八上全等三角形证明经典50题含答案供参考.docx
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八上全等三角形证明经典50题含答案供参考
1.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
解:
延长AD到E,使AD=DE
∵D是BC中点
∴BD=DC
在△ACD和△BDE中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE中
AB-BE<AE<AB+BE
∵AB=4
即4-2<2AD<4+2
1<AD<3
∴AD=2
2.已知:
D是AB中点,∠ACB=90°,求证:
延长CD与P,使D为CP中点。
连接AP,BP
∵DP=DC,DA=DB
∴ACBP为平行四边形
又∠ACB=90
∴平行四边形ACBP为矩形
∴AB=CP=1/2AB
3.已知:
BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:
∠1=∠2
证明:
连接BF和EF
∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)
∴BF=EF,∠CBF=∠DEF
连接BE
在三角形BEF中,BF=EF
∴∠EBF=∠BEF。
∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴三角形ABF和三角形AEF全等。
∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。
4.已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
B
A
C
D
F
2
1
E
过C作CG∥EF交AD的延长线于点G
CG∥EF,可得,∠EFD=CGD
DE=DC
∠FDE=∠GDC(对顶角)
∴△EFD≌△CGD
EF=CG
∠CGD=∠EFD
又,EF∥AB
∴,∠EFD=∠1
∠1=∠2
∴∠CGD=∠2
∴△AGC为等腰三角形,
AC=CG
又EF=CG
∴EF=AC
5.已知:
AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠C
A
证明:
延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠CAD
∵AE=AC,AD=AD
∴△AED≌△ACD(SAS)
∴∠E=∠C
∵AC=AB+BD
∴AE=AB+BD
∵AE=AB+BE
∴BD=BE
∴∠BDE=∠E
∵∠ABC=∠E+∠BDE
∴∠ABC=2∠E
∴∠ABC=2∠C
6.已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
证明:
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE,
∴△CEB≌△CEF
∴∠B=∠CFE
∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠FAC
∵AC=AC
∴△ADC≌△AFC(SAS)
∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
7.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
A
D
B
C
解:
延长AD到E,使AD=DE
∵D是BC中点
∴BD=DC
在△ACD和△BDE中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE中
AB-BE<AE<AB+BE
∵AB=4
即4-2<2AD<4+2
1<AD<3
∴AD=2
8.已知:
D是AB中点,∠ACB=90°,求证:
解:
延长AD到E,使AD=DE
∵D是BC中点
∴BD=DC
在△ACD和△BDE中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE中
AB-BE<AE<AB+BE
∵AB=4
即4-2<2AD<4+2
1<AD<3
∴AD=2
9.已知:
BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:
∠1=∠2
证明:
连接BF和EF。
∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。
∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。
∴BF=EF,∠CBF=∠DEF。
连接BE。
在三角形BEF中,BF=EF。
∴∠EBF=∠BEF。
又∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中,
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。
∴三角形ABF和三角形AEF全等。
∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。
10.已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
B
A
C
D
F
2
1
E
过C作CG∥EF交AD的延长线于点G
CG∥EF,可得,∠EFD=CGD
DE=DC
∠FDE=∠GDC(对顶角)
∴△EFD≌△CGD
EF=CG
∠CGD=∠EFD
又EF∥AB
∴∠EFD=∠1
∠1=∠2
∴∠CGD=∠2
∴△AGC为等腰三角形,
AC=CG
又EF=CG
∴EF=AC
11.已知:
AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠C
A
证明:
延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠CAD
∵AE=AC,AD=AD
∴△AED≌△ACD(SAS)
∴∠E=∠C
∵AC=AB+BD
∴AE=AB+BD
∵AE=AB+BE
∴BD=BE
∴∠BDE=∠E
∵∠ABC=∠E+∠BDE
∴∠ABC=2∠E
∴∠ABC=2∠C
12.已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE,
∴△CEB≌△CEF
∴∠B=∠CFE
∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠FAC
又∵AC=AC
∴△ADC≌△AFC(SAS)
∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
12.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求证:
BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB,连接EF
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE(SAS)
∴∠A=∠BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180º
∵∠BFE+∠CFE=180º
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE
CE平分∠BCD
CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE(AAS)
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
13.已知:
AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证:
∠F=∠C
AB‖ED,得:
∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度,
∵∠EAB=∠BDE,
∴∠AED=∠ABD,
∴四边形ABDE是平行四边形。
∴得:
AE=BD,
∵AF=CD,EF=BC,
∴三角形AEF全等于三角形DBC,
∴∠F=∠C。
14.已知:
AB=CD,∠A=∠D,求证:
∠B=∠C
证明:
设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD
则:
△AED是等腰三角形。
∴AE=DE
而AB=CD
∴BE=CE(等量加等量,或等量减等量)
∴△BEC是等腰三角形
∴∠B=∠C.
15.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:
PC-PB P D A C B 在AC上取点E, 使AE=AB。 ∵AE=AB AP=AP ∠EAP=∠BAE, ∴△EAP≌△BAP ∴PE=PB。 PC<EC+PE ∴PC<(AC-AE)+PB ∴PC-PB<AC-AB。 16.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证: AC-AB=2BE 证明: 在AC上取一点D,使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C; ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD ∴AC–AB=AC-AD=CD=BD 在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线, ∴AE垂直BD ∵BE⊥AE ∴点E一定在直线BD上, 在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD ∴点E也是BD的中点 ∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE 17.已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC F A E D C B ∵作AG∥BD交DE延长线于G ∴AGE全等BDE ∴AG=BD=5 ∴AGF∽CDF AF=AG=5 ∴DC=CF=2 18.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证: AD⊥BC. 解: 延长AD至BC于点E, ∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ABD和△ACD中 {AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边) ∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC 19.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N. 求证: ∠OAB=∠OBA 证明: ∵OM平分∠POQ ∴∠POM=∠QOM ∵MA⊥OP,MB⊥OQ ∴∠MAO=∠MBO=90 ∵OM=OM ∴△AOM≌△BOM(AAS) ∴OA=OB ∵ON=ON ∴△AON≌△BON(SAS) ∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB=180 ∴∠ONA=∠ONB=90 ∴OM⊥AB 20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证: AD+BC=AB. 做BE的延长线,与AP相交于F点, ∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形 在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线 ∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中, ∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB, ∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21.如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证: ∠C=2∠B 延长AC到E 使AE=AC连接ED ∵AB=AC+CD ∴CD=CE 可得∠B=∠E △CDE为等腰 ∠ACB=2∠B 22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M. (1)求证: MB=MD,ME=MF (2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立? 若成立请给予证明;若不成立请说明理由. (1)连接BE,DF. ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL), ∴DE=BF. ∴四边形BEDF是平行四边形. ∴MB=MD,ME=MF; (2)连接BE,DF. ∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC和Rt△BFA中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL), ∴DE=BF. ∴四边形BEDF是平行四边形. ∴MB=MD,ME=MF. 23.已知: 如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点, (1)求证: △AED≌△EBC. (2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明): 证明: ∵DC∥AB ∴∠CDE=∠AED ∵DE=DE,DC=AE ∴△AED≌△EDC ∵E为AB中点 ∴AE=BE ∴BE=DC ∵DC∥AB ∴∠DCE=∠BEC ∵CE=CE ∴△EBC≌△EDC ∴△AED≌△EBC 24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F. 求证: BD=2CE. 证明: ∵∠CEB=∠CAB=90° ∴ABCE四点共元 ∵∠ABE=∠CBE ∴AE=CE ∴∠ECA=∠EAC 取线段BD的中点G,连接AG,则: AG=BG=DG ∴∠GAB=∠ABG 而: ∠ECA=∠GBA(同弧上的圆周角相等) ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而: AC=AB ∴△AEC≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE 25、如图: DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。 求证: △AED≌△BFC。 证明: ∵DF=CE, ∴DF-EF=CE-EF, 即DE=CF, 在△AED和△BFC中, ∵AD=BC,∠D=∠C,DE=CF ∴△AED≌△BFC(SAS) 26、(10分)如图: AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。 求证: AM是△ABC的中线。 证明: ∵BE‖CF ∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM ∴AM是△ABC的中线. 27、(10分)如图: 在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。 求证: BD⊥AC。 ∵△ABD和△BCD的三条边都相等 ∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD ∴∠ADB=∠CDB=90° ∴BD⊥AC 28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。 求证: BF=CF 在△ABD与△ACD中 AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC 29、(12分)如图: AB=CD,AE=DF,CE=FB。 求证: AF=DE。 ∵AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB ∴△ABE=△CDF ∵∠DCB=∠ABF AB=DCBF=CE △ABF=△CDE ∴AF=DE 30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上. 证明: 连接EF ∵AB∥CD ∴∠B=∠C ∵M是BC中点 ∴BM=CM 在△BEM和△CFM中 BE=CF ∠B=∠C BM=CM ∴△BEM≌△CFM(SAS) ∴CF=BE 31.已知: 点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证: △ABE≌△CDF. ∵AF=CE,FE=EF. ∴AE=CF. ∵DF//BE, ∴∠AEB=∠CFD(两直线平行,内错角相等) ∵BE=DF ∴: △ABE≌△CDF(SAS) 32.已知: 如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证: AE=AF。 连接BD; ∵AB=ADBC=D ∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加,∠ADC=∠ABC; ∵BC=DCE\F是中点 ∴DE=BF; ∵AB=ADDE=BF ∠ADC=∠ABC ∴AE=AF。 33.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6. 证明: 在△ADC,△ABC中 ∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA ∴△ADC≌△ABC(两角加一边) ∵AB=AD,BC=CD 在△DEC与△BEC中 ∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD ∴△DEC≌△BEC(两边夹一角) ∴∠DEC=∠BEC 34.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证: △ABC≌△DEF. ∵AD=DF ∴AC=DF ∵AB//DE ∴∠A=∠EDF 又∵BC//EF ∴∠F=∠BCA ∴△ABC≌△DEF(ASA) 35.已知: 如图,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证: BE=CD. 证明: ∵BD⊥AC ∴∠BDC=90° ∵CE⊥AB ∴∠BEC=90° ∴∠BDC=∠BEC=90° ∵AB=AC ∴∠DCB=∠EBC ∴BC=BC ∴Rt△BDC≌Rt△BEC(AAS) ∴BE=CD 36、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。 求证: DE=DF. A E B D C F 证明: ∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠EAD=∠FAD ∵DE⊥AB,DF⊥AC ∴∠BFD=∠CFD=90° ∴∠AED与∠AFD=90° 在△AED与△AFD中 ∠EAD=∠FAD AD=AD ∠AED=∠AFD ∴△AED≌△AFD(AAS) ∴AE=AF 在△AEO与△AFO中 ∠EAO=∠FAO AO=AO AE=AF ∴△AEO≌△AFO(SAS) ∴∠AOE=∠AOF=90° ∴AD⊥EF 37.已知: 如图,AC BC于C,DE AC于E,AD AB于A,BC=AE.若AB=5,求AD的长? D C B A E ∵AD⊥AB ∴∠BAC=∠ADE 又∵AC⊥BC于C,DE⊥AC于E 根据三角形角度之和等于180度 ∴∠ABC=∠DAE ∵BC=AE,△ABC≌△DAE(ASA) ∴AD=AB=5 38.如图: AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。 求证: MB=MC 证明: ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵ME⊥AB,MF⊥AC ∴∠BEM=∠CFM=90° 在△BME和△CMF中 ∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°ME=MF ∴△BME≌△CMF(AAS) ∴MB=MC. 39.如图,给出五个等量关系: ① ② ③ ④ ⑤ .请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明. 已知: ①AD=BC,⑤∠DAB=∠CBA 求证: △DAB≌△CBA 证明: ∵AD=BC,∠DAB=∠CBA 又∵AB=AB ∴△DAB≌△CBA 40.在△ABC中, , ,直线 经过点 ,且 于 , 于 . (1)当直线 绕点 旋转到图1的位置时,求证: ① ≌ ;② ; (2)当直线 绕点 旋转到图2的位置时, (1)中的结论还成立吗? 若成立,请给出证明;若不成立,说明理由. (1) ①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°, ∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°. ∴∠CAD=∠BCE. ∵AC=BC, ∴△ADC≌△CEB. ②∵△ADC≌△CEB, ∴CE=AD,CD=BE. ∴DE=CE+CD=AD+BE. (2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°, ∴∠ACD=∠CBE. 又∵AC=BC, ∴△ACD≌△CBE. ∴CE=AD,CD=BE. ∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE 41.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。 求证: (1)EC=BF; (2)EC⊥BF A E B M C F (1)∵AE⊥AB,AF⊥AC, ∴∠BAE=∠CAF=90°, ∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC, 即∠EAC=∠BAF, 在△ABF和△AEC中, ∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC, ∴△ABF≌△AEC(SAS), ∴EC=BF; (2)如图,根据 (1),△ABF≌△AEC, ∴∠AEC=∠ABF, ∵AE⊥AB, ∴∠BAE=90°, ∴∠AEC+∠ADE=90°, ∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等), ∴∠ABF+∠BDM=90°, 在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°, ∴EC⊥BF. 42.如图: BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。 求证: (1)AM=AN; (2)AM⊥AN。 证明: (1) ∵BE⊥AC,CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC,CN=AB ∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN (2) ∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN 43.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证: BC∥EF 在△ABF和△CDE中 AB=DE ∠A=∠D AF=CD ∴△ABF≡△CDE(边角边) ∴FB=CE 在四边形BCEF中 FB=CE BC=EF ∴四边形BCEF是平行四边形 ∴BC‖EF 44.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗? 请说明理由 在AB上取点N,使得AN=AC ∵∠CAE=∠EAN ∴AE为公共, ∴△CAE≌△EAN ∴∠ANE=∠ACE 又∵AC平行BD ∴∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 ∴∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN ∵BE为公共边 ∴△EBN≌△EBD ∴BD=BN ∴AB=AN+BN=AC+BD 45、(10分)如图,已知: AD是BC上的中线,且DF=DE.求证: BE∥CF. 证明: ∵AD是△ABC的中线 BD=CD ∵DF=DE(已知) ∠BDE=∠FDC ∴△BDE≌△FDC 则∠EBD=∠FCD ∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行)。 46、(10分)已知: 如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足, . 求证: . 证明: ∵DE⊥AC,BF⊥AC ∴∠CED=∠AFB=90º 又∵AB=CD,BF
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