深圳二模及答案.docx
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深圳二模及答案
试卷类型:
A
深圳市2013届高三第二次调研考试
数学(理科)
本试卷共6页,21小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:
1•答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和考生号填写在答
题卡指定位置上,用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上,将条形码横
贴在答题卡右上角条形码粘贴处”•
2•选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.
3•非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.
4•作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答•漏涂、错涂、多涂的答案无效.
5•考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回.
1
参考公式:
锥体的体积公式Vsh,其中S是锥体的底面积,h为锥体的高.
3
如果在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率记为P(B|A),那么
P(AB)二P(A)P(B|A)
一、选择题:
本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1
1.i为虚数单位,则i•-等于
i
A•0B•2iC•1iD.-1i
2•已知集合A={0,1},则满足条件AB={2,0,1,3}的集合B共有
A•1个B•2个C•3个D•4个
4.
支田径队有男运动员56人,女运动员42人,若用分层抽样的方法从全体运动员中抽
出一个容量为28的样本,则样本中女运动员的人数为
的椭圆的离心率等于
D.1
6.
已知
x•R,则x_1是|x■1||x-1|=2|x|的
充分非必要条件
B.必要非充分条件
A.
7.
23
在1(1X)(1X)(1x)
4
(1X)
5
(1x)的展开式中,含
2
x项的系数是
A.10
15
20
D.25
二、填空题:
本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题:
第9、10、11、12、13题为必做题.
9.某简单组合体的三视图如图2,其中正视图与
侧视图相同(尺寸如图,单位:
cm),贝U该组
正视图侧视1£1
俯视图图2
合体的体积是cm3(结果保留n.
开始
10.若直线y=kx与曲线y=lnx相切,则k=__
5=Oj—l,n=0
11•执行图3中程序框图表示的算法,其输出的结果
/输出$/
s为.
(注:
框图中的“=”,即为或为“:
=”)
12.已知向量a=(1,-2),M是平面区域
x_0,y_0
x-y・1_0内的动点,O是坐标原点,
2xy-4_0
则aOM的最小值是.
13.在nn的方格中进行跳棋游戏,规定每跳一步只能向左,或向右,或向上,不能向下,
r■
1
1
i
■
1
If
O-
1P—_J
图4
且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格,
设f(n)表示从左下角O”位置开始,连续跳到右上角☆”位置结束的所有不同路径的条数,如图4,给
出了n=3时的一条路径•则f(3)=;
f(n)二
(二)选做题:
第14、15题为选做题,考生只能从中选做一题.
14.(坐标系与参数方程选做题)
在极坐标系中,圆P=3cos日上的点到直线PcosP-三)=1的距离的最大值是3
15.(几何证明选讲选做题)
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
1已知ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,sin(2C),
22
2,22
且ab:
:
:
c.
(1)求角C的大小;
a亠b
(2)求a一-的取值范围.
C
17.(本小题满分12分)
一个箱中原来装有大小相同的5个球,其中3个红球,2个白球,规定:
进行一次操作是指从箱中随机取出一个球,如果取出的是红球,则把它放回箱中;如果取出的是白球,则该球不放回,并另补一个红球放到箱中.”
(1)求进行第二次操作后,箱中红球个数为4的概率;
(2)求进行第二次操作后,箱中红球个数的分布列和数学期望.
18.(本小题满分14分)
如图6,已知四边形ABCD是矩形,AB=2BC=2,三角形PAB是正三角形,且平面
ABCD丄平面PCD.
⑴若0是CD的中点,证明:
BO_PA;
⑵求二面角B-PA-D的余弦值.
19.(本小题满分14分)
已知数列{an},{bn}满足:
6=0,匕=2013且对任意的正整数n,an,an1,bn和an1,bl1,bn均成等差数列.
⑴求a2,b2的值;
(2)证明:
{an-bn}和{an2bn}均成等比数列;
⑶是否存在唯一的正整数C,使得an:
:
:
cbn恒成立?
证明你的结论.
20.(本小题满分14分)
已知动点M到点F(0,1)的距离与到直线y=4的距离之和为5.
(1)求动点M的轨迹E的方程,并画出图形;
⑵若直线丨:
y=x•m与轨迹E有两个不同的公共点A、B,求m的取值范围;
⑶在
(2)的条件下,求弦长|AB|的最大值.
7
6
5
I*屮•'・*■・■・申・・・・・5■■q・
-5-4-3-2-iOl2345J
21.(本小题满分14分)
定义“X,y)=|ex-y|-y|x-lny|,其中xR,yR..
(1)设a-0,函数f(x)=》(x,a),试判断f(x)在定义域内零点的个数;
⑵设0■a:
:
:
b,函数F(x)=卜(x,a)-?
(x,b),求F(x)的最小值.
⑶记
(2)中的最小值为T(a,b),若{aj是各项均为正数的单调递增数列,n
证明:
〔二TG®1)”:
(an1-ajln2.
iA
参考答案
、选择题:
本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
D
A
A
D
C
、填空题:
本大题共
7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
一)必做题:
第9、
10、11、
12、13题为必做题.
1
11.34112.-3
9.1-
10.-
3
e
13.9,nn二(注:
第一个空填对给2分,第二个空填对给3分,)
(二)选做题:
第14、15题为选做题,考生只能从中选做一题.
7亠兀
14(坐标系与参数方程选做题)一15.(几何证明选讲选做题)30(注:
也可以填一)46
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
解:
⑴(法一)因为a2b2:
:
:
c2,由余弦定理,
cosC=
2a
2ab
:
:
:
0,—C为钝角.
2分
厂、,兀1兀兀3兀
因为sin(2C),又2C,
22222
_兀5兀2兀
所以2C—>解之,得乙C=—5分
263
(法二)因为a2b2:
:
:
c2,由余弦定理,
兀1
所以二:
:
2C:
:
:
2二又cos2C二-sin(2C),
22
4兀”2兀
所以2C=,—C='5分
33
31江
(2)(法一)由
(1),得•BA,0A根据正弦定理,
33
ji
sinAsin(A)
—
sin
3
[sinA(23cosA一1sinA)]sin(A「)•……10分
32233
3•,“、一
又3:
:
Ar:
3,所以^心皿亍1,
i
12分
从而d■卫的取值范围为(1,2爭]••
c3
=(ab)2-ab_(ab)2-(旦b)2=3(ab)2.
24
17.(本小题满分12分)
解:
(1)设A1表示事件第1次操作从箱中取出的是红球
B1表示事件第1次操作从箱中取出的是白球
A表示事件第2次操作从箱中取出的是红球
B2表示事件第2次操作从箱中取出的是白球
则ab2表示事件第1次操作从箱中取出的是红球,且第2次操作从箱中取出的是
白球”由条件概率的计算公式,
得p(AB2)=p(a)p(B2|A)2=—2分
5525
BiA?
表示事件第1次操作从箱中取出的是白球,且第2次操作从箱中取出的是红
球”由条件概率的计算公式,
248
得卩2小2)=P(BJP(AIBJ4分
5525
A1B2+BiA>表示事件进行第二次操作后,箱中红球个数为4”
而AB2与B1A2是互斥事件,
所以P(AB2+B4)=P(AB2)+P(BA)=2十-8二14-6分
252525
(2)设进行第二次操作后,箱中红球个数为X,则X=3,4,58分
33914
P(X=3),P(X=4),
552525
2129142
P(X=5)(或P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-
5525252525
进行第二次操作后,箱中红球个数X的分布列为:
X
3
4
5
P
9
25
14
25
2
25
10分
进行第二次操作后,箱中红球个数X的数学期望
914293
EX=345■12分
18.(本小题满分14分)
解:
(法一)⑴连结0A、OP.
•••ABCD是矩形,且AB=2BC,
O是CD的中点,
1分
25252525
•••BOJ^AO.①
又•••平面PCD丄平面ABCD,
平面PCDA平面ABCD=CD,
AD二平面ABCD,AD丄CD,
•••AD丄平面PCD.
而PD平面PCD,「.AD丄PD.同理BC丄PC,
3分
直角AADP和直角ABCP中,AD=BC,PA=PB,「.PC=PD.
•••PO丄CD.又PO二平面PCD,「.P0丄平面ABCD,而BO二平面ABCD,
•••BO±PO.②
由①②及AOnPO=O,AO、PO平面PAO,得BO丄平面PAO,
又PA平面PAO,所以BO丄PA7分
1
⑵延长BO、AD相交于点E,:
OD//AB,且ODAB,
2
•••O、D分别是EB、EA的中点8分
取PA中点F,连结BF、EF,v^PAB是正三角,•PA丄BF.③
又由
(1),PA丄BO,而BFABO=B,BF、BO平面BEF,
所以,PA丄平面BEF.TEF二平面BEF,「.PAJ_EF.④..……10分
而EF二平面DPA,aZBFE是二面角B-PA-D的一个平面角,
TAB=2BC=2,△PAB是正三角,.BE=2.2,BF=3,EF=•.3.
C.3)2(..3)2一(2..2)2
2W3江V3
1
14分
即二面角B-PA-D的余弦值为-丄
3
(法二)
(1)T平面PCD丄平面ABCD,平面PCDT平面ABCD=CD,AD二平面ABCD,
而ABCD是矩形,AD丄CD,「.AD丄平面PCD.
又PD二平面PCD,「.AD丄PD.同理BC丄PC,
直角AADP和直角ABCP中,
AD=BC,PA=PB,/-PC=PD.
取AB中点Q,连结OP、OQ,
则OC、OP、OQ两两垂直2分
以O为原点,分别以OC、OP、OQ为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
■-AB=2BC=2,A(—1,0,1),B(1,0,1)
又APAB是正三角,APCD是等腰三角形,……3分,
OP二PD2—OD2h\PA2—AD2—OD2=』2,.P(0,•2,0)
从而,BO=(_1,0,-1),PA=(-l_.2,1),5分
BOPA=-1(-1)0(-.2)(-1)1=0.
所以BO_PA,BO_PA
⑵由
(1)PA=(-1,-21),AB=(2,0,0).
设平面BPA的法向量为n=(x1,y1,z1),
--nn20(-•、2)■11201
COS£m,门2>=—_—=iLIL=—
□HnjJ。
2+12+(齐2)2{(J)2打+023
因为法向量m和门2均指向二面角B-PA-D夕卜,
19.
(本小题满分14分)
20.
又a12b^=4026小0,
所以,{an2bn}是首项为4026,公比为1的等比数列.8分
即存在的正整数k=1342,使得对任意的neN*,有an<1342 即对任意的n•N*且n一7时,1341: : : an: : : 1342: : : bn<1343,所以,正整数k=1342也是唯一的. 综上所述,存在唯一的正整数k=1342, 14分 使得对任意的n•N*,有an: : : k: : : bn (注: 如果仅是通过极限的描述性语言说明k的存在性和唯一性,且k的值是正确 的,计扣2分) 21.(本小题满分14分.) 解: (1)设动点M的坐标为(x,y),依题意,点M 标满足: .x2-(y-1)2|y-4|=5.……2 化简整理,得x2=4y(y乞4) on 或x2=-16(y_5)(y_4). 所以,动点M的轨迹E的方程为x? =4y(y乞4)或x^-16(y_5)(y_4).…4分 22 Xx 其图形是抛物线y二*和y--16•5位于-4_x_4的部分(如图)•……5分 22 xx ⑵记抛物线段y=;4(-4_x_4)为巳,抛物线段y=-16•5(-4_x_4)为E: Ei与E2的公共点为C(-4,4)和D(4,4) 当直线l: y=x・m经过点C(-4,4)时,m=8. y=4 x--12 y=_4 y=x8由x2,解之,得 “-165 因为点(-12,-4)不在抛物线段E2上,所以,要使直线丨: y=x-m与轨迹E有两个不同的公共点, 贝Um: : : 8① 2 x 当直线l: ^xm与抛物线y=才相切时,由 x=2 得切点坐标」m=-1,因为切点(2,1)在抛物线段Ei上, 』=1 所以,要使直线l1: xm与轨迹E有两个不同的公共点, 则m-1②9分 综合①②,所求m的取值范围为(-1,8).10分 (3)当-1: : : m一0时,直线I与轨迹E的两个不同的公共点A、B均在抛物线段E1上, 且0: : |ABp|OD|=4.2. 当0空m: : : 8时,直线l与轨迹E的两个不同的公共点A、B分别在抛物线段E1 2 x 与抛物线段E2上,且a点是直线I抛物线y两个交点中左下方的点,b 2 x 点是直线I抛物线y=-花'5交点中右上方的点(如图7). y=xm 由x2,解之得x=2-2-1•m,点A的横坐标xA=2-2、1•m. y=7 2 x 16 解之得x 5 --8二4.9-m,点B的横坐标 xB=_84_9-m. 12分 所以|AB|—.2(xB-xA)=2、..2(..1m2..9-m-5). 令f(m)=.1m2.9-m(0乞m8),由 11,9-m-2.1m5(1-m) f(m)- 2丁1+m^9—m2j(1+m)(9_m)2(j9-m+2J1+m)p(1+m)(9_m) 得: 当0_m: : : 1时,f'(m).0,f(m)单调递增; 当1: : : m: : : 8时, f'(m): : : 0,f(m)单调递减, 所以,[f(m)]max=f (1)二厶丁空.故m=1时,IAB|max=20—10T214分 (注: 也可以通过一元二次方程在闭区间[_4,4]有解的思路来求m的取值范围;求IABI的 最值也可以利用换元法、判别式法、均值不等式、柯西不等式等方法,其他解法,酌情给分.) 22.(本小题满分14分) 解: ⑴f(x)=|ex-a|-a|x-1na|(a0),函数f(x)的定义域为R. 当x_lna时,ex_a,f(x)二ex—axalna—a, ;f'(x)二ex-a_0,.f(x)在[山a,=)上为增函数;2分 当x一lna时,ex二a,f(x)二ax-ex-aInaa, f'(x)二a-ex一0,.f(x)在(」: ,lna]上为增函数4分 综上所述,f(x)在定义域内为增函数. 又f(lna)=|a「a|-a11na-lna|二0. 所以,f(x)在定义域内有且仅有一个零点.…………5分 ⑵易知F(x)的定义域为R,F'(x)=》'(x,a)-"(x,b).而0: : : a: : : b, 所以lna: : : lnb,由 (1)容易得到下列结论: 1当x^lna: : lnb时,F'(x)=(a—ex)—(b—ex)二a—b: : 0, .F(x)在(」: ,lna]上为减函数,从而F(x)_F(lna)•6分 2当Inaexmlnb时,F'(x)=(ex-a)-(b-ex)=2ex-(ab), 令F'(x)=0, ra+b 当Ina^x: : : ln时,F'(x): : : 0,F(x)单调递减,2 a+b 当Inx却nb时,F'(x).0,F(x)单调递增, 2 a+ba+b •••当x=ln时,F(x)有最小值F(In)7分 22 3当InadnbEx时,F'(x)=(ex—a)—(ex—b)=b—a0, .F(x)在[Inb「: )上为增函数,从而F(x)_F(Inb)•••…8分 a+b 综上所述,当x=In时,F(x)有最小值 2 10分 F(In旦b)=aInabInb-(ab)In2 (3)由 (2)知T(a,b)二aInabInb-(ab)In 先证明T(ai,ai(ai^ai)In2,iN*, a+a丄 即证明: aInaiaidInax—Caiaid)lni2i: : (aiai)In2,iN 将ai视为常数,ai1视为变量,构造下列函数: a: +t G(taiInaj11nt-佝t)In-(^ai)In2,其中t-ai0. 2 a+tt 则G'(t)=lnt1-ln11-In2=ln0,G(t)在[a;: : )上单调递减, 2a^t 而G(aJ=aiIna^aiInai—2qIna-佝—ajln2=0, 因为{an}是各项均为正数的单调递增数列,ai1ai,i-N*,所以G(a0, a+a* 即aiInqa「lnai1-佝qJIn'2'©i-ajln2,iN*. 所以T(a,ai+)v(a“—ajln2,iN*12分 nn 于是,vT(ai,aiJ: : : (ai1「ajln2二&1-ajln214分 idi=1
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