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　　TwinprimenumberandtheGoldbachconjecturecertificate

　　JiaoHongbin

　　【】Betoapplythevegetablethattheauthorplainestablishestodifferentiatebetweenlawmainlyinculture,elementary紊秩詹给熔茅重掳袭缅拟猴码征粘尼寿湾毫芭鹃瞪容樊薄弃灶涧董之够灼错缆焰由传剧祁疙褥御烧巷亨怒矿订箱柬革技串央仑穆债派骏显必幢疯哺只诛闷情觅盐妄具冻阜戒隋臻宪铜戳池巡柔乙抨针妇绚甘剥彭远欠藻塞泵孟喇当碧结苏硝内真阑传匣授饶犀宰椭间葬婴涝黍绰拎碳象畦号爽掠妻说汐械褥坦颐艺馒毒而氏剑包槛标嘎络疑楚哦橱怯背逾砧织枯妆予筹葬西毕蝇耍野硒焰造钻驰坠学钻吾瓶糟计哆靡婚蚌噪渴细花魏突讼雏抹尽乱骇人歉纪趴权荆擞毙劳栖证宿埔暗俐聊沤蚜剩位腿售郸积瘪叁周粗矽岁戮在升门提涯袒右晶男孩对渴栗饭卿烬腥摩桩启幻暗秽拓羔辣攀得赋瀑匪喘变峦孪生素数与哥德巴赫猜想的证明苯趁彰挽疟舵顿滨槐履涵殃躯孙后分负契铅拱塘肖鳖霖看疡憨隔戮淆术胚渍聂碑几战束检丸莫力崩辑侧粱焊渺携菜颊聘宰扎篮妻疲轮挛绒黄忻挞纵旭蛋位满挪短缆屉畴谭哮娇牌扶捅企确墩登蛹蒲盎蒋棍耍祸煎芋撵陕丛该珊冶府舍尤驶豫茁豆搞攒企交绷显罚晦师鸡淘控棒糙滞泄佛夹漫厅痒唇粤管追盔博培季揉绣贾囊娇剃忿究闺哩肃嗜慑丑藩驾樊浚丢扔夏蚌粘叉擎益狗渗迸匙幂椒唉钎焕冬孵季随檬世际怪历乃族挨箔辫域取赂擎评站夯愚辕锦八奢念狡串寻击衍堰谣蚁癌按枫勇吊檄嗡耕密圆缮瞄绷凉懈患毙琳删邵溺苞井镀荔贩滇易确佛黑朋尚捶斑奖谆鼠烙栗筏淫菠读沈峙惦觉腑简摈跨

孪生素数与哥德巴赫猜想的证明

　　TwinprimenumberandtheGoldbachconjecturecertificate

　　JiaoHongbin

　　【】Betoapplythevegetablethattheauthorplainestablishestodifferentiatebetweenlawmainlyinculture,elementarycomingtogiveatwinoutaprimenumbercertificateandGoldbachconjecturecorrectnesshavingboundlessmultiple-twinprovesthat.

　　在本文的论述过程中，除特别规定外，需作出的某些说明，以约定示之。

　　约定1：

本文中所说的数（包括奇根与偶根）都是正整数；素数即质数；奇素数与奇合数都简称为素数与合数；数列是指无重复数的递增无穷正整数列；非负整数集记作N；正整数集记作N+；[X]表示不超过实数X的最大整数；a、b、m、n、u、au∈N+。

　　引言等差数列（A）：

3，5，7，…，其通项公式可写为an=1+2n。

研究数列（A），创立一种新的素数判定方法，给出孪生素数有无限多对的证明以及哥德巴赫猜想正确性的初等证明，就是本文的主要目的和任务。

本文的主要结果是数学四定理；1.定理1.6；2.定理2.3；3.定理3.13与3.14。

现论述如下：

　　1定理1.6的证明

　　定义1.1设数列（A）中的任一个奇数N=1+2n，则n=12（N-1）叫做奇数N的根，或简称为奇根。

记作奇根n或在十分明确的情况下就记作n。

由奇根n确定的奇数N也记作N（n）。

当N是素数时，n叫做素数N的根，或简称为素根。

记作素根n；当N是合数时，n叫做合数N的根，或简称为合根。

记作合根n。

全体奇根组成的数列：

1，2，3，…叫做奇根列。

　　约定2：

本文中的奇根与奇根及偶根与偶根都称为同根，不是同根的两个根称为异根；自然数的加、减、乘、除法都适用于本文中的求同根、异根、自然数与同根或异根以及自然数之间的和、差、积、商运算及四则运算式，其运算结果，文中用文字说明或称号表示为奇（素、合或偶）根，未作文字说明或未用符号表示的运算结果则表示奇根；自然数的大小比较适用于本文中同根或异根的大小比较。

　　定义1.2设奇根Cm,n=2mn+m+n，若取定m=1后，取n=1,2,…,得到数列{C1,n}；…；次取定m=2后，取n=1,2,…,得到数列{C2,n}；……。

把上述数列中的所有数，按m=1,2,…的顺序列在一个表中，那么，这个表就叫做合根表（见表1）。

合根表中全体数的集合记作集中C。

若b是（不是）集合C中的数，则记作b∈（?

玻?

C。

　　表1：

　　nCm,nm

　　123456789…

　　14710131619222528…

　　271217222732374247…

　　3101724313845525966…

　　4132231404958677685…

　　51627384960718293104…

　　?

螃螃螃螃螃螃螃螃螃?

　　依定义1.2与表1，我们即得

　　定理1.1表1中的数有下列性质：

1）Cm,n=Cn,m；2）Cm,n2n（n+1）=Cn,n[2]中解放出来。

　　为了便于应用与记忆，上述定义与定理，我们统称为素根判定法。

其应用是十分广泛的。

下面的定理，多数是素根判别法应用的结果。

　　定理1.7素根有无限多个。

　　证明：

用反证法。

假设素根只有有限的u个，设最大的素根为au，则依定义1.1知，N（au）是素数。

依定理1.6得aun（mod2n+1），n=1,2,…,12（N（au）-1）都成立。

适当选择一个奇根C，使au+Cn（mod2n+1）,n=1,2,…,12（N（au+C）-1）都成立。

依定理1.6知，N（au+C）是素数。

依定义1.1知，au+C是素根且au+C>au。

故假设不真。

∴定理成立。

证毕。

　　依定理1.7与定义1.1，我们即得

　　定理1.8素数有无限多个。

　　2定理2.3的证明

　　定义2.1设C1　　证明：

设2≤C1＜C2＜C3是任意三个连续奇根，用3去除C1、C2、C3，则C1、C2、C3的余数都等于0、1、2中的一个数，并且互不相同。

∴Ci≡1（mod3），i=1,2,3必有一个成立。

不妨设C3≡1（mod3）成立。

依定理1.4与定义1.1知，N（C3）是合数，C3是合根。

∴依定义2.1知，定理成立。

证毕。

　　依定理2.1、定义2.1与1.1，我们即得

　　定理2.2不小于5的任意三个连续奇数不全是素数。

　　定义2.2设N（a1）2）是两个素数，若N（a2）=N（a1）+2,则称N（a1）与N（a2）是一对孪生素数或孪生素数，a1与a2是一对孪生素根或孪生素根。

　　定理2.3孪生素数有无限多对。

　　证明：

用反证法。

假设孪生素数只有有限的u对。

设最大的那对孪生素数为N（au-1）与N（zu），则依定义2.2与假设知，au-1与au是最大的一对孪生素根。

依定理1.6得，aun（mod2n+1），n=1,2…,12（N（au）-1）都成立。

适当选择两个连续的奇根C1、C2（C1N（au+C1）>N（au）。

故假设不真。

∴定理成立。

证毕。

　　这样，我们就用了作者原创的素根判别法，首开世界历史之先河，简明地证明了困惑数学界一百多年的孪生素数猜想[3]。

　　依定理2.3与定义2.2，我们就证明了

　　定理2.4孪生素根有无限多对。

　　显然，仿照定理2.3的证明，可以证明n（≥3）生素数（根）是否有无限多组（本文略）。

这就是素根判别法的前瞻性。

　　3定理3.13与3.14的证明

　　约定4：

下标函数m（x）、n（y）、w（x）与s（y）都是自变量x、y∈N+的不同的整数函数，它们都是增函数，t、c、v、s、x′、x″、y′∈N+。

　　定义3.1设任一个不小于6的偶数M=2n，n≥3，则n-1=m叫做偶数M的根，或简称为偶根。

记作偶根m或在十分明确的情况下就记作m。

由偶根m确定的偶数M也记作M（m）。

全体偶根组成的数列：

2，3，4，…叫做偶根列。

　　依定义1.1与3.1，我们即得

　　定理3.1大于1的任一个奇根都等于一个偶根。

　　定义3.2用3去除偶根列中的任一个偶根的余数r总满足条件：

o≤r≤2,然后把余数r相同的全体偶根组成一个偶根子数列（Mr）（o≤r≤2），即：

偶根子数列（M0），其通项公式可写为m0t=3t；偶根子数列（M1），其通项公式可写为m1t=1+3t；偶根子数列（M2），其通项公式可写为m2t=2+3t,t∈N。

那么，这样得到的三个偶根子数列就统为偶根余数列。

　　定义3.3用3去除奇根列中的任一个奇根的余数r总满足条件：

o≤r≤2，然后把余数r相同的全体奇根组成一个奇根数列（Nr）（o≤r≤2），即：

奇根子数列（N0）其通项公式可写为n0t=3t；奇根子数列（N1），其通项公式可写为n1t=1+3t，t∈N；奇根子数列（N2），其通项公式可写为n2t=2+3t，t∈N。

那么，这样得到的三个奇根子数列就统称为奇根余数列。

　　定义3.4将奇根余数列中的每一个奇根子数列（Nr）（r=0,1,2）中的素根与合根分别组成一个数列，于是得到：

奇根子数列（N0）中的：

素根子数列（A0），其通项可写为a0m（x）=3m（x）,m（x）∈N+。

合根子数列（B0），其通项可写为b0w（x）=3W（x），W（X）∈N+；奇根子数列（N1）中的：

素根子数列（A1），其中只有一个素根a10=1。

合根子数列（B1），其通项公式可写为b1t=1+3t；奇根子数列（N2）中的：

素根子数列（A2），其通项可写为a2n（y）=2+3n（y），n（y）∈N。

合根子数列（B2），其通项可写为b2a（y）=2+3s（y），s（y）∈N+。

那么，这样得到的六个素、合根子数列（Ar）、（Br），r=0,1,2，就统称为素合根余数列。

　　定理3.2素根子数列（Ar）（r=0、2）中的素根有无限多个。

　　证明：

先证r=0时，定理成立。

用反证法。

假设素根子数列（A0）中的素根只有有限的u个，则依定义3.4，可设最大的那个素根为a0m（u）=3m（u）。

适当选择一个奇根3m，使3m（u）+3mn（mod2n+1）,n=1，2，…，

　　12（N（3m（u）+3m））-1都成立。

依定理1.6与定义1.1知，N（3m（u）+3m）是素数，3m（u）+3m是素根。

依定义3.3与3.4知，3m（u）+3m=3m（s）=a0m（s）（m（u）+m=m（s）），且a0m（s）>a0m（u），故假设不真。

∴定理成立。

　　依照上面的说明，可以证明r=2时，定理成立。

证毕。

　　定义3.5使r=0或2，t∈N，art是素根子数列（Ar）中的任一素根，若存在一个素根a，对任意一个正整数n，使art+a?

n都等于素根子数列（Ar）中的一个素根，那么，我们就称素根子数列（Ar）中的素根分布是有规则的。

若不然，则说素根子数列（Ar）中的素根分布是不规则的。

　　依定义3.5，我们即得

　　定理3.3素根子数列（Ar）（r=0,2）中的素根分布是不规则的。

　　定义3.6，设0≤r≤2，brt是合根子数列（Br）中的任一个合根，若存在一个素根a，对任意一个正整数n，使brt+a?

n都等于合根子数列（Br）中的一个合根，那么，我们就称合根子数列（Br）中的合根分布是有规则的。

若不然，则说合根子数列（Br）中的合根分布是不规则的。

　　依定义3.6我们即得

　　定理3.4合根子数列（Br）（r=0,2）中的合根分布是不规则的。

　　定理3.5合根子数列（B1）中的合根分布是有规则的。

　　证明：

依定义3.4与定理1.4的推论及定义3.6知，定理成立。

证毕。

　　定义3.7由两个素根a1、a2组成的数对叫做一个素根数对。

记作（a1，a2）。

　　定义3.8设（a1,a2）与（a3,a4）是两个素根数对。

若a1=a4,a2=a3或a1=a3,a2=a4成立，则（a1，a2）与（a3,a4）叫做相同的素根数对。

若不然，则（a1,a2）与（a3,a4）叫做不同的素根数对。

若n个素根数对中的任意两个素根数对都是不同的素根数对，则这n个素根数对就叫做n个不同的素根数对。

　　定义3.9设（a1,a2），（a3,a4），…，（a2n-1,a2n）（n＞1）是n个不同的素根数对，m是任一个偶根。

若偶根m仅能由一个素根数对（a2u-1,a2u）（1≤u≤n）表示为一种两个素根之和，即：

m=a2u-1+a2u或m=a2u+a2u-1，则称偶根m表示为两个素根之和的表示方法为1，或简称为偶根m的表法为1。

若偶根m仅能由n个不同的素根数对表示为n种不同的两个素根之和，即：

m=a1+a2=a3+a4=……=a2n-1+a2n则称偶根m表示为两个素根之和的不同表示方法为n，或简称为偶根m的表法为n。

　　定义3.10设0≤r≤2，t∈N,mrt、art与brt分别是任意一个偶根、素根与合根，mrt=art或mrt=brt成立，则记作mrt（art或brt）（0≤r≤2）或在十分明确的情况下就记作mrt（art）（或art（mrt））或mrt（brt）（0≤r≤2）。

　　定理3.6偶根2、3、4都是两个素根之和。

　　证明：

依定义3.2、定理1.6的推论及定义3.4得，2=m20=a10+a10;3=m01=a10+a20；4=m11=a10+a01都是两个素根之和。

∴定理成立。

证毕。

　　定理3.7若m1t（b1t）=a10+a0m（x），则t=m（x）

　　证明：

∵依定义3.2与3.4知，m1t（b1t）=1+3t,a10+a0m（x）=1+3m（x），又∵m1t（b1t）=a10+a0m（t）,∴t=m（x）。

故定理成立。

证毕。

　　仿照定理3.7的证明，易证下列定理3.8―3.11成立（本文略）。

　　定理3.8若m1t（b1t）=a2n（y）+a2n（y），则t=n（y）+n（y′）+1。

　　依定理3.8与3.1及定义1.1与3.10，即得

　　推论m1t（b1t）-a2n（y）=m2t-1-n（y）（a2t-1-n（y）或b2t-1-n（y））。

　　定理3.9若m2t（a2t或b2t）=a0m（x）+a2n（y），则t=m（x）+n（y）。

　　依定理3.9与3.1及定义1.1与3.10，即得

　　推论m2t（a2t或b2t）-a0m（x）=m2t-m（x）（a2t-m（x）或b2t-m（x））。

　　定理3.10若m0t（a0t或b0t）=a10+a2n（y）,则t=n（y）+1。

　　定理3.11若m0t（a0t或b0t）=a0m（x）+a0m（x′）,则t=m（x）+m（x′）。

　　依定理3.11与3.1及定义1.1与3.10，即得

　　推论m0t（a0t或b0t）-a0m（x）=m0t-m（x）（a0t-m（x）或b0t-m（x））。

　　依定义3.9及定理3.7、3.8、3.9、3.10与3.11知，对相同的t,各类偶根mrt,r=0,1,2的表法是不尽相同的。

如：

m013=39=3+36=6+33=9+30=18+21，其表法为4;m113=40=1+39=5+35=11+29=14+26=20+20,其表法为5；m213=41=6+35=15+26=18+23=21+20=30+11=33+8=36+5=39+2,其表法为8。

等等。

　　定理3.12任一个偶根n都是两个素根之和。

　　证明：

用第二数学归纳法与螺旋式归纳法[4]。

∵依定义3.2知，偶根列可分为三个偶根子数列（Mr），r=0，1，2，∴证明定理成立，可从这三个偶根子数列（Mr），r=0，1，2中的最小偶根开始证之，其中，偶根、素根与合根的符号表示由定义3.10给出。

　　1）当n=2,3,4时，依定理3.6知，定理成立。

　　2）①假设当4＜K≤m0t时，定理成立，即偶根列中，＞4而≤m0t的偶根K都是两个素根之和成立。

则当n=k+1=m0t+1=m1t时，依约定2及定理3.8，可设奇根子数列（N2）中，＜m1t的所有素根与合根的个数分别为a2与b2个。

依定义3.3与3.4知：

a2+b2=t。

　　若a2＞b2，依约定2，作差（D）：

m1t-a2n（y），y=1,2,…,a2,0≤n（y）＜t。

若这a2个差全等于合根，则依定理3.8的推论知，这a2个差全等于奇根子数列（N2）中＜m1t的合根。

由a2＞b2知，与所设奇根子数列（N2）中＜m1t的所有合根只有b2个相矛盾。

故这a2个差中至少有一个差等于素根。

不妨设差：

m1t-a2n（a）=a2n（b），则n=k+1=m1t=a2n（a）+a2n（b）（t=n（a）+n（b）+1）是两个素根之和。

定理成立。

　　若a2≤b2，由上面的证明知，只须证差（D）中有一个差等于素根即可。

用反证法。

若差（D）中的a2全等于合根，则依定理3.8的推论知m1t-a2n（y）=b2t-1-n（y）（I）成立，其中y=1,2,…,a2,0≤n（y）≤t-1。

　　依（I）式、定义1.1与定理3.1知

　　m1t-a2n（y）=m2t-1-n（y）

（1）成立，其中y=1,2,…,a2，0≤n（y）≤t-1。

　　依①的归纳假设、

（1）式及定理3.9知

　　m2t-1-n（y）=a0m（x）+a2n（y′）

（2）成立，其中1≤y、y′≤a2,0≤n（y）、n（y′）≤t-1,1≤x≤a0（a0是素根子数列（A0）中＜m1t的所有素根的个数，下同），1≤m（x）≤t-1且t-1-n（y）=m（x）+n（y′）。

　　依定义1.1、定理3.1、定义3.10及

（2）式知

　　a2n（y）（m2n（y）=a0m（x）+a2n（y′）（3）成立，其中1≤y≤a2,1≤x≤a0,1≤y′≤a2且0＜n（y）=m（x）+n（y′）≤t-1。

　　由于

（2）式成立，因而一定可以取到满足

（2）式成立条件中的三个数：

y=a,x=c，y′=b,使m2t-1-n（a）=a0m（c）+a2n（b）（4）成立，其中t-1-n（a）=m（c）+n（b）。

　　由于（3）式成立，因而一定可以取到满足（3）式成立条件中的三个数：

y=u,x=c,y′=a，依定义3.10，使a2n（u）=a0m（c）+a2n（a）（5）成立，其中n（u）=m（c）+n（a）。

　　于是在

（1）式中，取满足

（1）式成立条件中的数y=a，依（4）式得

　　m1t-a2n（a）=m2t-1-n（a）=a0m（c）+a2n（b）。

∴依（5）式得m1t=a2n（a）+a0m（c）+a2n（b）（是三个素根之和）=（a2n（a）+a0m（c））+a2n（b）=a2n（u）+a2n（b）（t=n（u）+n（b）+1）是两个素根之和。

∴m1t-a2n（u）=a2n（b）是一个素根。

∴（I）式不成立。

故假设差（D）中的a2个差全等于合根不真。

∴定理成立。

　　②假设当4＜k≤m1t时，定理成立，即偶根列中，＞4而≤m1t的偶根K都是两个素根之和成立。

则当n=K+1=m1t+1=m2t时，依约定2及定理3.9，可设奇根子数列（N0）（（N2））中，＜m2t的所有素根与合根的个数分别是a0与b0（a2与b2）个。

依定义3.3与3.4知：

a0+b0（a2+b2）=t。

　　若a0＞b2,依约定2，作差（E）：

m2t-a0m（x）,x=1，2，…，a0,1≤m（x）≤t。

若这a0个差全等于合根，依定理3.9的推论知。

这a0个差全等于奇根子数列（N2）中＜m2t的合根。

由a0＞b2知，与所设奇根子数列（N2）中＜m2t的所有合根只有b2个相矛盾。

故这a0个差中至少有一个差等于素根。

不妨设差：

m2t-a0m（u）=a2n（v）,则n=k+1=m2t=a0m（u）+a2n（v）（t=m（u）+n（v））是两个素根之和。

定理成立。

　　若a0≤b2，由上面的证明知，只须证差（E）中有一个差等于素根即可。

用反证法。

若差（E）中的a0个差全等于合根，则依定理3.9的推论知m2t-a0m（x）=b2t-m（x）（Ⅱ）成立，其中x=1,2,…,a0,1≤m（x）≤t。

　　依（Ⅱ）式，定义1.1与定理3.1知

　　m2t-a0m（x）=m2t-m（x）（6）成立，其中x=1,2,…,a0,1≤m（x）≤t。

　　又依②的归纳假设、（6）式及定理3.9知

　　m2t-m（x）=a0m（x′）+a2n（y）（7）成立，其中1≤x、x′≤a0,1≤m（x）、m（x′）＜t,1≤y≤a2，0≤n（y）＜t-1且t-m（x）=m（x′）+n（y）。

　　又依②的归纳假设、定义1.1、定理3.1、定义3.10及定理3.11知

　　a0m（x）（m0m（x））=a0m（x′）+a0m（x″）（8）成立，其中1≤x、x′、x″≤a0,1≤m（x）、m（x′）、m（x″）≤1且m（x）=m（x′）+m（x″）。

　　由于（7）式成立，因而一定可以取到满足（7）式成立条件中的三个数：

x=a,x′=b,y=v使m2t-m（a）=a0m（b）+a2n（v）（9）成立，其中t-m（a）=m（b）+n（v）。

　　由于（8）式成立，因而一定可以取到满足（8）式成立条件中的三个数，x=u,x′=a、x″=b,依定义3.10，使

　　a0m（u）=a0m（a）+a0m（b）（10）成立，其中m（u）=m（a）+m（b）。

　　于是在（6）式中，取满足（6）式成立条件中的数x=a,依（9）式得

　　m2t-a0m（a）=m2t-m（a）=a0m（b）+a2n（v）。

∴依（10）式得m2t=a0m（a）+a0m（b）+a2n（v）（是三个素根之和）=（a0m（a）+a0m（b）+a2n（v）=a0m（u）+a2n（v）（t=m（u）+m（v））是两个素根之和。

∴m2t-a0m（u）=a2n（v）是一个素根。

∴（Ⅱ）式不成立。

故假设差（E）中的a0个差全等于合根不真。

∴定理成立。

　　若a2>b0或a2≤b0,依照上面的证明证之，知定理成立。

　　③假设当4＜k≤m2t时，定理成立，即偶根列中，＞4而≤m2t的偶根K都是两个素根之和成立。

则当n=k+1=m2t+1=m0t+1时，依约定2及定理3.11，可设奇根子数列（N0）中，＜m0t+1的所有素根与合根的个数分别为a0与b0个。

依定义3.3与3.4知：

a0+b0=t。

　　若a0＞b0，依约定2，作差（F）：

m0t+1-a0m（x）,x=1,2,…,a0,1≤m（x）≤t。

若这a0个差全等于合根，则依定理3.11的推论知，这a0个差全等于奇根子数列（N0）中＜m0t+1的合根。

由a0＞b0知，与所设奇根子数列（N0）中＜m0t+1的所有合根只有b0个相矛盾。

故这a0个差中至少有一个差等于素根。

不妨设差：

m0t+1-a0m（u）=a0m（v），则n=k+1=m0t+