概率论与数理统计猴博士 (1).docx
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概率论与数理统计猴博士 (1).docx
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概率论第一课
一、无放回类题目
例1:
盒子中有4红3白共7个球,不用眼瞅,七个球摸起来是一样的,现无放回的摸4次,那摸出两个红球两个白球的概率是多少?
P=C 条件一总条件一取 × C 条件二总条件二取C 总取
P=C42×C32C74
例2:
隔壁山头共有11只母猴儿,其中有5只美猴儿、6只丑猴儿,在大黑天看起来是一样的。
今儿月黑风高,我小弟冒死为我掳来5只,问天亮后,发现有2只美猴儿、3只丑猴儿的概率是多少?
P=C 条件一总条件一取 × C 条件二总条件二取C 总取
P=C52×C63C115
关于Cnm的计算:
二、有放回类题目
例1:
盒子中有5红6白共11个球,不用眼瞅,11个球摸起来是一样的,现有放回的摸5次,那摸出两个红球三个白球的概率是多少?
例2:
在小弟为我抓回的5只母猴儿中,有2美3丑,每天我都随机挑一只母猴儿来,为她抓虱子。
就这样,过去了101天,抓了101次虱子,问这101次中,为美猴儿服务50次、丑猴儿服务51次的概率是多少?
三、需要画图的题目
例1:
已知0
①表现已知条件
②表现待求概率的条件
③找出①②重合部分
④P(x>y)= ③ ①= 1 2
例2:
已知-1 Px2+y2<1=S圆S正=π×124=π4 四、条件概率 公式: P(B|A)=P(AB)P(A) 解释: 事件A: 掷一次骰子,朝上点数大于3 事件B: 掷一次骰子,朝上点数是6 P(B|A): 掷一次骰子,已知朝上点数大于3,朝上点数是6的概率 P(AB): 掷一次骰子,朝上点数是6的概率 P(A): 掷一次骰子,朝上点数大于3的概率 例1: 小明概率论考试得80分以上的概率是80%,得60分以上的概率是85%,已知这次考试小明概率论没挂,那么小明得80分以上的概率是多少? 事件A: 小明得60分以上 事件B: 小明得80分以上 P(B|A): 小明得60分以上时,小明得80分以上的概率 P(AB): 小明得80分以上的概率 P(B|A)=P(AB)P(A)=80%85%=1617 例2: 某地区今年会发生洪水的概率是80%,今明两年至少有一年会 发生洪水的概率是85%,假如今年没有发生洪水,那么明年发生洪水 的概率是多少? 事件A: 今年没有发生洪水 事件B: 明年发生洪水 P(B|A): 今年没有发生洪水的情况下,明年发洪水的概率 P(AB): 今年没有发生洪水,明年发生洪水的概率 P(B|A)=P(AB)P(A)=85%-80%1-80%=5%20%=14 五、全概率公式 公式: A、B…等个体均可能发生某事,则P(发生某事)=P(A出现)·P(A发生某事)+P(B出现)·P(B发生某事)… 例1: 某高速公路上客车中有20%是高速客车,80%是普通客车,假设高速客车发生故障的概率是0.002,普通客车发生故障的概率是0.01。 求该高速公路上有客车发生故障的概率。 P(有客车发生故障) =P(高速车出现)·P(高速车故障)+P(普通车出现)·P(普通车故障) =20%×0.002+80%×0.01 =0.0084 例2: 猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工,老板要抽其中一个考核,抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%,猴博士考核通过的概率是100%,傻狍子考核通过的概率是1%,那么抽中的员工通过考核的概率是多少? P(抽中的员工通过考核) =P(猴博士出现)·P(猴博士通过)+P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过) =50%×100%+50%×1% =50.5% 六、贝叶斯公式 公式: A、B…等个体均可能发生某事,则 P(已知有个体发生某事时,是A发生的)=P(A出现)·P(A发生某事)P(发生某事) 例1: 某高速公路上客车中有20%是高速客车,80%是普通客车,假设高速客车发生故障的概率是0.002,普通客车发生故障的概率是0.01。 求该高速公路上有客车发生故障时,故障的是高速客车的概率。 P(有客车发生故障) =P(高速车出现)·P(高速车故障)+P(普通车出现)·P(普通车故障) =20%×0.002+80%×0.01 =0.0084 P(已知有客车发生故障,是高速客车发生的) =P(高速客车出现)·P(高速客车故障)P(有客车故障) =20%·0.0020.0084 =121 例2: 猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工,老板要抽其中一个 考核,抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%,猴博士考核通过的概率 是100%,傻狍子考核通过的概率是1%,求抽中的员工通过考核时, 被抽中的员工是傻狍子的概率。 P(抽中的员工通过考核) =P(猴博士出现)·P(猴博士通过)+P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过) =50%×100%+50%×1% =50.5% P(已知有员工通过考核,是傻狍子通过的) =P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过)P(抽中的员工通过考核) =50%·1%50.5% =1101 概率论第二课 七、已知FX(x)与fX(x)中的一项,求另一项 公式: fX(x)=FX′(x)FX(x)=-∞xfX(x)dx 例1: 设X的分布函数FX(x)=0,x<1lnx,1≤x fX(x)=FX′(x)=0',x<1(lnx)',1≤x 例2: 设X的密度函数fX(x)=-12x+1,0≤x≤20,其他,求X的分布 函数FX(x)。 当x>2时,FX(x)=-∞xfX(x)dx=1 当0≤x≤2时,FX(x)=-∞xfX(x)dx=-x24+x 当x<0时,FX(x)=-∞xfX(x)dx=-∞x0dx=0 FX(x)=0,x<0-x24+x,0≤x≤21,x>2 八、已知FX(x)与fX(x)中的一种,求P 公式: P(a 例1: 设X的分布函数FX(x)=0,x<1lnx,1≤x P(x2<4)=P(-2 =FX (2)-FX(-2) =ln2-0 =ln2 例2: 设X的密度函数fX(x)=-12x+1,0≤x≤20,其他,求概率P(-1 P(-1 =-10fX(x)dx+02fX(x)dx =-100dx+02(-12x+1)dx =0+1 =1 九、FX(x)或fX(x)含未知数,求未知数 公式: FX(-∞)=0,FX(+∞)=1,F上(分段点)=F下(分段点) -∞+∞fX(x)dx=1 例1: 设X的分布函数FX(x)=0,x≤0a+be-λx,x>0(λ>0),求a和b。 FX(+∞)=1⇒a+be-λ·(+∞)=1 ⇒a+be-∞=1⇒a+be+∞=1⇒a=1 F上(0)=F下(0)⇒0=a+be-λ·(0)⇒0=a+be0⇒a+b=0 a=1a+b=0⇒a=1b=-1 例2: 设X的密度函数fX(x)=ax+1,0≤x≤20,其他,求常数a。 -∞+∞fX(x)dx=1 ⇒-∞0fX(x)dx+02fX(x)dx+2+∞fX(x)dx=1 ⇒-∞00dx+02ax+1dx+2+∞0dx=1 ⇒0+2a+2+0=1 解得a=-12 十、求分布律 例1: 从编号为1、2、3、4、5、6的6只球中任取3只,用X表示从中取出的最大号码,求其分布律。 X可能的取值为3,4,5,6 P(X=3)=C22C11C30C63=120 P(X=4)=C32C11C20C63=320 P(X=5)=C42C11C10C63=310 P(X=6)=C52C11C63=12 分布列: 十一、已知含有未知数的分布列,求未知数 例1: 已知分布列如下,求k的值。 120+320+310+k=1 解得k=12 概率论第三课 十二、已知X分布列,求Y分布列 例1: 已知X的分布列,求Y=X2+1的分布列。 X -2 0 2 P 0.4 0.3 0.3 ①根据X的所有取值,计算Y的所有取值 Y=-22+1=5 Y=02+1=1 Y=22+1=5 ②将表格里X那一列对应换成Y Y 5 1 5 P 0.4 0.3 0.3 化简一下: Y 1 5 P 0.3 0.7 例2: 已知X的分布列,求Y=2X-1的分布列。 X 3 4 5 6 P 120 320 310 12 ①根据X的所有取值,计算Y的所有取值 Y=2×3-1=5 Y=2×4-1=7 Y=2×5-1=9 Y=2×6-1=11 ②将表格里X那一列对应换成Y X 5 7 9 11 P 120 320 310 12 也可以表示成: Y~5791112032031012 十三、已知FXx,求FYy 例1: 设X的分布函数为FXx=0,x≤0x2,0 函数。 ①写出X=? Y Y=2X⇒X=Y2 ②用? y替换FXx中的x,结果为FX(? y) FXy2=0,y2≤0y22,0 ③判断? y中是否有负号 若无,则FY(y)=FX(? y) 若有,则FY(y)=1-FX(? y) FY(y)=FXy2=0,y≤0y24,0 例2: 设X的分布函数为FXx=0,x≤0x2,0 函数。 ①写出X=? Y Y=-X⇒X=-Y ②用? y替换FXx中的x,结果为FX(? y) FX(-y)=0,-y≤0(-y)2,0<-y<11,-y≥1 ③判断? y中是否有负号 若无,则FY(y)=FX(? y) 若有,则FY(y)=1-FX(? y) FY(y)=1-FX(-y)=1,y≥01-y2,-1 十四、已知fXx,求fYy 例1: 设X的密度函数为fXx=1,0
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