微积分曹定华修订版课后题答案第九章习题详解.docx
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微积分曹定华修订版课后题答案第九章习题详解
判定下列级数的收敛性:
习题9-1
CO
⑵'(、n1-n);
n4
2(—1)nn42n
COr
'Tn丄n1n1
「(一1)n2;
nT
(8)
n
a(-1)nnzo2n1
解:
(1)该级数为等比级数,
111
公比为一,且a0,故当|一卜:
1,即a1时,级数收敛,当|一|亠1即0:
:
:
a乞1
aaa
时,
级数发散•
(2)TSn
=(迈-.1)(七-一2)川(百-」n)
、c.n-、、n)发散•
n=1
ACOACOA°°1
是调和级数71去掉前3项得到的级数,而调和级数、-发散,故原级数—
n仝nn三n
发散•
1+(-1)nQn4Qn
22丿
“1a(「1)m1
而肯,7(亠是公比分别为1的收敛的等比级数,所以由数项级数的基本性质知n壬2n经22
(5)tIn—Inn-ln(n1)n+1是Sn=(ln1-In2)(In2-In3)|"[lnn-ln(n1)]
QO
故ng—,所以级数j亠发散•
.limS不存在,从而级数「(-1)n2发散•n—门n丄
n+1
(7)tlimU=lim1-0
nYnYn
00n+1
.级数D发散•
n二n
2.判别下列级数的收敛性,若收敛则求其和:
limSn故级数收敛,且其和为丄.
n—*44
oO
nn
故limUn不存在,所以级数7cos一发散.
n‘:
n£2
qooa
3*.设7Un(Un>0)加括号后收敛,证明、•Un亦收敛.
n理n』
odQOaoQO
证:
设7Un(Un0)加括号后级数7An收敛,其和为S.考虑原级数VUn的部分和Sn八,Uk,并注
n=in・ndk-1
意到Uko(k=1,2,丨1(),故存在n。
使
又显然Sn:
:
:
Sn1对一切n成立,于是,
{&}是单调递增且有上界的数列,因此,极限limSn存在,即原
n_sc
级数7Un亦收敛•
n4
习题9-2
判定下列正项级数的收敛性:
(1)
cO
n1(n1)(n2)
cO
n=1
nan(n2)
QO
⑷心n(n25),
匸宀(a>0);
n11a
二-^n(a,b>0);
n1ab
(a>0);
(8)
n2n-1
(9)
n
3
n,
n-1n2
(10)
%、、n
;
n-1n!
(11)
357(2n1)nj4710:
(3n1)
(12)
(13)
QO
(14)、'
n
(15)
QO
二2sin詰;
(16)
n=1
QO
z
n=1
ncos2罟2n
解:
因为
(n1)(n2)1,
:
:
:
而v收敛,
nnmn
由比较判别法知级数
□O
Z
n=1
收敛.
(n1)(n2)
(2)
因为
nmUn
limJ—=1工0,故原级数发散•i「n•1
(3)
因为
n2n(n1)
(4)因为
n
>
n(n1)n11
发散,由比较判别法知,级数
打丄2发散.nTn(n+1)
1.n(n25)001,而心.n(n25)3
是收敛的p一级数(p1),由比较判别法
2
知,级数…收敛.
/(n2+5)
(5)因为
limn—产:
1
1a二lim
n—产:
1•an
艸11an
而当a1时,
当a=1时,
n41a
^—=1发散,故'、
当0:
a:
:
1时lim」
n—-Tan
1
=1=0,故lim——-发散;
综上所述,当
0:
:
:
a<1时,
级数
11lim发散,当a1时,lim收敛.
n:
-1an
n.;:
1•an
(6)因为
而当b・1时,
当b=1时,
abn
limn—1
=lim
bn
n—abn
abn
bn
二丄收敛,
n^bn
J收敛;
n
nvab
n=x'1发散,故而由a-0,
当。
”1时,nma^n
nda■bn
发散;
综上所述知,当0:
:
:
b^1时,级数
、发散;当b>1时,
级数
收敛.
(7)因为惨
n2a-n2-a
2an
-lim.一
n八-n2a-n2_a
-a)(a0)发散.
(8)因为
n4n3
冋吟Jim:
2宀1
nm昇收敛.
1
而V4收敛,故级数7n^1n
:
:
3n
、、丄发散.
n
n土n2
—发散.n£n!
r2n32彳
=lim1,
n¥3n+43
由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.
1
2x1
鸾收釦
2n
2(x1)
22x12ln2
U*(n+1)2
二x叭尹訐?
二0知n叫吉=n叫歹■o1
□0
由达朗贝尔比值判别法知,级数V
n=1
二2nn
-一n仍收敛,由比较判别
3n
n43
匚]n
法的极限形式知,级数2nsin-n收敛.
n43
2nnncos—3n
(16)因为n—n而与(12)题类似地可证级数
n
'、、•-n收敛,由比较判别法知级数
n
心2
nn:
-ncos——Z
n4
收敛.
2n
试在(0,+8内讨论x在什么区间取值时,下列级数收敛:
QO
⑵、n3
n=1
解:
(1)因为
IIxn1
Un1x
limlim
n_‘Unnn1=lim坐xnn1
原级数发散;
由达朗贝尔比值判别法知,当X1时,
当0:
:
:
x:
:
:
1时,原级数收敛;
而当X=1时,
原级数变为调,它是发散的.
n三n
综上所述,当
7n
0.x:
1时,级数V—收敛.
nmn
(2)因为
..Ulimn—「’U
n
xx
2由达朗贝尔比值判别法知,当-1即x2时,原级
数发散;
1即0x2时,原级收敛.
而当
x
厂1即"2时,原级数变为'
3
n
n=1
,而由
QO
=•:
:
知n3发散,综上所述,当0:
:
:
x:
:
:
2
n=1
oO
时,级数
vn3(x)n收敛.
n丘2
9-3
习题
1.判定下列级数是否收敛,如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛:
□aa
:
』(F
n4M)n<2n
sinnxZ
2nJn
=(—1)n1
n4
1.n
sin;
nnn
oO
z
n-1
102n1
(-1)n
n=nx
J.:
sin(2nx)
n!
解:
(1)
这是一个交错级数
2n-1
limUn=0,
nj
j2n-1
2n-1
2n1
由莱布尼茨判别法知
COA
、(-1)n
n=1
2n-1
又E(-1)
2n-1
na2n-1
,由
lim
ny-
2n—1
J(-$
n=1
1
—条件收敛•
2n-1
(2)因为
(-1)22
(_1)22n
:
=3
故
2n(—1)n』愛'故
而收敛,故亦收敛,由比较判别法知
n吕2n£2
对收敛•
(3)因为
sinnx
n2
绝对收敛•
(4)因为
而'丄收敛,
绝对收敛•
及:
丄发散,知级数
oO
z
(-1)n2
(1)22n
<2,而级数'」&收敛,由比较判别法知、-n一
收敛,
sinnx
n2
|(-1)n1
lim
n•;:
^sin-1
mn
・nsin—n
n
=1
由比较判别法的极限形式知,级数a|(T)n1
1
1
<
1
+|1I
2n
102Z
2n
102n4
(5)因为
2n1022
丄1
n
oa
z
n=12n-1
发散,所以级数
所以级数
心(-1严2n
qQ”
收敛,因此,级数7sinnx
nT
n2
■^sinJ收敛,从而级数(-1)时1nnn
.n
sin
mn
而级数+收敛的等比级数(q』);由比值
n#2n2
•:
二1/11I
判别法,易知级数躺收敛,因而7二1门收敛,由比较判别法知级数、
110-n4210-
n=1
n=1
n2n1
210一
敛,所以原级数7
2n102nJ
绝对收敛.
(6)当x为负整数时,级数显然无意义;当x不为负整数时,此交错级数满足莱布尼茨判别法的
条件,故它是收敛的,但因a
'—发散,故原级数当X不为负整数时仅为条件收敛
(7)因为
sin(2nx)n!
1
<—
n!
由比值判别法知
1—收敛(tlim(n1)!
n-n!
=0),从而由比较判别法知
□a
z
n-1
n!
sin(2nx)n!
收敛,所以级数
fsinm,绝对收敛.
n!
讨论级数V(-1)
nz!
n二丄的收敛性
np
(p>0).
解:
当p1时,由于
np
二丄
nmnp
-收敛,故级数1(_1)n」
1
p绝对收敛.
n=1
当0:
:
:
p乞1时,由于Unp(n1)p
二Un1,
limun=0,由莱布尼茨判别法知交错级数
n.匚
°°1
V(_1严1
nA
np
收敛,然而,当0:
:
:
p空1时,
二(T)
n-11
np
二1ndnp
p发散,故此时,级数(-1)
n-11
np
条件收敛.
综上所述,当0:
:
:
p冬1时,原级数条件收敛
;当p>1时,原级数绝对收敛•
COQO
v/22
3v.设级数7an及bn都收敛,证明级数
oOQO
7anbn及一i.an•bn2也都收敛.
n=1
证:
因为0习anbn|Janl|bn|ibn2
QO
及Vbn2都收敛,
□OCO.
故V2an2?
^bn2收敛,n32nm2
00(11
从而a2an2-bn2收敛,由正项级
122丿
数的比较判别法知
Zanbn也收敛,从而级数送anbn绝对收敛
•又由
qQqQcQ
(anbn)^an2-2anbnbn2,及,a.^^bn2,以及7anbn收敛,利用数项级数的基本性质知,
(an2-2anbn-bn2)收剑,亦即n1
od
、(an
n4
-bj2收敛.
习题9-4
指出下列幕级数的收敛区间:
(1)
con
v.x
(0!
=1);
nOn!
n!
n
⑵nx;
n」n
xn
"R;
:
:
x2n1f(x2)n
n卫
2nn,
解:
因为p=limn-^c
=lim
n厂n1
an1
an
n、—(x-1)n•
n=0n
—=0,所以收敛半径r:
:
幕级数打—的收心n!
敛区间为
(-e,e).
n
x1
当X=2时,级数V=7—2是收敛的P一级数(P=2>1);
2
n22
nn=0n
oOxn悶1
当x=-2时,级数a「二P(-1)"1是交错级数,它满足莱布尼茨判别法的条件,故它收敛nzQ2nnmn
旳xn
综上所述,级数v〒—的收敛区间为[-2,2].
y2n
(4)此级数缺少偶次幕的项,不能直接运用定理
间•
条件,故它们都收敛•
(5)此级数为(x+2)的幕级数.
1所以收敛半径r2,即|x2|<2时,也即-4.x0时级数绝对收敛•当|x2|2即x:
:
:
-4P
或x0时,原级数发散•
旳1
当x=-4时,级数变为a(-1)n1是收敛的交错级数,
n=0n
001
当x=0时,级数变为调和级数,它是发散的•
nmn
综上所述,原级数的收敛区间为[-4,0).
(6)此级数(x-1)的幕级数
1
故收敛半径r.
2
113
于是当|x-1|即x时,原级数绝对收敛
222
113
当|xT|即x或x时,原级数发散
222
3:
:
1
当x时,原级数变为是调和级数,发散
2n1:
:
1
当x时,原级数变为7(-1)n,是收敛的交错级数
2n二n
综上所述,原级数的收敛区间为
求下列幕级数的和函数:
CO
(2)所给级数的收敛半经r=1,设S(x)=v2nx2nJ,当|x|:
:
:
1时,有
n¥
故Z2nx2n」=—2x>2(|x|c1)n壬(1-X)
(3)可求所给级数的收敛半径为1.
X
所以g(x)二一oIn(1-x)dx二xIn(1-x)-xln(1_x);
所以S(x)=11In(1-x),|x|:
:
:
1,且x=0.
lx丿
当x_1时,级数为'、•
COdCOA
—和'(-1)n1n2n(n1)
,它们都收敛•且显然有S(0)=0.
n(n1)11-1In(1—x)X(-1,0)-.(0,1)x=0,x_1
(4)可求得所给级数的收敛半径为
r=1且x_1时,级数发散,设S(x)八,
n=0
nxn」,则
0s(x)dx二\x
n卫1-X
11
S(x)y口
,即JnxnJ
(1)
解:
(1-x)2'所以'(2n1)xn=2x'nxn_l
n=0
QO
xn
n£
求下列级数的和:
:
:
2
、、、'
n,
n±5
:
:
2n-1
(1)考察幕级数
od
z
oO
n^(2n-1)2n'
⑷二n(n1)
nd
2n
,可求得其收敛半径r=1
,且当X—1时,级数的通项
Un
2
nmiun—nmn
八:
,因而
lim山=0,故当x_1时,
n—,>-
oOoo
级数vn2xn发散,故幕级数v
2n
二nx
的收敛区
间为(-1,1).
设S(x)=n2xn(|xp:
:
1),则S(x)=xtn2xn*
oO
2n4
令S(x)八nx
n=1
x/
.0S(x)dx二'nx
n=1
oO
n-1
=xnx再令£(x)八nx
nT
则J0S2(x)dx=送1-x
故S2(x)
x
1_x(1_x)2(|x|"),从而有"g
2・
(1-x)
S(x)
=xSi(x)=
xx2
(1-X)3
(2)考察幕级数
112
()
55
3
1」
5
15
32
1
—x2n,可求得收敛半径r=1,设
1-x2■
COACO
I2n二c\丁2n_2
x,则3(x)='x
11+x
S1(x)V(0)寸石
(s,(0)")•
1.八
s(xr尹仁,(沪),
从而
QO
*n-厂…
n生(2n-1)22y21
「2
(3)考察幕级数(2n-1)x2nJ,可求得其级数半经为r=1,因为
--x■■
令S(x)二'2nx2n4,则p0(x)dx八x2n
取XJ,得
2
(4)考察幕级数an(n1)xn,可求得其收敛半径r=1
(i)
解:
oO
设S(x)八n(n1)xn(|x|:
:
:
1)
n4
x:
:
:
:
则[0S(x)dx=^nxn书=x?
送nxnA.
n2n^
oO
又设S/x)八nx
ni
从而Si(x)
n」则
x
0Sdx)dx
0V
一n一、x
n4
1-x
1_x
1
=(1-x)2
习题9-5
将下列函数展开成
x的幕级数:
2x
cos;
2
x
sin—;⑶
2
A2
n
⑸cos(x).
(1)
2xcos一
2
1cosx
11:
:
x2n
(2n)!
.x
sin
2
八(-1)n
nW
1x
(2n+1)!
迈丿
2n1
(-二:
:
:
X;:
「:
)
(3)
2-xxe
二x'」(
n£n!
oO
2、nn
-x)(-1)
n=S
12n1
x(_:
-:
:
X:
-)n!
1
1-x2
1丄•丄
2|H-x1x
(5)
cos
n
二cosxcos-
4
n
sinxsin
4
2.将下列函数在指定点处展开成幕级数,并求其收敛区间:
1
(1)
在X0—1;
3-
x
1
⑶
2
在X0-1;
x
4x3
解:
(1
1
)因为=
1
二*
1
3-x
21-
X-1
2
而
(2)cosx,在x0=—;
3,
1
(4)2,在xo=3.
x
x-1
(|D卜:
1即-Vx3).
2
所以
1Mfx-1Y腭(X-1)n
n~1
2n卫.2律2n1
(―1:
:
x:
:
3).
收敛区间为:
(-1,3)
nnIn2n2
(2)cosx=cos(x)=cos-cos(x)—sinsin(x)[333333
收敛区间为(Y,•二).
11111111
(3)(—)-
x2+4x+321+x3+x4[+口8忙_1
~4~由|x?
1且|x—1|v.1得一1vxc3,故收敛区间为(-1,3)
二_'(-[)
_n=0
(x-3)n
故收敛区间为(0,6)
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- 微积分 曹定华 修订版 课后 答案 第九 习题 详解