《菱形的判定》提高训练.docx

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《菱形的判定》提高训练

《菱形的判定》提高训练

一、选择题（本大题共5小题，共分）

1．（5分）下列说法中错误的是（　　）

A．四边相等的四边形是菱形

B．菱形的对角线长度等于边长

C．一组邻边相等的平行四边形是菱形

D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

2．（5分）如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是其对称轴，AB∥CD，则下列结论：

①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中结论正确的序号是（　　）

A．①②③B．①②③④C．②③④D．①③④

3．（5分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（　　）

A．2B．3C．4D．5

4．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：

①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有个（　　）

A．0B．1C．2D．3

5．（5分）如图，△ABC中，点P是AB边上的一点，过点P作PD∥BC，PE∥AC，分别交AC，BC于点D，E，连按CP．若四边形CDPE是菱形，则线段CP应满足的条件是（　　）

A．CP平分∠ACBB．CP⊥AB

C．CP是AB边上的中线D．CP＝AP

二、填空题（本大题共5小题，共分）

6．（5分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝　　度．

7．（5分）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，当△ABC满足条件　　时（填一个条件），能够判定四边形ACED为菱形．

8．（5分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD中点．当▱ABCD满足　　时，四边形EHFG是菱形．

9．（5分）如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：

①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是　　（填序号）．

10．（5分）平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：

①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是　　．

三、解答题（本大题共5小题，共分）

11．（10分）△ABC为等边三角形，AF＝AB．∠BCD＝∠BDC＝∠AEC．

（1）求证：

四边形ABDF是菱形．

（2）若BD是∠ABC的角平分线，连接AD，找出图中所有的等腰三角形．

12．（10分）如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，AC＝AD，连接CD．点O是CD中点，连接AO并延长AO交BC于点E，连接ED．过点D作DF∥BC交AE于点F，连接CF．求证：

四边形CEDF是菱形．

13．（10分）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．

（1）求证：

四边形BEDF为菱形；

（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝6，求菱形BEDF的面积．

14．（10分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F、G，连接ED、DG．

（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；

（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，求GC的长．

15．（10分）已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．

（1）求证：

四边形ABEF是菱形；

（2）若AE＝10，BF＝24，CE＝7，求四边形ABCD的面积．

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参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共5小题，共分）

1．（5分）下列说法中错误的是（　　）

A．四边相等的四边形是菱形

B．菱形的对角线长度等于边长

C．一组邻边相等的平行四边形是菱形

D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形

【分析】由菱形的判定和性质可判断各个选项．

【解答】解：

∵四边相等的四边形是菱形

∴A选项正确

∵菱形的对角线长度不一定等于边长，

∴B选项错误

∵一组邻边相等的平行四边形是菱形

∴C选项正确

∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形

∴选项D正确

故选：

B．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质，熟练运用菱形的判定和性质解决问题是本题的关键．

2．（5分）如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是其对称轴，AB∥CD，则下列结论：

①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中结论正确的序号是（　　）

A．①②③B．①②③④C．②③④D．①③④

【分析】根据轴对称图形的性质，结合菱形的判定方法以及全等三角形的判定方法分析得出答案．

【解答】解：

因为l是四边形ABCD的对称轴，AB∥CD，

则AD＝AB，∠1＝∠2，∠1＝∠4，

则∠2＝∠4，

∴AD＝DC，

同理可得：

AB＝AD＝BC＝DC，

所以四边形ABCD是菱形．

根据菱形的性质，可以得出以下结论：

所以①AC⊥BD，正确；

②AD∥BC，正确；

③四边形ABCD是菱形，正确；

④在△ABD和△CDB中

∵

，

∴△ABD≌△CDB（SSS），正确．

故正确的结论是：

①②③④．

故选：

B．

【点评】此题考查了轴对称以及菱形的判断与菱形的性质，注意：

对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等．

3．（5分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（　　）

A．2B．3C．4D．5

【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．

【解答】解：

根据作图，AC＝BC＝OA，

∵OA＝OB，

∴OA＝OB＝BC＝AC，

∴四边形OACB是菱形，

∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，

∴AB•OC＝×2×OC＝4，

解得OC＝4cm．

故选：

C．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形OACB是菱形是解题的关键．

4．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：

①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有个（　　）

A．0B．1C．2D．3

【分析】由在▱ABCD中，O为AC的中点，易证得四边形AFCE是平行四边形；然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，求得答案．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠AEO＝∠CFO，

∵O为AC的中点，

∴OA＝OC，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴OE＝OF，

∴四边形AFCE是平行四边形；

①∵OE＝OA，

∴AC＝EF，

∴四边形AFCE是矩形；故错误；

②∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE是菱形；故正确；

③∵AC⊥AB，AB∥CD，

∴AC⊥CD，

∵E为AD中点，

∴AE＝CE＝AD，

∴四边形AFCE是菱形；故正确．

故选：

C．

【点评】此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．首先证得四边形AFCE是平行四边形是解决问题的关键．

5．（5分）如图，△ABC中，点P是AB边上的一点，过点P作PD∥BC，PE∥AC，分别交AC，BC于点D，E，连按CP．若四边形CDPE是菱形，则线段CP应满足的条件是（　　）

A．CP平分∠ACBB．CP⊥AB

C．CP是AB边上的中线D．CP＝AP

【分析】根据菱形的性质解答即可．

【解答】解：

∵四边形CDPE是菱形，

∴∠DCP＝∠ECP，

∴CP平分∠ACB，

故选：

A．

【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质解答．

二、填空题（本大题共5小题，共分）

6．（5分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝　90　度．

【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形AEDF为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出∠1＝∠3，故可得出▱AEDF为菱形，根据菱形的性质即可得出结论．

【解答】证明：

∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF为平行四边形，

∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，

∵AD是△ABC的角平分线，

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴AE＝DE．

∴▱AEDF为菱形．

∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．

故答案为：

90．

【点评】本题考查的是菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形AEDF是菱形是解答此题的关键．

7．（5分）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，当△ABC满足条件　AC＝BC　时（填一个条件），能够判定四边形ACED为菱形．

【分析】由题意可证四边形ACED是平行四边形，根据菱形的判定，可得满足条件．

【解答】解：

△ABC满足条件为AC＝BC

∵将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE

∴AD＝CE，AD∥CE

∴四边形ACED是平行四边形

∵AC＝BC

∴平行四边形ACED是菱形．

故答案为AC＝BC

【点评】本题考查了菱形的判定，平移的性质，熟练运用平移的性质是本题的关键．

8．（5分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD中点．当▱ABCD满足　AB⊥BC　时，四边形EHFG是菱形．

【分析】由题意可证四边形EHFG是平行四边形，△EBC≌△FCB，可得EC＝BF，BH＝CH，即可得EH＝FH，则可证四边形EHFG是菱形．

【解答】解：

当▱ABCD满足AB⊥BC时，四边形EHFG是菱形．

∵四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BC

∴四边形ABCD是矩形

∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝CD，AB∥CD

∵E是AB中点，F是CD中点，

∴BE＝CF＝AE＝DF

∵BE＝DF，AB∥CD

∴四边形BEDF是平行四边形

∴ED∥BF

同理可得：

EC∥AF

∴四边形EHFG是平行四边形．

在△EBC与△FCB中，

∵

，

∴△EBC≌△FCB（SAS）

∴CE＝BF，

∴∠ECB＝∠FBC，

∴BH＝CH，

∴EH＝FH，

∴平行四边形EHFG是菱形，

故答案为：

AB⊥BC．

【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，利用这些性质和判定进行正确推理是本题的关键．

9．（5分）如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：

①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是　②　（填序号）．

【分析】当BA＝BC时，四边形ADCE是菱形．只要证明四边形ADCE是平行四边形，DA＝DC即可解决问题．

【解答】解：

当BA＝BC时，四边形ADCE是菱形．

理由：

∵AE∥CD，CE∥AD，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵BA＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA，

∵AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，

∴∠DAC＝∠DCA，

∴DA＝DC，

∴四边形ADCE是菱形．

故答案为②

【点评】本题考查菱形的判断、平行四边形的判断和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

10．（5分）平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：

①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是　①②④　．

【分析】由中点的性质可得出EF∥CD，且EF＝CD＝BG，结合平行即可证得②结论成立，由BD＝2BC得出BO＝BC，即而得出BE⊥AC，由中线的性质可知GP∥BE，且GP＝BE，AO＝EO，通过证△APG≌△EPG得出AG＝EG＝EF得出①成立，再证△GPE≌△FPE得出④成立，此题得解．

【解答】解：

令GF和AC的交点为点P，如图所示：

∵E、F分别是OC、OD的中点，

∴EF∥CD，且EF＝CD，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，且AB＝CD，

∴∠FEG＝∠BGE（两直线平行，内错角相等），

∵点G为AB的中点，

∴BG＝AB＝CD＝FE，

在△EFG和△GBE中，

，

∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，

∴∠EGF＝∠GEB，

∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），

∵BD＝2BC，点O为平行四边形对角线交点，

∴BO＝BD＝BC，

∵E为OC中点，

∴BE⊥OC，

∴GP⊥AC，

∴∠APG＝∠EPG＝90°

∵GP∥BE，G为AB中点，

∴P为AE中点，即AP＝PE，且GP＝BE，

在△APG和△EGP中，

，

∴△APG≌△EPG（SAS），

∴AG＝EG＝AB，

∴EG＝EF，即①成立，

∵EF∥BG，GF∥BE，

∴四边形BGFE为平行四边形，

∴GF＝BE，

∵GP＝BE＝GF，

∴GP＝FP，

∵GF⊥AC，

∴∠GPE＝∠FPE＝90°

在△GPE和△FPE中，

，

∴△GPE≌△FPE（SAS），

∴∠GEP＝∠FEP，

∴EA平分∠GEF，即④成立．

故答案为：

①②④．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．

三、解答题（本大题共5小题，共分）

11．（10分）△ABC为等边三角形，AF＝AB．∠BCD＝∠BDC＝∠AEC．

（1）求证：

四边形ABDF是菱形．

（2）若BD是∠ABC的角平分线，连接AD，找出图中所有的等腰三角形．

【分析】

（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．

（2）根据等腰三角形的定义一一判断即可．

【解答】

（1）证明：

如图1中，∵∠BCD＝∠BDC，

∴BC＝BD，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，

∵AB＝AF，

∴BD＝AF，

∵∠BDC＝∠AEC，

∴BD∥AF，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∵AB＝AF，

∴四边形ABDF是菱形．

（2）解：

如图2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，

∴BD垂直平分线段AC，

∴DA＝DC，

∴△DAC是等腰三角形，

∵AF∥BD，BD⊥AC

∴AF⊥AC，

∴∠EAC＝90°，

∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90°，∠DCA+∠AEC＝90°，

∴∠DAE＝∠DEA，

∴DA＝DE，

∴△DAE是等腰三角形，

∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，

∴△BCD，△ABD，△ADF都是等腰三角形，

综上所述，图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．

【点评】本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

12．（10分）如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，AC＝AD，连接CD．点O是CD中点，连接AO并延长AO交BC于点E，连接ED．过点D作DF∥BC交AE于点F，连接CF．求证：

四边形CEDF是菱形．

【分析】根据等腰三角形的性质得到AO⊥CD，得到CF＝DF，根据全等三角形的性质得到FC＝CE，求得CE＝DF，于是得到结论．

【解答】解：

∵AC＝AD，点O是CD中点，

∴AO⊥CD，

∴CF＝DF，

∴∠FCD＝∠FDC，

∵DF∥BC，

∴∠FDC＝∠DCE，

∴∠FCD＝∠ECD，

在△FCO与△ECO中

，

∴△FCO≌△ECO（ASA），

∴FC＝CE，

∴CE＝DF，

∵DF∥CE，

∴四边形CEDF是菱形．

【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

13．（10分）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．

（1）求证：

四边形BEDF为菱形；

（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝6，求菱形BEDF的面积．

【分析】

（1）由题意可证BE＝DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；

（2）过点D作DH⊥BC于点H，由题意可得BD＝CD＝6，根据30度所对的直角边等于斜边的一半，可求DH＝3，即可求DF＝BF的长，即可得菱形BEDF的面积．

【解答】解：

（1）∵DE∥BC，DF∥AB

∴四边形DEBF是平行四边形

∵DE∥BC

∴∠EDB＝∠DBF

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC

∴∠ABD＝∠EDB

∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形

∴四边形BEDF为菱形；

（2）如图：

过点D作DH⊥BC于点H

∵∠A＝90°，∠C＝30°，

∴∠ABC＝60°

∴∠DBC＝30°＝∠C

∴DB＝DC＝6

∵DH⊥BC，∠C＝30°

∴DC＝2DH＝6

∴DH＝3

∵DF∥AB，

∴∠A＝∠FDC＝90°，且∠C＝30°，DC＝6

∴DC＝DF

∴DF＝2

∵四边形BEDF为菱形

∴BF＝DF＝2

∴S四边形BEDF＝BF×DH＝2×3＝6

【点评】本题考查了菱形的性质与判定，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练运用菱形的性质与判定是本题的关键．

14．（10分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F、G，连接ED、DG．

（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；

（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，求GC的长．

【分析】

（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE＝ED＝DG＝GB即可．

（2）作DH⊥BC于H，由四边形EBGD为菱形ED＝DG＝2，求出GH，CH即可解决问题．

【解答】解：

（1）四边形EBGD是菱形．

理由：

∵EG垂直平分BD，

∴EB＝ED，GB＝GD，

∴∠EBD＝∠EDB，

∵∠EBD＝∠DBC，

∴∠EDF＝∠GBF，

在△EFD和△GFB中，

，

∴△EFD≌△GFB，

∴ED＝BG，

∴BE＝ED＝DG＝GB，

∴四边形EBGD是菱形．

（2）作DH⊥BC于H，

∵四边形EBGD为菱形ED＝DG＝2，

∴∠ABC＝30°，∠DGH＝30°，

∴DH＝1，GH＝，

∵∠C＝45°，

∴DH＝CH＝1，

∴CG＝GH+CH＝1+．

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

15．（10分）已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．

（1）求证：

四边形ABEF是菱形；

（2）若AE＝10，BF＝24，CE＝7，求四边形ABCD的面积．

【分析】

（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．

（2）作FG⊥BC于G，根据S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，先求出FG即可解决问题．

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

∵∠BAD的平分线交BC于点E，

∴∠DAE＝∠BAE，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，

∴AF＝BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AB＝AF．

∴四边形ABEF是菱形．

（2）解：

作FG⊥BC于G，

∵四边形ABEF是菱形，AE＝10，BF＝24，

∴AE⊥BF，OE＝AE＝5，OB＝BF＝12，

∴BE＝

，

∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，

∴GF＝，

∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝

【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．