椭圆的定义及标准方程学生版.docx
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椭圆的定义及标准方程学生版
椭圆的定义及标准方程
—、精讲精练
知识与方法--:
椭圆的第一定义
第一定义:
平面内与两个定点Fi,F2的距离和等于常数2a(2a|FiF21)的点M的轨迹
叫做椭圆,定点Fi,F2叫做椭圆的焦点,IF1F2I叫做椭圆的焦距_.
用集合语言叙述为“点集P{M||MFi|IMF2I2a,2aIF1F2|},其中Fi”叫做
椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距”
注意:
(1)只有当2aIF1F2I时,动点M的轨迹才是椭圆.而当2a厅汀2〔时,动点M的轨迹不存在;当2aIF1F2|,动点M的轨迹是线段F1F2.
(2)定义的双向运用:
一方面,符合定义中条件的动点轨迹为椭圆;另一方面,椭圆
上的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为2a).
【例1】下列命题是真命题的是(将所有真命题的序号都填上).
1已知定点Fi(1,0),F2(1,0),则满足|PFi||PF2|2的点P的轨迹为椭圆;
2已知定点Fi(2,0),F2(2,0),则满足|PFilIPF2|4的点P的轨迹为线段;
3到定点片(3,0),F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆•
【变式】设Fi,F2为定点,|FiF2|6,动点M满足|MFi||MF2|6,则动点M的轨迹
是()
A.椭圆B.直线C.圆D.线段
知识与方法二:
椭圆的标准方程
(1)椭圆的标准方程
标准方程
x2y2
——1(ab0)ab
22
p1(ab0)
图形
y
、A2
QfJo^x
y
i
:
B1
A2
—
OB2Xk
焦占
八'、八\、
焦点在x轴上,
F1(c,0),F2(c,0)
焦点在y轴上,
F1(0,c),F2(0,c)
a,b,c的关系
2.22abc
2.22abc
准线方程
22
a切a
x—和x—
cc
22
a切a
y—和y—
cc
22
x项和y项的分母哪个更大一些,
(2)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中
22
即“谁大在谁上”
.如方程为丄x1的椭圆,焦点在y轴上,而且可求出焦点坐标
54
R(0,1),F2(0,,),焦距|F1F2|2.
注意:
正确理解“标准方程”中的“标准”的意义
(1)两个焦点F1,F2在坐标抽上;
(2)线段F1F2的中点是坐标原点•
只有同时满足这两个条件时,所得到的方程才是标准方程
A(.3,2)和B(2.3,1)两点的
【例3】(2014湖南师大附中测试)求焦点在坐标轴上,且经过椭圆的标准方程•
【变式】两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0),且椭圆过点(5,0),求该椭圆的标准方程
【例4】求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过两点r(J6,i),F2(73,J2).
(2)已知椭圆过点(2,6),且a2b,求椭圆的标准方程。
变式】求适合下列条件的椭圆的标准方程:
1)焦点在x轴上,且椭圆经过点(2,0),(0,1).
2)求与椭圆x24y24有公共焦点,且经过A(2,1)的椭圆的标准方程
2222
【例5】一动圆与已知圆O1:
(x3)2y21外切,与圆O2(x3)y81内切,求动圆圆心的轨迹方程。
【拓展】(2014青岛师大附中检测)如图点B坐标为(2,0),P是以O为圆心的单位圆上的
动点,POB的平分线交直线PB于Q,求点Q的轨迹方程
知识与方法三:
与椭圆焦点三角形有关的问题
1.椭圆上一点P与椭圆两焦点F,,F2构成的F1PF2称为焦点三角形,解关于椭圆中
的焦点三角形问题时,要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识•
1
2.对于求焦点三角形的面积,若已知FfF?
,可以利用SabsinC,把
2
|PF1||PF2|看成一个整体,运用公式
|PF1|2|PF2|2(|PF1||PF2|)22|PF1||PF2|及余弦定理求出IPF1IIPF2I,而无
需单独求出,这样可以减少运算量•
22
【例6】已知P为椭圆Xy
169
1上的点,Fi,F2是椭圆的两个焦点,
F,PF260,求
F1PF2的面积S.
【变式】椭圆
2
y1的焦点为R,F2,点P在椭圆上,若|PRI4,则IPF21
2
;RPF?
的大小为
知识与方法四:
综合
【例7】如图所示,A,B是椭圆的两个顶点,C是AB的中点,F为椭圆的右焦点,0C交
椭圆于M点,|0F|.2,若MF0A,求椭圆的方程
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