高一数学第三章课堂练习题.docx
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高一数学第三章课堂练习题
高一数学第三章课堂练习题
【一】
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。
)
1.给出下列四个命题:
①函数f(x)=3x-6的零点是2;②函数f(x)=x2+4x+4的零点是-2;③函数f(x)=log3(x-1)的零点是1,④函数f(x)=2x-1的零点是0,其中准确的个数为()
A.1B.2C.3D.4
[答案]C
[解析]当log3(x-1)=0时,x-1=1,∴x=2,故③错,其余都对.
2.若函数y=f(x)在区间[0,4]上的图象是连续持续的曲线,且方程f(x)=0在(0,4)内仅有一个实数根,则f(0)f(4)的值()
A.大于0B.小于0
C.等于0D.无法判断
[答案]D
[解析]如图
(1)和
(2)都满足题设条件.
3.函数f(x)=ax+b的零点是-1(a≠0),则函数g(x)=ax2+bx的零点是()
A.-1B.0
C.-1和0D.1和0
[答案]C
[解析]由条件知f(-1)=0,∴b=a,∴g(x)=ax2+bx=ax(x+1)的零点为0和-1.
4.方程lgx+x-2=0一定有解的区间是()
A.(0,1)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,4)
[答案]B
[解析]∵f
(1)=-1<0,f
(2)=lg2>0
∴f(x)在(1,2)内必有零点.
5.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额,
①如果不超过200元,则不予优惠.
②如果超过200元,但不超过500元,则按标准价给予9折优惠.
③如果超过500元,则其500元按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.
某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他只去一次购买上述同样的商品,则应付款是()
A.413.7元B.513.6元
C.546.6元D.548.7元
[答案]C
[解析]两次购物标价款:
168+4230.9=168+470=638(元),
实际应付款:
500×0.9+138×0.7=546.6(元).
7.(08山东文)已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a、b满足的关系是()
[解析]令g(x)=2x+b-1,则函数g(x)为增函数,又由图象可知,函数f(x)为增函数,
∴a>1,又当x=0时,-1
A.P(3)=3B.P(5)=1
C.P(2003)>P(2005)D.P(2007)>P(2008)
[答案]D
[解析]机器人程序为前进3步、后退2步,则P(3)=3,P(5)=1均准确,即5步等于前进了一个单位长度,
∴p(2003)=P(2000)+P(3)=403,
P(2005)=P(2000)+P(5)=401,
∴P(2003)>P(2005)准确.
又P(2007)=P(2005)+P
(2)=403,
P(2008)=P(2005)+P(3)=404,
∴P(2007)>P(2008)错误.
9.已知函数f(x)的图象如图,则它的一个可能的解析式为()
A.y=2xB.y=4-4x+1
C.y=log3(x+1)D.y=x13(x≥0)
[答案]B
[解析]因为过(1,2)点,排除C、D;由图象与直线y=4无限接近,但到达不了,即y<4知排除A,∴选B.
10.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表.
x-3-2-1012345…
y-24-1006860-10-24…
则使ax2+bx+c>0成立的x的取值范围是()
A.(-10,-1)∪(1+∞)
B.(-∞,-1)∪(3+∞)
C.(-1,3)
D.(0,+∞)
[答案]C
[解析]由表可知f(x)的两个零点为-1和3,当-1<x<3时f(x)取正值∴使ax2+bx+c>0成立的x的取值范围是(-1,3).
11.方程4x-3×2x+2=0的根的个数是()
A.0B.1C.2D.3
[答案]C
[解析]由4x-3×2x+2=0,得(2x)2-3×2x+2=0,解得2x=2,或2x=1,∴x=0,或x=1.
12.若方程mx-x-m=0(m>0,且m≠1)有两个不同实数根,则m的取值范围是()
A.m>1B.0<m<1
C.m>0D.m>2
[答案]A
[解析]方程mx-x-m=0有两个不同实数根,等价于函数y=mx与y=x+m的图象有两个不同的交点.显然当m>1时,如图
(1)有两个不同交点当O<m<1时,如图
(2)有且仅有一个交点.故选A.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把准确答案填在题中横线上)
13.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示.令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解叙述准确的是________.
①有三个实根;
②x>1时恰有一实根;
③当0<x<1时恰有一实根;
④当-1<x<0时恰有一实根;
⑤当x<-1时恰有一实根(有且仅有一实根).
[答案]①⑤
[解析]f(x)的图象是将函数y=x(x-1)(x+1)的图象向上平移0.01个单位得到.故f(x)的图象与x轴有三个交点,它们分别在区间(-∞,-1),(0,12)和(12,1)内,故只有①⑤准确.
14.某工程由A、B、C、D四道工序完成,完成它们需用的时间依次2、5、x、4天,四道工序的先后顺序及相互关系是:
A、B能够同时开工;A完成后,C能够开工;B、C完成后,D能够开工,若完成该工程总时间数为9天,则完成工序C需要的天数x为________.
[答案]3
[解析]如图,
设工程所用总天数为f(x),则由题意得:
当x≤3时,f(x)=5+4=9,
当x>3时,f(x)=2+x+4=6+x,
∴f(x)=9x≤36+xx>3,
∵工程所用总天数f(x)=9,
∴x≤3,∴x值为3.
15.已知抛物线y=ax2与直线y=kx+1交于两点,其中一点坐标为(1,4),则另一个点的坐标为______.
[答案](-14,14)
[解析]由条件知a×12=4k+1=4∴a=4k=3
由y=4x2y=3x+1得,y=-14y=14或x=1y=4.
16.已知函数f(x)=3x(x≤0)log9x(x>0),则方程f(x)=13的解为________.
[答案]-1或39.
[解析]由条件知3x=13x≤0或log9x=13x>0
∴x=-1或x=39
三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)方程x2-1x=0在(-∞,0)内是否存有实数解?
并说明理由.
[解析]不存有,因为当x<0时,-1x>0
∴x2-1x>0恒成立,故不存有x∈(-∞,0),使x2-1x=0.
18.(本题满分12分)北京市的一家报刊摊点,从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元,卖出的价格是每份0.30元,卖不掉的报纸能够以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(30天计算)里,有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,但每天从报社买进的份数必须相同,这个摊主每天从报社买进多少份,才能使每月所获的利润?
并计算他一个月最多可赚得多少元?
[解析]设每天从报社买进x份报纸,每月获得的总利润为y元,则依题意有
y=0.10(20x+10×250)-0.15×10(x-250)
=0.5x+625,x∈[250,400].
该函数在[250,400]上单调递增,所以x=400时,ymax=825(元).
答:
摊主每天从报社买进400份时,每月所获得的利润,利润为825元.
19.(本题满分12分)电信局为了配合客户不同需要,设有A、B两种优惠方案,这两种方案应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系,如下图所示(实线部分).(注:
图中MN∥CD.)试问:
(1)若通话时间为2小时,按方案A、B各付话费多少元?
(2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元?
(3)通话时间在什么范围内,方案B才会比方案A优惠.
[解析]由图知M(60,98),N(500,230),C(500,168),MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)、fB(x),则
fA(x)=980≤x≤60,310x+80x>60.
fB(x)=1680≤x≤500,310x+18x>500.
(1)通话2小时两种方案的话费分别为116元、168元.
(2)因为fB(n+1)-fB(n)(n>500)=310(n+1)+18-310n-18=310=0.3(元).
∴方案B从500分钟以后,每分钟收费0.3元.
(3)由图知,当0≤x≤60时,fA(x)
∴当60
即当通话时间在(8803,+∞)内时,方案B较A优惠.
20.(本题满分12分)若关于x的方程x2-2ax+2+a=0有两个不相等的实根,求分别满足下列条件的a的取值范围.
(1)方程两根都大于1;
(2)方程一根大于1,另一根小于1.
[解析]设f(x)=x2-2ax+2+a
(1)∵两根都大于1,
∴Δ=4a2-4(2+a)>0a>1f
(2)∵方程一根大于1,一根小于1,
∴f
(1)<0∴a>3.
21.(本题满分12分)某化工厂生产的一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%.若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?
(已知:
lg2=0.3010,lg3=0.4771)
[解析]设过滤n次,则210023n≤11000
即23n≤120,∴n≥lg120lg23=1+lg2lg3-lg2≈7.4
又∵n∈N,
∴n≥8,即至少要过滤8次才能达到市场要求.
22.(本题满分14分)若二次函数y=-x2+mx-1的图象与两端点为A(0,3)、B(3,0)的线段AB有两个不同的交点,求m的取值范围.
[分析]先求出线段AB的方程,之后将图象交点问题转化为方程组解的问题,再将方程组解的问题转化为二次函数在区间上有零点的问题,最后通过不等式组求得m的取值范围.
[解析]线段AB的方程为x+y=3,
由题意得方程组x+y=3(0≤x≤3)①y=-x2+mx-1②在[0,3]上有两组实数解.
将①代入②得x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3),此方程有两个不同的实数根.
令f(x)=x2-(m+1)x+4.则二次函数f(x)在x∈[0,3]上有两个实根,故有:
Δ=(m+1)2-16>0,0<m+12<3,f(0)=4>0,f(3)=9-3(m+1)+4≥0,解得3<m≤103.
故m的取值范围是(3,103].
[点评]本题可能会出现下面的错解,令f(x)=-x2+mx-1.
∵f(0)=-1<0,f(x)的图象开口向下,线段ABwx+y=3(0≤x≤3)
如图,要使f(x)的图象与线段AB有两个不同交点应满足.
f(3)≤0f(m2)>3-m20<m2<3,∴m≤103m<-17-1或m>17-10<m<6,
∴无解.
错因是顶点在线段AB的上方与抛物线与线段AB有两个交点不等价.
【二】
一、选择题
1.方程x-1=lgx必有一个根的区间是()
A.(0.1,0.2)B.(0.2,0.3)
C.(0.3,0.4)D.(0.4,0.5)
[答案]A
[解析]设f(x)=x-1-lgx,f(0.1)=0.1>0,
f(0.2)=0.2-1-lg0.2=0.2-lg2<0
∴f(0.1)f(0.2)<0,故选A.
2.实数a、b、c是图象连续持续的函数y=f(x)定义域中的三个数,且满足a A.2B.奇数
C.偶数D.至少是2
[答案]D
[解析]由f(a)f(b)<0知y=f(x)在(a,b)上至少有一实根,由f(b)f(c)<0知y=f(x)在(b,c)上至少有一实根,故y=f(x)在(a,c)上至少有2实根.
3.已知函数f(x)=ex-x2+8x,则在下列区间中f(x)必有零点的是()
A.(-2,-1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.(1,2)
[答案]B
[解析]f(-1)=1e-9<0,f(0)=e0=1>0,故f(x)在(-1,0)上有一实数解,故选B.
4.某企业2008年12月份的产值是这年1月份产值的p倍,则该企业2008年年度产值的月平均增长率为()
A.pp-1B.11p-1
C.11pD.p-111
[答案]B
[解析]设1月份产值为a,增长率为x,则
ap=a(1+x)11,∴x=11p-1,故选B.
5.(09福建文)下列函数中,与函数y=1x有相同定义域的是()
A.f(x)=lnxB.f(x)=1x
C.f(x)=|x|D.f(x)=ex
[答案]A
[解析]函数y=1x的定义域为(0,+∞),故选A.
6.(09宁夏海南文)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值
设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的值为()
A.4B.5C.6D.7
[答案]C
[解析]由题意,可画下图:
f(x)的值在A点,
由y=x+2y=10-x,得x=4y=6,∴f(x)的值为6.
7.对任意实数x>-1,f(x)是2x,log12(x+1)和1-x中的者,则f(x)的最小值()
A.在(0,1)内B.等于1
C.在(1,2)内D.等于2
[答案]B
[解析]在同一坐标系中,作出函数y=2x,y=log12(x+1),y=1-x的图象,由条件知f(x)的图象是图中实线部分,显见f(x)的最小值在y=2x与y=1-x交点(0,1)处取得.
∴最小值为f(0)=1.
8.(江门一中2009~2010高一期末)设f(x)=2x-x-4,x0是函数f(x)的一个正数零点,且x0∈(a,a+1),其中a∈N,则a=()
A.1B.2
C.3D.4
[答案]B
[解析]由条件知,f(a)=2a-a-4与f(a+1)=2a+1-a-5异号,取a=2,有f
(2)=22-2-4<0,f(3)=23-2-5>0满足,∴a=2,故选B.
二、填空题
9.下图是某县农村养鸡行业发展规模的统计结果,那么此县养鸡只数最多的那年有________万只鸡.
[答案]31.2
[解析]2002年,30×1=30万只,
2003年,26×1.2=31.2万只,
2004年,22×1.4=30.8万只,
2005年,18×1.6=28.8万只,
2006年,14×1.8=25.2万只,
2007年,10×2=20万只.
10.函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点,那么a的值的集合为________.
[答案]{0,1,9}
[解析]当a=0时,y=3x+1的图象与x轴只有一个交点;当a≠0时,由Δ=(3-a)2-4a=0得a=1或9.
三、解答题
11.某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件),可近似看作一次函数y=kx+b的关系(如图所示).
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元.①试用销售单价x表示毛利润S;②试问销售单价定为多少时,该公司可获得毛利润?
毛利润是多少?
此时的销售量是多少?
[解析]
(1)由图象知,当x=600时,y=400;当x=700时,y=300,代入y=kx+b中,得
400=600k+b,300=700k+b,解得k=-1,b=1000.
∴y=-x+1000(500≤x≤800).
(2)销售总价=销售单价×销售量=xy,成本总价=成本单价×销售量=500y,
代入求毛利润的公式,得
s=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)
=-x2+1500x-500000
=-(x-750)2+62500(500≤x≤800).
∴当销售单价为750元/件时,可获得毛利润62500元,此时销售量为250件.
12.2005年1月6日,我国的第13亿个小公民在北京诞生,若今后能将人口年平均递增率控制在1%,经过x年后,我国人口数为y(亿).
(1)求y与x的函数关系y=f(x);
(2)求函数y=f(x)的定义域;
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数?
并指出在这里函数增减有什么实际意义.
[分析]关键是理解年递增率的意义
2005年人口数为13(亿)
经过1年,2006年人口数为13+13×1%=13(1+1%)(亿)
经过2年,2007年人口数为13(1+1%)+13(1+1%)×1%=13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2(亿).
经过3年,2008年人口数为13(1+1%)2+13(1+1%)2×1%=13(1+1%)3(亿).
[解析]
(1)由题设条件知,经过x年后我国人口总数为13(1+1%)x(亿).
∴y=f(x)=13(1+1%)x.
(2)∵此问题以年作为单位时间,∴此函数的定义域是N*.
(3)y=13(1+1%)x是指数型函数,
∵1+1%>1,13>0,∴y=13(1+1%)x是增函数,
即只要递增率为正数时,随着时间的推移,人口的总数总在增长.
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