带阻滤波器,由于混叠严重,所以不能用脉冲响应不变法将模拟高通和带阻滤波器转换为数字滤波器。
双线性变换法转换滤波器的过程中,一个因果稳定的模拟系统经过变换后仍是因果稳定系统。
双线性变换法不会出现混叠现象,但与不再是线性关系。
当模拟滤波器的幅度响应为分段常数活通带为常数时,双线性变换后的数字滤波器能保持原有的幅度响应,而模拟滤波器的过渡带是线性时,变换后的数字滤波器的幅度响应则是非线性的。
所以双线性变换法一般适合于设计幅度响应为分段常数的数字滤波器,不适合设计像数字微分器等幅度响应为非常数的数字滤波器。
4.线性相位FIR数字滤波器
4.1线性相位FIR数字滤波器的基本特性
FIR数字滤波器是指系统的单位脉冲响应亲在有限范围内有非0个值的滤波器。
M阶的FIR数字滤波器的系统函数可表示为:
FIR数字滤波器有四种不同的线性相位系统,其频域特性各有特点。
特性表如表4.1所示:
类型
I
II
III
III
阶数M
偶数
奇数
偶数
奇数
的对称性
偶对称
偶对称
奇对称
奇对称
0.5M
0.5M
0.5M
0.5M
0
0
0.5
0.5
A()关于=0的对称性
偶对称
偶对称
奇对称
奇对称
A()关于=的对称性
偶对称
奇对称
奇对称
偶对称
A()的周期
2
4
2
4
A(0)
任意
任意
0
0
A()
任意
0
0
任意
可适用的滤波器类型
LP,HP,BP,BS等
LP,BP
微分器,Hilbert(希尔伯特)变换器
微分器,Hilbert变换器,HP
表4.1四中线性相位FIR滤波器特性表
4.2线性相位FIR数字滤波器的设计方法
4.2.1窗函数法设计FIR数字滤波器
窗函数法设计FIR数字滤波器的基本思想是根据待逼近的理想滤波器的频率响应,由IDTFT求出理想滤波器的单位脉冲响应,再将无限长的加窗截断得到有限长序列,窗函数法设计线性相位FIR滤波器可以按如下步骤进行:
(1)根据所需设计的滤波器,确定线性相位滤波器的类型(I型,II型,III型,IV型)
(2)确定理想滤波器的幅度函数。
(3)确定理想滤波器的相位。
(4)由公式计算
(5)截断得:
,其中是长度的矩形窗。
常用的窗函数除了矩形窗外,还有Hann窗、Hamming窗、Blackman窗、Kaiser窗等。
4.2.2频率取样法设计FIR数字滤波器
它从时域出发,用一个窗函数截取理想的得到,以有限长序列近似理想的;如果从频域出发,用理想的在单位圆上等角度取样得到,根据得到将逼近理想的,这就是频率取样法。
频率取样法设计FIR滤波器的具体
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- 关 键 词:
- IIR FIR 数字滤波器 设计 及其 结构 研究