理论力学10弯曲的应力分析和强度计算_精品文档.ppt

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第十章弯曲的应力分析和强度计算,弯曲的应力分析和强度计算,10-1弯曲内力剪力和弯矩,一、概述,2,弯曲的应力分析和强度计算,车削工件,3,弯曲的应力分析和强度计算,火车轮轴,4,弯曲的应力分析和强度计算,吊车梁,直杆在与其轴线垂直的外力作用下，轴线成曲线形状的变形称为弯曲。

以弯曲变形为主的杆件称为梁。

5,弯曲的应力分析和强度计算,平面弯曲,MZ,截面特征：

杆具有纵向对称面，横截面有对称轴（y轴）受力特点：

外力都作用在对称面内，力垂直于杆轴线变形特点：

弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线,6,弯曲的应力分析和强度计算,梁的基本形式,F,q（x）,Mx,简支梁,F,q（x）,Mx,外伸梁,F,q（x）,Mx,悬臂梁,7,弯曲的应力分析和强度计算,火车轮轴简化为外伸梁,8,弯曲的应力分析和强度计算,二、剪力与弯矩,截面法求内力,F,y,=0,c,RAPQ=01,M,=0M+P（xa）RAx=01,Q=RAP1,剪力,M=RAxP（xa）弯矩1,9,弯曲的应力分析和强度计算,剪力符号规定：

当剪力使微段梁绕微段内任一点沿顺时针转动时为正，反之为负。

弯矩符号规定：

弯矩使微段梁凹向上为正，反之为负。

10,弯曲的应力分析和强度计算,思考：

梁的内力符号是否和坐标系有关？

答：

无关。

如图所示连续梁，和部分的内力情况如何？

A,0,0,E,B,C,F,PD,XC=Pcos,答：

轴力不为零，剪力和弯矩为零。

11,例,1,如图所示为受集中力及均布载荷作用的外伸梁，试求-，-截面上的剪力和弯矩。

解,1、支座约束力,M,M,B,=0,+RA4P2q21=0,A,=0,P2RB4+q25=0,RA=1.5kN,RB=7.5kN,12,例,1,2、计算内力,F=0MC=0,y,1,RAQ1=0,RA1M1=0,M1=1.5kNm,Q1=1.5kN,F,x,=0,C2,Q2q1=0,M,=0M2+q10.5=0,Q2=2kN,M2=1kNm,13,弯曲的应力分析和强度计算,三、剪力与弯矩方程剪力图和弯矩图,设x表示横截面的位置，则梁各截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标x的函数,Q=Q（x）,-剪力方程,M=M（x）,-弯矩方程,梁的剪力和弯矩随截面位置的变化关系，常用图形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。

14,例,2,如图所示为一受集中力作用的简支梁。

设P、l及a均为已知，试列出剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。

解1、求支座约束力,laRA=Pl,aRB=Pl,2、列剪力方程和弯矩方程,AC段,laQ（x1）=RA=Pl,（0x1a）,M（x1）,laM（x1）=RAx1=Px1（0x1a）l,Q（x1）,15,例,BC段,2,aQ（x2）=RB=Pl,（ax2l）,Q（x2）,RB,aM（x2）=RB（lx2）=P（lx2）l,（ax2l）,3、画剪力图和弯矩图,laPl,M（x2）,a（la）Pl,aPl,16,例,3,m悬臂梁受集中力和集中力偶作用，已知：

P，l，=3Pl2试绘剪力图和弯矩图。

解1、求支座约束力,Fy=0,RAP=0,3PlPlmA=0MA=02PlRA=PmA=2,2、确定剪力、弯矩方程,AC段,l（0x1）Q（x1）=RA=P2lPl（0x1）M（x1）=RAx1+mA=Px1+22,17,例,CB段,3,Q（x2）=P,l（x2l）2,M（x2）=P（lx2）,l（x2l）2,3、画剪力图和弯矩图,18,例,4,如图所示简支梁，已知q，l。

试画出剪力图和弯矩图。

解1、求支座约束力,qlRA=RB=2,2、确定剪力方程和弯矩方程,qlQ（x）=qx2,（0x1）l,2,qlqxM（x）=x22,（0xl）,19,3、画剪力图和弯矩图,弯曲的应力分析和强度计算,四、外力与剪力及弯矩间的关系,1、载荷集度、剪力及弯矩间的微分关系,设载荷集度是x的连续函数,q=q（x）,规定：

向上为正,F,y,=0,Q（x）Q（x）+dQ（x）+q（x）dx=0,dQ（x）=q（x）dx,20,弯曲的应力分析和强度计算,dxMc=0M（x）+dM（x）M（x）Q（x）dxq（x）dx=02,dM（x）=Q（x）dx,2,dM（x）=q（x）2dx,2、集中力、集中力偶作用处的剪力及弯矩,F,y,=0,Q=P,集中力（包括支座约束力）作用处的两侧截面上的剪力数值发生突变，且突变值等于集中力的值,21,弯曲的应力分析和强度计算,工程实际中，所谓的集中力不可能集中于一点，而是分布在很小的范围内,MC=0,M=M,M,在集中力偶作用的两个侧面上，弯矩数值发生突变，且突变值的大小等于集中力偶的值。

22,弯曲的应力分析和强度计算,3、载荷集度、剪力图及弯矩图图形上的关系,q，Q，M图的线型依次递高一次，若q为水平线，则Q图将为斜线，而M图则为二次曲线；若q等于零，则Q图将为水平线，而M图则为斜线。

M图的凹向同q指向，当q指向上方时，q值为正，M对x的二阶导数大于零，弯矩图将凹向上，反之M图将向下凹曲。

当Q等于零时，M取极值。

集中力作用的截面，Q图有突变，突变值等于集中力的值。

M图上有折点；集中力偶作用的截面，M图有突变，突变值等于集中力偶的值。

23,例,5,2,m如图所示外伸梁，已知：

q，l，P=ql3，=ql试画出剪力图和弯矩图。

6。

解1、求支座约束力,M,c,=0,2,l3lqlqllRAlq+=0246322llqlql3lRCl+=0qMA=024632,3RA=ql8,11RC=ql24,2、分段,分为AB，BC，CD三段,24,例,5,3RA=ql8,11RC=ql24,3、求端值利用直接法计算各段左、右两端截面上的剪力和弯矩,25,例,5,4、画剪力图和弯矩图,26,弯曲的应力分析和强度计算,五、用叠加法作剪力图和弯矩图,P=ql,当梁上有多个外力作用时各外力引起的内力互不相关，因此可以分别计算各外力所引起的内力，然后进行叠加-叠加法,27,弯曲的应力分析和强度计算,10-2,纯弯曲梁横截面上的正应力分析,梁弯曲时，横截面上一般有两种内力-剪力和弯矩，这种弯曲称为横力弯曲。

梁弯曲时，横截面上只有弯矩，而没有剪力，这种弯曲称为纯弯曲。

28,弯曲的应力分析和强度计算,一、纯弯曲梁的正应力,1、变形方面,实验观察：

纵向线在梁变形后变成弧线，靠顶面的线缩短，靠底面的线伸长。

横向线在梁变形后仍为直线，但相对转过了一个角度，且仍然与弯曲的纵向线保持正交。

平面假设：

纯弯曲梁是由无数条纵向线所组成，变形前处于同一平面的各纵向线上的点，弯曲变形后仍处于同一平面内，且纵向线与横截面在变形中保持正交。

29,弯曲的应力分析和强度计算,根据平面假设，由实验观察到的表面现象已推广到梁的内部，即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面作刚性转动，靠底部的纵向纤维伸长了，靠顶部的纵向纤维缩短了，由于变形的连续性，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层。

中性层与横截面的交线称为中性轴。

30,弯曲的应力分析和强度计算,a,a,dxdx,线应变随y按线性规律变化,l,31,弯曲的应力分析和强度计算,2、物理方程,假设纵向纤维在弯曲变形中相互不挤压，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量相等。

M,Z,=,y,胡克定律,=E,=E,y,C,minz,y,xmax,纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面中性轴的正应力为零，在中性轴两侧，一侧受拉应力，一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应力数值相等。

32,弯曲的应力分析和强度计算,3、静力学条件,=E,y,F,A,x,=0,dA=FN=0,AdA=AE,y,AydA=0,dA=,E,AydA=0,截面对中性轴的静矩，静矩为零的轴是形心轴。

中性轴通过截面的形心。

33,弯曲的应力分析和强度计算,M,z,=0,y,M=ydA,A,=E,y,M=AyE,1,dA=,E,AydA,2,M=EIxz,My=0,AzdA=,E,AzdA=0,AzydA=0,横截面对y，z的惯性积，由于y轴为对称轴，故惯性积为零。

34,弯曲的应力分析和强度计算,M=EIxz,1,=E,y,M=ymaxIZ,M=yIZ,-纯弯曲梁横截面正应力计算公式,横截面上的最大正应力发生在离中性轴最远点。

max,max,M=WZ,IZWZ=ymax,弯曲截面系数,35,弯曲的应力分析和强度计算,二、惯性矩,常见截面的IZ和WZ,643dWZ=32,圆截面,bhIZ=12,3,IZ=,d,4,IZ=,D,4,64,

（1）,4,WZ=,空心圆截面,D,3,32,

（1）,4,3,3,bhWZ=6,矩形截面,2,b0h0bhIZ=121233b0h0bhWZ=（）/（h0/2）1212,36,空心矩形截面,弯曲的应力分析和强度计算,思考：

梁的截面形状如图所示，在平面内作用有正弯矩，绝对值最大的正应力位置为哪一点？

z,a,b,y,c,37,弯曲的应力分析和强度计算,有一直径为的钢丝，绕在直径为的圆筒上，钢丝仍处于弹性阶段。

此时钢丝的弯曲最大正应力为多少？

为了减少弯曲应力，应增大还是减小钢丝的直径？

M=EIxz,1,D+d=2,2EIzM=D+d,max,dM2=Iz,max,Ed=D+d,38,例,6,受纯弯曲的空心圆截面梁如图所示。

已知：

弯矩M=1kNm，外径D=50mm，内径d=25mm。

试求截面上a，b，c和d点的应力，并画出过a，b两点直径线和过c，d两点弦线上各点的应力分布情况。

39,例,解,6,M=1kNm,M=yIZ,Dya=25mm2dyb=12.5mm2221221Dd250252）=21.7mmyc=（）=（4444,yd=0,IZ=,64,（Dd）=,4,4,64,（5025）（10）=2.8810m,4,4,34,7,4,40,例,6,3,M1103ya=2510=86.8MPaa=7IZ2.8810,M1103b=yb=12.510=43.4MPa7IZ2.8810,3,M1103yc=21.710=75.3MPac=7IZ2.8810,3,Myd=0d=IZ,a,c,d=0,b,41,弯曲的应力分析和强度计算,10-3,纯弯曲应力公式的应用,横力弯曲时，由于剪力的影响，弯曲变形后，横截面发生翘曲，不再保持平面，但当剪力为常量时，各截面的翘曲程度完全相同，因而纵向纤维的伸长和缩短与纯弯曲时没有差距。

对于剪力为常量的横力弯曲，纯弯曲的正应力计算公式仍然适用。

对于剪力不为常量的横力弯曲，当梁的跨度与横截面高度的比值较大时，纯弯曲的正应力计算公式仍然适用。

曲率公式也可推广用于横力弯曲梁中性层曲率计算。

42,弯曲的应力分析和强度计算,弯曲正应力公式适用范围,弯曲正应力分布,My=IZ,纯弯曲或细长梁的横力弯曲,横截面惯性积Iyz=0,弹性变形阶段,43,例,7,T字型截面梁如图所示，试求梁横截面上最大正应力。

解,绘制弯矩图，得MB=10kNmMC=7.5kNm确定截面的形心,12010（125）+12010（60）y=92.5mm12010+12010,44,例,7,3,3,12010101202+1201032.5+Iz=1212264+1201032.5=3.9910mm,B截面的最大拉应力,Bt=,MB,Iz,ymax,10103=37.510=93.9MPa6343.9910（10）,3,C截面的最大拉应力,7.5103Ct=92.510=173.9MPaymax=6343.9910（10）Iz45梁的最大拉应力发生在C截