运筹学 010线性规划.docx

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运筹学010线性规划

第1章线性规划

第一节线性规划问题及数学模型

一、引例

例1：

生产计划问题

工厂可生产A、B两种产品。

每生产一吨A产品需用煤9吨，耗电4千瓦，用工时3个；每生产一吨B产品需用煤4吨，耗电5千瓦，用工时10个。

每生产一吨A产品工厂可获得利润700元，一吨B产品可获利润1200元。

工厂的煤、电力和工人均为有限，分别为煤：

360吨，电：

200千瓦时，工时：

300个。

在这种情况下，问：

为获得最大利润，工厂应分别生产A、B两种产品各多少吨？

该问题中的数据可归纳为下表：

产品AB资源限制

煤94360

电45200

工时310300

利润7001200

下面列出该问题的数学模型。

首先设变量，

为产品A的生产量，

为产品B的生产量。

可列出问题中煤、电、工时三种资源的消耗和限制情况：

煤：

电：

工时：

再列出获得最大利润这一目标：

最后列出变量的有效取值范围：

上面这些表达式用数学形式反映出了问题中的各种因素，即称为该问题的数学模型，整理如下：

该数学模型即是一个线性规划模型。

二、问题的特征

引例中的问题可表示为一个线性规划模型，该问题也就相应地称为是一个线性规划问题。

下面结合该例题明确线性规划问题所具有的几个特征：

（1）目标性。

问题中存在一个趋向性的目标，要求某个指标尽可能大或尽可能小。

如要求利润尽可能大。

（2）约束性。

问题中存在一定的限制条件，如煤、电、工时的消耗量不能超过一定的限量。

（3）矛盾性。

是指不论如何调整解决问题的方案，都会对问题的目标同时产生有利和不利两方面的影响。

或者说，对模型中所设定的每个变量，不论是增大还是减小变量的取值，都会从不同的方面导致目标值的增大和减小。

如增加产品A的产量，会增大A的利润，但同时会增大A消耗的资源，从而减少B可用的资源，导致B的产量及利润减少。

矛盾性决定了一个问题无法通过简单的计算得到结果，而需要采用最优化方法来求解。

（4）比例性与可加性。

比例性指问题中各变量所产生的效应与变量的取值成正比。

如资源的消耗量、利润均与产量成正比；可加性指各变量所产生的效应之和等于总效应，如两种产品所产生的利润相加即等于总利润。

三、线性规划模型的一般形式

线性规划模型的一般形式可表示如下：

（目标函数）

（约束条件）

第二节图解法

一、求解方法

例：

解：

（1）建立一个二维坐标系，将

对应于横轴，

对应于纵轴。

（2）画出约束条件

在坐标系中画出各约束条件及变量约束，得到能满足全部约束的区域，如图中阴影部分所示。

该区域称为可行域。

（3）画出目标函数线，确定目标线的移动方向。

取不同的z值，画出对应的目标线，并根据趋向性要求确定目标线的移动方向。

（4）在图上确定最优解的位置

根据目标线的移动方向，将目标线移动到能与可行域存在相交的极限位置，此时目标线与可行域相交的部分即为最优解。

（5）求得最优解

根据最优解的图上位置可知其处于约束线

与

的相交处。

联立这两条直线方程求解，可得最优解：

将解代入目标函数可得最优目标值：

z*=15

二、线性规划解的情况

结合上例，可明确线性规划模型的解存在如下四种情况：

（1）无穷多最优解

如果将上例中的目标函数改为：

则可行域右上角斜边线上的所有点均为最优解，其由无穷多个。

（2）无界解

如去掉上例中第1和第3个约束条件，则目标线可一直向右上方推，z值可达到无穷大。

在实际问题中若出现此种情况，通常是列模型错误，漏列了某些约束条件。

（3）无可行解

如果将第2、第3个约束条件均改为≥，则不能存在可同时满足所有约束的区域，即不存在可行域，此时模型无可行解。

如实际问题中出现此种情况，通常应调整模型，放宽某些约束条件。

（4）唯一最优解

例题中所求得的解即为唯一最优解。

唯一解与无求多解在实际问题中均为正常情况。

第三节线性规划的Excel求解

一、Execl规划求解功能的加载

执行Excel菜单项“工具——加载宏”；勾选“规划求解”；确定。

该项操作只需进行一次。

二、Excel求解步骤

（1）规划单元格布局，填写数据；

（2）填写目标函数及约束函数；

（3）设定规划求解目标、变量及约束（菜单：

工具——规划求解）；

（4）求解，获取结果。

三、举例

例1：

用Excel求解如下线性规划模型。

解：

（1）规划单元格布局，填写数据

（2）填写函数

目标函数D4：

=SUMPRODUCT（$B$3:

$C$3,B4:

C4）

约束函数D5：

=SUMPRODUCT（$B$3:

$C$3,B5:

C5）

D6：

=SUMPRODUCT（$B$3:

$C$3,B6:

C6）

D7：

=SUMPRODUCT（$B$3:

$C$3,B7:

C7）

（3）求解设定

执行Excel菜单项“工具——规划求解”，作如下设定：

目标单元格：

$D$4

等于：

最大值

可变单元格：

$B$3:

$C$3

约束：

$D$5<=$E$5

$D$6<=$E$6

$D$7<=$E$7

（以上三项可合并设为“$D$5:

$D$7<=$E$5:

$E$7”）

$B$3:

$C$3>=0

选项：

点击“选项”按钮，勾选“采用线性模型”

（4）求解，获取结果

在“规划求解参数”窗体中点击“求解”按钮，即可完成求解。

B3、C3单元格中为求得的变量值；D4单元格中为目标值；D5、D6、D7单元格中分别为煤、电、工时的消耗量。

例2：

用Excel求解如下线性规划模型。

解：

（1）规划单元格布局，填写数据

（2）单元格公式

目标函数E4：

=SUMPRODUCT（$B$3:

$D$3,B4:

D4）

约束函数E5：

=SUMPRODUCT（$B$3:

$D$3,B5:

D5）

E6：

=SUMPRODUCT（$B$3:

$D$3,B6:

D6）

E7：

=SUMPRODUCT（$B$3:

$D$3,B7:

D7）

（3）求解设定

执行Excel菜单项“工具——规划求解”，作如下设定：

目标单元格：

$E$4

等于：

最大值

可变单元格：

$B$3:

$D$3

约束：

$E$5<=$F$5

$E$6>=$F$6

$E$7=$F$7

$B$3:

$D$3>=0

选项：

点击“选项”按钮，勾选“采用线性模型”

（4）求解，获取结果

在“规划求解参数”窗体中点击“求解”按钮，即可完成求解。

B3、C3、D3单元格中为求得的变量值；E4单元格中为目标值；E5、E6、E7单元格中分别为各约束函数值。

作业1：

P47，1.1（a）（c）

P48，1.7（a）（b），用Excel求解，画出所填写的数据表，写出单元格公式及求解设定，写出求解结果。

第四节线性规划应用举例

例1生产计划问题

某工厂可以生产

共n种产品，生产中需要消耗

共m种资源。

生产每单位产量的Aj产品需要消耗Bi种资源的数量为aij，各种产品每单位的利润分别为

。

工厂的资源是有限的，每种资源的数量分别为

。

上述情况可表示在如下生产情况表中。

产品

资源

A1

A2

…

…

An

资源限制

B1

a11

a12

…

…

a1n

b1

B2

a21

a22

…

…

a2n

b2

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

Bm

am1

am2

…

…

amn

bm

单位利润

c1

c2

…

…

cn

问：

为了使生产的总利润达到最大，每种产品各应生产多少？

解：

设：

的产量分别为

。

问题的线性规划模型为：

例2货运问题

某企业租用了一节火车车皮运送甲、乙两种货物到外地销售。

这两种货物每箱的重量分别为：

甲—0.2吨，乙—0.3吨；每箱的体积分别为：

甲—1米3，乙—0.6米3；每箱可获得的利润分别为：

甲—500元，乙—400元。

一节车皮的有效载重为56吨，有效容积为180米3。

问：

为获得最大利润，甲、乙各应运载多少箱？

解：

设甲、乙货物的运送量分别为x1、x2。

模型为：

用Excel求解得：

甲运送114箱，乙运送110箱，可得利润元。

货物总重量为55.8吨，总体积为180米3。

例3混合配料问题

某饲养厂每天需要1000公斤饲料，其中至少要含7000克蛋白质、300克矿物质、1000毫克维生素。

现有五种饲料可供使用，各种饲料每公斤营养含量及价格如下表所示：

饲料

蛋白质（克）

矿物质（克）

维生素（毫克）

价格（元）

1

3

1.0

0.5

0.2

2

6

0.5

1.0

0.7

3

1

0.2

0.2

0.4

4

2

2.0

2.0

0.3

5

18

0.5

0.8

0.8

给出费用最省的饲料选用方案。

解：

设每天各种饲料的用量依次为：

。

模型为：

用Excel求解得：

每天第一种饲料的用量为438.6公斤，第四种276.3公斤，第五种285.1公斤，第二、第三种饲料不用；每天所需费用为398.7元；饲料总量为1000公斤，可提供的蛋白质含量为7000克，矿物质含量为1134克，维生素含量1000毫克。

例4下料问题

现需要90根3米长和90根4米长的钢筋，现有一种10米长的钢筋，问：

如何切割这种10米长的钢筋，才能使所切割的钢筋数量最少？

解：

有如下三种非劣的切割方案：

方案1：

3，3，4；

方案2：

3，3，3；

方案3：

4，4。

设按三种方案切割钢筋的数量依次为x1，x2，x3。

模型为：

用Excel求解得：

按第一种方案切割46根，第二种方案切割22根；所需切割的钢筋总数为68根；切割出的3米钢筋数量为92根，4米为90根。

例5排班问题

某旅行社对一日游导游的需求如下：

时间：

周一周二周三周四周五周六周日

需求：

40343235284642

导游每周工作五天，连续休息两天。

问应如何安排导游的工作时间，能使所需配备的导游人数最少？

解：

从周一至周日开始上班的导游人数依次为：

则周一处于上班状态的导游人数为：

，该人数应大于等于周一的需求人数40。

同理可得其它各天的工作人数。

所配备的导游人员的总数为

，其应尽量小。

可得如下线性规划模型：

用Excel求解得：

每周二、四、六、日分别安排11、19、18、5人开始上班，周一、周三不安排人开始上班；共需导游53人；周一至周日每天可上班的人数分别为：

42、34、34、35、30、48、42。

例13多产品混合配料问题（教材P44）

用Excel求解得：

甲种糖果用A、B、C三种原料的量分别为580、193.3、193.3公斤，乙种糖果用A、B、C三种原料的量分别为1420、2306.7、1006.7公斤，丙种糖果不生产；可获得利润为5450元；A、B、C三种原料的总用量分别为2000、2500、1200公斤。

作业2：

列出如下问题的线性规划模型，并用Excel求解，写出求解结果。

1.某厂生产A、B、C三种产品，每单位产品的原材料、工时消耗、利润及资源的限制量如下表。

产品

资源

A

B

C

资源限量

材料

3

1

2

1600

工时

2

4

2

2000

利润

20

16

12

试制定利润最大的生产计划。

2.上题中，根据市场情况，三种产品的最低生产量分别为300、250、100，最高生产量分别为400、350、200。

试制定利润最大的生产计划。

3.某公司准备把下表所示的5种现有合金混合起来，配置一种含铅30%、铜20%、铝50%的新合金，共1000公斤。

问现有合金应各用多少公斤才能使总费用最省。

合金品种

1

2

3

4

5

含铅（%）

30

10

50

20

40

含铜（%）

40

10

20

30

20

含铝（%）

30

80

30

50

40

价格（元/kg）

49

65

72

53

75

4.教材P50：

1.18

5.某昼夜服务的公交线路，每天各时间区段内所需司机数量如下：

班次

1

2

3

4

5

6

时间段

6:

00～10:

00

10:

00～14:

00

14:

00～18:

00

18:

00～22:

00

22:

00～2:

00

2:

00～6:

00

所需人数

60

70

60

50

20

30

司机分别在各时间区段一开始上班，并连续工作8小时，问该线路应如何排班才能满足需要，并使所需的总人数最少。

列出该问题的线性规划模型。

6.某公司租用一架飞机运送甲、乙两种货物销往外地。

这两种货物的单位体积分别为：

甲—1.95米3/吨，乙—2.28米3/吨；单位利润分别为：

甲—2000元/吨，乙—2300元/吨。

该飞机有前后两个货舱，两舱的有效容积分别为：

前舱—28米3，后仓—34米3，在同一舱内可混装两种货物，飞机的最大载重量为30吨。

为了保持飞机的平衡，前后两仓所载货物的重量必须相等。

在上述情况下，应如何安排运输才能使利润最大？

7.教材P49，1.13

设xij为第i月初起租借到第j月末止的租借面积，有

，即有效的变量为

。

8.教材P50，1.14

设xij为第i种产品在第j种设备上加工的数量。

，依次对应于I，II，III三种产品，

，依次对应于A1,A2,B1,B2,B3五种设备，其中

无意义。