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极限练习题及答案

极限练习题及答案

一.选择题

1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?

N”表示“M的充分必要条件是N”，则必有.

F是偶函数?

f）是奇函数.F是奇函数?

f是偶函数.F是周期函数?

f是周期函数.F是单调函数?

f是单调函数．设函数f?

1

x

则

ex?

1?

1

x?

0，xx?

0，x

?

1都是f?

1都是f

的第一类间断点.的第二类间断点

x?

0是f的第一类间断点，x?

1是f的第二类间断点.x?

0是f的第二类间断点，x3．设f?

x?

?

x?

1x

?

1是f

的第一类间断点.

1，则f[，x?

0、，

1f

]?

1

1

A）1?

xB）1?

x4．下列各式正确的是

C）

X

D）x

1+）?

e

xx11lim?

?

elimC）D）?

e

xx

A）lim

x?

0

?

1

x

?

1B）lim

x?

0

1

x

?

x?

x

x?

?

x?

?

5．已知lim

x

?

9，则a?

。

A.1；B.?

；C.ln3；D.2ln3。

．极限：

lim

x

?

?

2

A.1；B.?

；C.e7．极限：

lim

；D.e。

2

x?

?

x3?

2

=x3

A.1；B.?

；C.0；D.2．

8．极限：

lim

x?

0

x?

1?

1x

=

A.0；B.?

；C1；D.2．

2

9.极限：

lim=

x?

?

?

A.0；B.?

；C.2；D.1．

2

sinx

10．极限:

limtanx?

=

x?

0

sin2x

A.0；B.?

；C.

二.填空题11．极限limxsin

x?

?

116

；D.16．

2xx?

1

2

=；12.limarctanx=；

x?

0

x

13.若y?

f在点x0连续，则lim[f?

f]=；

x?

x?

14.lim

sin5xx

x?

0

?

；15.lim

n

?

；

16.若函数y?

x?

1x?

3x?

2

2

2

，则它的间断点是17.绝对值函数

?

x,x?

0;?

f?

x?

?

0,x?

0;

?

?

x,x?

0.?

其定义域是，值域是。

?

1,x?

0;?

18.符号函数f?

sgnx?

?

0,x?

0;其定义域是，值域是三个点的集合。

?

?

1,x?

0.?

19无穷小量是。

20.函数y?

f在点x0连续，要求函数y?

f满足的三个条件是。

三.计算题1.求lim.；22.设f?

3x?

2,求f；

x?

5

23.求lim

x?

2

x?

2

；4.求lim；

x

25.求lim

sinx

2

2

x?

0

tan2x

；6.已知lim

x

?

9，求a的值；

1

27.计算极限limn；28.求f?

x?

?

n?

?

nn

x?

1

?

lg?

5?

2x?

它的定义域。

29.判断下列函数是否为同一函数：

g?

x?

=1；⑴f=sin2x＋cos2x与⑵f?

x

2

?

1

x?

1

与g?

x?

1；

⑶f?

?

x?

1与g?

x?

1；⑷f?

x?

?

?

2

?

x?

1?

2

与g?

x?

1；

⑸y?

ax2与s?

at2。

30.已知函数f?

x2?

1，求f?

x?

1?

、f）、f

?

f?

3?

?

2?

；

1?

2n

n2?

32?

3

nn

nn

31.求lim

3n?

5n?

16n?

4n?

7

n?

1?

2

2

n

；2.求lim

n

2

；

33.求lim；34.求lim

n

。

35.判断下列函数在指定点的是否存在极限

?

sinx,x?

0

?

x?

1,x?

2?

⑴y?

?

，x?

；⑵y?

?

1，x?

0。

?

x,x?

2?

x,x?

0

?

3

36.求lim

1x?

3

x?

3

；37.求lim

x?

3x?

9

2

；

2x?

x?

1x?

x?

1

33

2

x?

3

38.求lim

?

x?

1x

x?

0

；.求当x→∞时，下列函数的极限y?

2

。

40.求当x?

?

时，函数y?

sin3xx

2x?

x?

1x?

x?

1

3

的极限。

1?

cosx

x

2

41.求lim

x?

0

；.求lim

n?

3

；

x?

0

1?

?

43.求lim?

1?

?

n?

?

n?

?

1

1?

?

；4.求lim?

1?

?

n?

?

n?

?

x

2n

；

1?

?

）；6.求lim?

1?

?

；5.求lim?

?

x在点x0=0处的连续性。

?

1,x?

0?

49.指出函数f?

1x?

1

在点x=1处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

?

1

?

x?

0

50.指出函数f?

?

x在点x=0处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

?

0,x?

0?

?

x2,x?

0

51.指出函数f?

?

在点x=0处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

?

1,x?

0

52.求lim

ln

x

；

x?

0

?

x2?

1；lim?

lnx53.求?

?

x?

1x?

1?

?

54.试证方程2x3－3x2＋2x－3＝0在区间[1，2]至少有一根。

5.求lim

tanx?

sinx

。

sin32x

x?

0

56.试证正弦函数y?

sinx在区间内连续。

?

x，x?

0?

?

x，x?

0

57.函数f?

x?

?

lxl?

?

；在点x?

0处是否连续？

58.函数

?

xsin1，x?

0

?

f?

?

?

0，x?

0?

；是否在点x?

0连续？

ax?

1.9.求极限limx?

0函数与极限测试题答案

一.选择题

1.A本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.

方法一：

任一原函数可表示为F?

x

?

fdt?

C，且F?

?

f.

当为偶函数时，有F?

F，于是FF?

，即?

f?

f，也即f?

?

f，可见为奇函数；反过来，若为奇函数，则?

fdt为偶函数，从而

0x

F?

?

x

fdt?

C为偶函数，可见为正确选项.

函数与其原函数的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考与其原函

数的有界性之间有何关系?

.D显然x?

0，x?

1为间断点，其分类主要考虑左右极限.

由于函数在x?

0，x?

1点处无定义，因此是间断点.且limf?

?

，

x?

0

所以x?

0为第二类间断点；

limf?

0，limf?

?

1，所以x?

1为第一类间断点，故应选.

x?

1

?

x?

1

?

应特别注意：

lim

x?

1

x

?

x?

1

，lim?

x?

1

xx?

1

x

.从而lim?

ex?

1，

x?

1

x

x?

1

lim?

ex?

1?

0.

-CACCAC

8.∵x→∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。

先恒等变形，将函数“有理化”：

原式=lim?

lim

x?

0x?

0

x

1x?

1?

1

?

1

2

.

-10DC10.解：

原式?

lim

x?

0

tanx

3

x?

?

lim

x?

0

12

x

1?

3

8x16

.

注等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。

如上例

x?

x

?

0.中若对分子的每项作等价替换，则原式?

lim3x?

0

二.填空题

11.；12.1；13.0；14.5；15.e18.{?

1,0,1}；

19.在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量

x?

x0时极限xlimf存在；③极限值与函数值相20.①函数y=f?

x?

在点x0处有定义；②?

x

?

2

2；17.[0,?

?

）；；16.x?

1、

等，即xlim?

x

f?

f。

三.计算题

21.“”型未定式，一般先通分，再用洛比达法则.lim?

lim

x?

x?

1?

ex

=lim

x?

x?

1?

e

x

2

2?

x

x?

0

第一章函数、极限与连续

1．区间?

a,表示不等式

A．a?

xB．a?

xC．a?

xD．a?

x．若?

?

t?

?

t3?

1，则?

t3?

1?

A．t3?

1B．t6?

C．t9?

2D．t9?

3t6?

3t3?

2．设函数f?

x?

?

ln?

3x?

1?

?

5?

2x?

arcsinx的定义域是

5?

?

151?

A．?

?

?

B．?

?

1,?

C．?

?

1?

D．?

?

1,1?

232?

?

3?

?

?

4．下列函数f?

x?

与g?

x?

相等的是

A．f?

x?

?

x2，g?

x?

?

x4B．f?

x?

?

x，g?

x?

?

C．f?

x?

?

x?

2

x?

1x?

1

，g?

x?

?

x?

1x2?

1

D．f?

x?

?

，g?

x?

?

x?

1

x?

1x?

1

5．下列函数中为奇函数的是

?

sinx2x?

2?

x

x

sinxD．y?

x2cosx?

xsinxA．y?

2B．y?

xeCx2

2

6．若函数f?

x?

?

x，?

2?

x?

2，则f?

x?

1?

的值域为A．?

0,2?

B．?

0,3?

C．?

0,2?

D．?

0,3?

．设函数f?

x?

?

ex，那么f?

x1?

?

f?

x2?

为

?

x1?

A．f?

x1?

?

f?

x2?

B．f?

x1?

x2?

C．f?

x1x2?

D．f?

?

x?

?

?

2?

8．已知f?

x?

在区间,上单调递减，则fx2?

4的单调递减区间是A．,B．,0?

C．?

0,D．不存在．函数y?

f?

x?

与其反函数y?

f?

1?

x?

的图形对称于直线A．y?

0B．x?

0C．y?

xD．y?

?

x

1

?

?

10．函数y?

10x?

1?

2的反函数是A．y?

lg

x1

B．y?

logx2C．y?

log2D．y?

1?

lg?

x?

2?

x?

2x

?

ax,

11．设函数f?

x

?

0,

x是有理数x是无理数

0?

a?

1，则

A．当x时，f?

x?

是无穷大B．当x时，f?

x?

是无穷小C．当x时，f?

x?

是无穷大D．当x时，f?

x?

是无穷小12．设f?

x?

在R上有定义，函数f?

x?

在点x0左、右极限都存在且相等是函数f?

x?

在点x0连续的

A．充分条件B．充分且必要条件C．必要条件D．非充分也非必要条件

?

x2?

a,x?

1

13．若函数f?

x在R上连续，则a的值为

cos?

x,x?

1?

A．0B．1C．-1D．-14．若函数f?

x?

在某点x0极限存在，则A．f?

x?

在x0的函数值必存在且等于极限值B．f?

x?

在x0函数值必存在，但不一定等于极限值C．f?

x?

在x0的函数值可以不存在D．如果f?

x0?

存在的话，必等于极限值

1234

15．数列0，，，，，?

是

3456

A．以0为极限B．以1为极限

n?

2

为极限D．不存在在极限n1

16．limxsin?

x?

?

x

C．以

A．?

B．不存在C．1D．0

?

1?

17．lim?

1?

?

x?

?

?

x?

2x

?

2

A．e?

B．?

C．0D．18．无穷小量是

1

A．比零稍大一点的一个数B．一个很小很小的数C．以零为极限的一个变量D．数零

?

2x,?

19．设f?

x2,

?

x?

1,?

?

1?

x?

0

0?

x?

1则f?

x?

的定义域为，f?

0?

=，1?

x?

3

f?

1?

。

20．已知函数y?

f?

x?

的定义域是?

0,1?

，则fx2的定义域是1．若f?

x?

?

1

，则f?

f?

x，f?

f?

f?

x。

1?

x

?

?

22．函数y?

ex?

1的反函数为

23．函数y?

5sin?

?

x?

的最小正周期T?

。

?

1?

24．设fx?

?

x2，则f?

x?

?

。

?

x?

25．lim?

3?

n

x?

?

n?

1?

111n?

6．limn?

?

111

1n

393

1?

xlnx?

。

7．lim?

x?

0

2030?

2x?

3?

?

3x?

2?

28．limx?

?

5x?

150

?

x?

1?

x,

?

29．函数f?

xx?

1,1?

x?

2的不连续点为。

?

3?

x,x?

2?

x

?

。

n?

?

3n

1

31．函数f?

x?

?

2的连续区间是

x?

1

30．lim3nsin

3

?

ax?

b,

32．设f?

x2

?

?

a?

b?

x?

x,

b?

。

x?

0x?

0

?

a?

b?

?

0，f?

x?

处处连续的充要条件是

?

1,x?

0

33．若f?

x，g?

x?

?

sinx，复合函数f?

g?

x?

?

的连续区间

?

1,x?

0?

是。

?

x2?

b?

。

b均为常数，?

34．若m则a?

，a，il?

?

ax?

b?

?

0，xx?

1?

?

35．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪既非奇函数又非偶函数？

1?

x2

y?

x1?

x，y?

3x?

x，y?

，y?

x?

x?

1?

?

x?

1?

1?

x

2

?

2

?

23

ax?

a?

x

y?

sinx?

cosx?

1，y?

2

36．若f?

t?

?

2t2?

25

?

?

5t，证明f?

t?

?

2

tt

?

1?

f?

?

。

?

t?

37．求下列函数的反函数

2xx?

1

y?

x，y?

1?

2sin

x?

12?

1

38．写出图1-1和图1-2所示函数的解析表达式

?

sinx

x?

0?

39．设f?

xx，求limf?

x?

。

x?

0

?

?

1?

x?

2,0?

x

12?

22n2n

?

，求limxn。

0．设xn?

2n?

?

3n

41．若f?

x?

?

1f?

x?

?

x?

?

f?

x?

lim，求。

?

x?

0?

xx2

4

11?

1

42．利用极限存在准则证明：

limn?

2?

22

n?

?

n?

n?

?

n?

?

n?

2?

?

?

?

1。

?

43．求下列函数的间断点，并判别间断点的类型y?

x

1?

x2

，y?

x1?

x

，，y?

?

x?

y?

2?

x2x

?

x,0?

x?

1

?

1?

44．设f?

x,x?

1，问：

?

2?

?

1,1?

x?

2limf?

x?

存在吗？

x?

1

f?

x?

在x?

1处连续吗？

若不连续，说明是哪类间断？

若可去，则补充定义，使其在该点连续。

?

x2?

1,0?

x?

1

45．设f?

x，

?

x?

3,x?

1求出f?

x?

的定义域并作出图形。

当x?

1

，1，2时，f?

x?

连续吗？

写出f?

x?

的连续区间。

?

2,x?

0,x?

?

2?

46．设f?

x4?

x2,0?

x?

2，求出f?

x?

的间断点，并指出是哪一

?

x?

2?

4,类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。

47．根据连续函数的性质，验证方程x5?

3x?

1至少有一个根介于1和2之间。

48．验证方程x?

2x?

1至少有一个小于1的根。

1．在函数f?

x?

的可去间断点x0处，下面结论正确的是A．函数f?

x?

在x0左、右极限至少有一个不存在

5

x?

3?

x?

?

3x2?

9

111A．?

B．０C．D．631．lim

2．极限limf存在是函数f在点x?

x0处连续的x?

x0

A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件

C．充要条件D．既不充分也不必要的条件

1lim3．n等于n+1－n－1）

11A.1B.C.D.04

1?

2?

3n＝n?

?

n2

1A．B．C．D．04．lim

5．lim?

A?

12=x?

1x2?

3x?

2x?

4x?

3?

?

1111BC?

D266

?

2x?

x?

16．已知f?

?

，下面结论正确的是,x?

1?

A．f在x?

1处连续B．f?

C．limf?

D．limf?

x?

1x?

1

7．数列{an}满足:

a1?

n?

?

1,且对于任意的正整数m,n都有am?

n?

am?

an,则lim?

12B.C.D.232

fx?

18．若lim?

1,则lim?

x?

1x?

1x?

1fA.

A．－1B．1C．－

9．设正数a,b满足211D．2

n?

?

an?

1?

abn?

1则lim?

4limn?

1n?

x?

2a?

2b

A．0B．1C．1D．12

中,a1?

10．数列?

an?

A．16,an?

an?

1?

n?

1,n?

N*,则lim?

x?

n55221B．C．D．7425

n11．lim?

______。

6n?

1n?

?

x2?

3x?

212．lim的值等于__________________.x?

?

1x2?

1

13．limn?

?

2n?

2Cn?

2Cnn?

12=________________14．若f=x?

1?

1在点x=0处连续，则f=__________________.x?

1?

1

3n?

1?

2n

15．limn=_________。

n?

?

3?

2n?

1

16．数列｛1｝的前n项和为Sn，则limSn＝______________n?

?

4n－1

x17．a为常数，若lim=0,则a的值是____________..

1?

b?

b2bn?

1

?

18．若常数b满足|b|>1，则limnn?

?

b

19

．若n?

1,则常数a?

.0．某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人。

为了了解普通话在该校中的推广普

及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70?

ahref=“http:

///fanwen/shuoshuodaquan/”target=“_blank”class=“keylink”>说难窘衅胀ɑ八讲馐裕渲性诓坏?

0岁的教师中应抽取的人数为______。

参考答案：

1．A

2．B

3．B

4．C

5．A

6．C

7．A

8．C

9．B

10．C

1

112．?

313．

314．11．

15．3

16．1

1b?

117．118．

19．2

20．50