高考数学二轮专题复习训练专题一 三角.docx
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高考数学二轮专题复习训练专题一三角
江苏新高考
新高考中,对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题,以和、差角公式的运用为主,可见三角式的恒等变换比三角函数的图象与性质更为重要.三角变换的基本解题规律是:
寻找联系、消除差异.常有角变换、函数名称变换、次数变换等(简称为:
变角、变名、变次).备考中要注意积累各种变换的方法与技巧,不断提高分析与解决问题的能力.
三角考题的花样翻新在于条件变化,大致有三类:
第一类是给出三角式值(见2014年三角解答题),第二类是给出在三角形中(见2011年、2015年、2016年三角解答题),第三类是给出向量(见2013年、2017年三角解答题).而2012年三角解答题则是二、三类的混合.
第1课时
三角函数(基础课)
[常考题型突破]
三角恒等变换
[必备知识]
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;
(2)cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;
(3)tan(α±β)=.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α=2sinαcosα;
(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
(3)tan2α=.
[题组练透]
1.(2017·江苏高考)若tan=,则tanα=
________.
解析:
tanα=tan
===.
答案:
2.已知f(x)=sin,若sinα=,则f=________.
解析:
∵sinα=,
∴cosα=-,
∴f=sin=sin=(sinα+cosα)=×=-.
答案:
-
3.(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=________.
解析:
由题意知sin=,θ是第四象限角,
所以cos==.
tan=tan=-
=-=-×=-.
答案:
-
4.在△ABC中,sin(C-A)=1,sinB=,则sinA=________.
解析:
∵sin(C-A)=1,
∴C-A=90°,即C=90°+A,∵sinB=,
∴sinB=sin(A+C)=sin(90°+2A)=cos2A=,
即1-2sin2A=,∴sinA=.
答案:
[方法归纳]
三角恒等变换的“四大策略”
(1)常值代换:
特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan45°等;
(2)项的拆分与角的配凑:
如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等;
(3)升次与降次:
正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;
(4)弦、切互化:
一般是切化弦.
三角函数的图象与解析式
[必备知识]
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)“五点法”作图:
设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线可得.
(2)图象变换:
y=sinxy=sin(x+φ)
y=Asin(ωx+φ).
[题组练透]
1.(2016·全国卷Ⅲ)函数y=sinx-cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移________个单位长度得到.
解析:
因为y=sinx+cosx=2sin,y=sinx-cosx=2sin,所以把y=2sin的图象至少向右平移个单位长度可得y=2sin的图象.
答案:
2.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形,则f
(1)=________.
解析:
由题意得,A=,T=4=,ω=.又∵f(x)=Acos(ωx+φ)为奇函数,∴φ=+kπ,k∈Z,取k=0,则φ=,∴f(x)=-sinx,∴f
(1)=-.
答案:
-
3.(2017·天津高考改编)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则ω=________,φ=________.
解析:
∵f=2,f=0,
∴-=(2m+1),m∈N,
∴T=,m∈N,
∵f(x)的最小正周期大于2π,∴T=3π,
∴ω==,∴f(x)=2sin.
由2sin=2,得φ=2kπ+,k∈Z.
又|φ|<π,∴取k=0,得φ=.
答案:
4.设函数f(x)=2sin,若对任意x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为______.
解析:
由f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R成立,知f(x1),f(x2)分别是函数f(x)的最小值和最大值.又要使|x1-x2|最小,∴|x1-x2|的最小值为f(x)的半个周期,即为2.
答案:
2
[方法归纳]
(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点求A,由函数的周期确定ω,由图象上的关键点确定φ.
(2)对于函数图象的平移问题,一定要弄清楚是由哪个函数图象平移到哪个函数图象,这是判断移动方向的关键点,否则易混淆平移的方向,导致结果出错.
三角函数的性质
[必备知识]
1.三角函数的单调区间
y=sinx的单调递增区间是(k∈Z),单调递减区间是(k∈Z);
y=cosx的单调递增区间是(k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);
y=tanx的递增区间是(k∈Z).
2.三角函数的奇偶性与对称性
y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数;
对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;
对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.
[题组练透]
1.已知f(x)=2sin,则函数f(x)的最小正周期为________,f=________.
解析:
周期T==π,f=2sin=.
答案:
π
2.(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)=sin2x+cosx-的最大值是________.
解析:
依题意,f(x)=sin2x+cosx-=-cos2x+cosx+=-2+1,
因为x∈,所以cosx∈[0,1],
因此当cosx=时,f(x)max=1.
答案:
1
3.若函数f(x)=sin(ω>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为,则f(x)在上的单调递增区间为________.
解析:
依题意知,f(x)=sin的图象相邻两个对称中心之间的距离为,于是有T==2×=π,ω=2,所以f(x)=sin.当2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z时,f(x)=sin单调递增.因此,f(x)=sin在上的单调递增区间为.
答案:
[方法归纳]
三角函数的单调性、周期性及最值的求法
(1)三角函数单调性的求法
求形如y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A,ω,φ为常数,A≠0,ω>0)的单调区间的一般思路:
令ωx+φ=z,则y=Asinz(或y=Acosz),然后由复合函数的单调性求得.
(2)三角函数周期性的求法
函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=.应特别注意y=|Asin(ωx+φ)|的最小正周期为T=.
(3)三角函数最值(值域)的求法
在求最值(值域)时,一般要先确定函数的定义域,然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值.
正弦定理和余弦定理
[必备知识]
1.正弦定理及其变形
在△ABC中,===2R(R为△ABC的外接圆半径).变形:
a=2RsinA,sinA=,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC等.
2.余弦定理及其变形
在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA.
变形:
b2+c2-a2=2bccosA,cosA=.
3.三角形面积公式
S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB.
[题组练透]
1.(2017·盐城期中)在△ABC中,已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的大小为________.
解析:
由正弦定理及sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7知,a∶b∶c=3∶5∶7,可设a=3k,b=5k,c=7k,且角C是最大内角,由余弦定理知cosC===-,因为0° 答案: 120° 2.在△ABC中,B=,AB=2,D为AB的中点,△BCD的面积为,则AC=________. 解析: 因为S△BCD=BD·BCsinB=×1×BC×sin=,所以BC=3.由余弦定理得AC2=4+9-2×2×3×cos=7,所以AC=. 答案: 3.(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=________. 解析: 在△ABC中,∵cosA=,cosC=, ∴sinA=,sinC=, ∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC =×+×=. 又∵=,∴b===. 答案: [方法归纳] 关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口. [课时达标训练] 1.(2017·苏北四市期末)若函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为,则f的值为________. 解析: 因为f(x)的最小正周期为=,所以ω=10,所以f(x)=sin,所以f=sin=sin=-sin=-. 答案: - 2.在平面直角坐标系xOy中,角θ的终边经过点P(-2,t),且sinθ+cosθ=,则实数t的值为________. 解析: ∵角θ的终边经过点P(-2,t), ∴sinθ=,cosθ=, 又∵sinθ+cosθ=, ∴+=,即=, 则t>2,平方得=, 即1-=,即=, 则t2-5t+4=0,则t=1(舍去)或t=4. 答案: 4 3.(2017·南京、盐城一模)将函数y=3sin的图象向右平移φ个单位后,所得函数为偶函数,则φ=____________. 解析: 将函数y=3sin的图象向右平移φ个单位后,所得函数为f(x)=3sin,即f(x)=3sin.因为f(x)为偶函数,所以-2φ=+kπ,k∈Z,所以φ=--,k∈Z,因为0<φ<,所以φ=. 答案: 4.设函数y=sin(0<x<π),当且仅当x=时,y取得最大值,则正数ω的值为________. 解析: 由条件得sin=1,又0<x<π,ω>0,故ω+=,ω=2. 答案: 2 5.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2b=a+c,若sinB=,cosB=,则b的值为________. 解析: ∵2b=a+c,sinB=,cosB=,sin2B+cos2B=1,∴ac=15,∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-18=(a+c)2-48=4b2-48,得b=4. 答案: 4 6.(2017·扬州期末)已知cos=0<α<,则sin(π+α)=________. 解析: 因为cos=, 所以<+α<, 有sin==, 所以sin(π+α)=sin =sincos+cossin =×+×=. 答案: 7.(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则cos(α-β)=________. 解析: 因为角α与角β的终边关于y轴对称, 所以α+β=2kπ+π,k∈Z, 所以cos(α-β)=cos(2α-2kπ-π)=-cos2α =-(1-2sin2α)=-=-. 答案: - 8.在△ABC中,A=,a=c,则=________. 解析: ∵在△ABC中,A=, ∴a2=b2+c2-2bccos,即a2=b2+c2+bc. ∵a=c,∴3c2=b2+c2+bc,∴b2+bc-2c2=0, ∴(b+2c)(b-c)=0,∴b-c=0,∴b=c,=1. 答案: 1 9.若f(x)=sin(x+θ)-cos(x+θ)是定义在R上的偶函数,则θ=________. 解析: 因为f(x)=sin(x+θ)-cos(x+θ)=2sin为偶函数,所以θ-=kπ+,k∈Z.即θ=kπ+.因为-≤θ≤,所以θ=-. 答案: - 10.在△ABC中,设a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=5,A=,cosB=,则c=________. 解析: 根据题意得,sinB=,所以sinC=sin(A+B)=sin=(sinB+cosB)=×=,由=,得=,解得c=7. 答案: 7 11.(2017·无锡期末)设f(x)=sin2x-cosx·cos,则f(x)在上的单调递增区间为________. 解析: f(x)=sin2x+sinxcosx=(1-cos2x)+sin2x=sin+,当2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z时,函数f(x)单调递增,令k=0,得-≤x≤,所以函数f(x)在上的单调递增区间为. 答案: 12.函数y=asin(ax+θ)(a>0,θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为________. 解析: 易知函数y=asin(ax+θ)(a>0,θ≠0)的最大值为a,最小值为-a,最小正周期T=,所以相邻的最高点与最低点的距离为≥=2,当且仅当=2a,即a=时等号成立. 答案: 2 13.已知cos+sinα=,则sin的值是________. 解析: 由cos+sinα=, 可得cosα+sinα+sinα=, 即sinα+cosα=, ∴sin=,sin=, ∴sin=-sin=-. 答案: - 14.(2017·苏锡常镇一模)已知sinα=3sin,则tan=________. 解析: ∵sinα=3sin=3sinαcos+3cosα·sin=sinα+cosα,∴tanα=. 又tan=tan===2-, ∴tan= ==2-4. 答案: 2-4 1.如图,已知A,B分别是函数f(x)=sinωx(ω>0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点,且∠AOB=,则该函数的最小正周期是________. 解析: 设函数f(x)的最小正周期为T,由图象可得A,B,则·=-3=0,解得T=4. 答案: 4 2.(2017·南京考前模拟)已知函数f(x)=sin-cosωx(ω>0).若函数f(x)的图象关于直线x=2π对称,且在区间上是单调函数,则ω的取值集合为____________. 解析: f(x)=sinωx+cosωx-cosωx=sinωx-cosωx=sin, 因为f(x)的图象关于直线x=2π对称, 所以f(2π)=±1, 则2πω-=kπ+,k∈Z, 所以ω=+,k∈Z. 因为函数f(x)在区间上是单调函数, 所以最小正周期T≥2, 即≥π,解得0<ω≤2, 所以ω=或ω=或ω=或ω=. 当ω=时,f(x)=sin, x∈时,x-∈, 此时f(x)在区间上为增函数; 当ω=时,f(x)=sin, x∈时,x-∈, 此时f(x)在区间上为增函数; 当ω=时,f(x)=sin, x∈时,x-∈, 此时f(x)在区间上为增函数; 当ω=时,f(x)=sin, x∈时,x-∈, 此时f(x)在区间上不是单调函数; 综上,ω∈. 答案: 3.△ABC的三个内角为A,B,C,若=tan,则tanA=________. 解析: ==-=-tan=tan=tan, 所以-A-=-,所以A=-=, 所以tanA=tan=1. 答案: 1 4.已知函数f(x)=Asin(x+θ)-coscos(其中A为常数,θ∈(-π,0)),若实数x1,x2,x3满足: ①x1<x2<x3,②x3-x1<2π,③f(x1)=f(x2)=f(x3),则θ的值为________. 解析: 函数f(x)=A(sinxcosθ+cosxsinθ)-cos·=A(sinxcosθ+cosxsinθ)-×-sinx=sinx+cosx-,故函数f(x)为常数函数或为周期T=2π的周期函数.又x1,x2,x3满足条件①②③,故f(x)只能为常数函数,所以则tanθ=,又θ∈(-π,0),故θ=-. 答案: - 第2课时 平面向量(基础课) [常考题型突破] 平面向量的概念及线性运算 [必备知识] (1)在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向,不能盲目转化. (2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量;在用三角形减法法则时要保证“同起点”,减向量的方向是指向被减向量. (3)A,B,C三点共线的充要条件是存在实数λ,μ,有=λ+μ,且λ+μ=1. (4)C是线段AB中点的充要条件是=(+).G是△ABC的重心的充要条件为++=0. [题组练透] 1.(2017·盐城期中)设向量a=(2,-6),b=(-1,m),若a∥b,则实数m=________. 解析: 因为a∥b,所以2m-(-1)×(-6)=0,所以m=3. 答案: 3 2.(2017·镇江模拟)已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=________. 解析: 由++=0知,点M为△ABC的重心,设点D为底边BC的中点,则==×(+)=(+),∴+=3,故m=3. 答案: 3 3.(2017·南京考前模拟)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2CD,M为CD的中点,N为线段BC上一点(不包括端点),若=λ+μ,则+的最小值为________. 解析: 以AB为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系如图所示, 设B(2,0),C(1,t),M,N(x0,y0), 因为N在线段BC上,所以y0=(x0-2), 即y0=t(2-x0), 因为=λ+μ, 所以 即t=λt+μy0=λt+μt(2-x0),因为t≠0, 所以1=λ+μ(2-x0)=λ+2μ-μx0=λ+2μ-, 所以3λ+4μ=4,这里λ,μ均为正数, 所以4=(3λ+4μ)=3+12++≥15+2=27, 所以+≥当且仅当=,即λ=,μ=时取等号. 所以+的最小值为. 答案: [方法归纳] (1)对于平面向量的线性运算,要先选择一组基底;同时注意共线向量定理的灵活运用. (2)在证明两向量平行时,若已知两向量的坐标形式,常利用坐标运算来判断;若两向量不是以坐标形式呈现的,常利用共线向量定理(当b≠0时,a∥b⇔存在唯一实数λ,使得a=λb)来判断. 平面向量的数量积 [必备知识] 1.数量积的定义: a·b=|a||b|cosθ. 2.三个结论: (1)若a=(x,y),则|a|==. (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 ||=. (3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角, 则cosθ==. [题组练透] 1.(2017·山东高考)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是________. 解析: 因为=, 故=,解得λ=. 答案: 2.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________. 解析: 易知|a+2b|===2. 答案: 2 3.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos〈m,n〉=,若n⊥(tm+n),则实数t的值为________. 解析: ∵n⊥(tm+n),∴n·(tm+n)=0, 即tm·n+|n|2=0,∴t|m||n|cos〈m,n〉+|n|2=0. 又4|m|=3|n|,∴t×|n|2×+|n|2=0, 解得t=-4. 答案: -4 4.(2017·南京、盐城二模)已知平面向量=(1,2),=(-2,2),则·的最小值为________. 解析: 设A(a,b),B(c,d), ∵=(1,2),=(-2,2), ∴C(a+1,b+2),D(c-2,d+2), 则=(c-a,d-b),=(c-a-3,d-b), ∴·=(c-a)(c-a-3)+(b-d)2=(c-a)2-3(c-a)+(b-d)2=2-+(b-d)2≥-. ∴·的最小值为-. 答案: - 5.已知边长为6的正三角形ABC,=,=,AD与BE交于点P,则·的值为________. 解析: 由题意可得点D为BC的中点,以点D为坐标原点,BC,AD所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0),A(0,3),B(-3,0),C(3,0),E(1,2),直线BE的方程为y=(x+3)与AD(y轴)的交点为P,所以·=·=. 答案: [方法归纳] (1)涉及数量积和模的计算问题,通常有两种求解思路: ①直接利用数量积的定义,围绕基底展开的运算,需要熟悉向量间的相互转化; ②建立坐标系,通过坐标运算求解,需要熟悉数量积的坐标公式及平行、垂直的运算公式等,其中,涉及平面向量的模时,常把模的平方转化为向量的平方. (2)在利用数量积的定义计算时,要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算. 平面向量的应用 [题组练透] 1.(2017·南京三模)在四边形ABCD中,BD=2,且·=0,(+)·(+)=5,则四边形ABCD的面积为________. 解析: 因为·=0,所以⊥,所以以BD所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立直角坐标系,因为BD=2,所以可设B(b,0),D(2+b,0),A(0,a),C(0,c),所以=(b,-a),=(-2-b,c),=(-b,c),=(2+b,-a),所以+=(-2,c-a),+=(2,c-a),因为(+)·(+)=5,所以-4+(c-a)2=5,即(c-a)2=9,所以||=|c-a|=3,所以四边形ABCD的面积为×AC×BD=×3×2=3. 答案: 3 2.已知圆O的半径为2,AB是圆O的一条直径,C,D两点都在圆O上,且||=2,则|+|=________. 解析: 如图,连结OC,OD, 则=+,=+, 因为O是AB的中点, 所以+=0, 所以+=+, 设CD的中点为M,连结OM, 则+=+=2, 显然△COD是边长为2的等边三角形, 所以||=, 故|+|=|2|=2. 答案: 2 3.(2017·南通三模)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=3,BC=DC=2.若E,F分别是线段DC和BC上的动点,则·的取值范围是________. 解析: 法一: 因为=+,=+,所以·=(+)·(+)=·+·=3||-2||,因为E,F分别是线段DC和BC上的动点,且BC=DC=2,所以||∈[0
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