陕西省中考数学.docx

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陕西省中考数学

2013年陕西省中考数学试题

第Ⅰ卷（选择题共30分）

一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）

1.（2013陕西，1，3分）下列四个数中最小的数是（）

A.－2B.0C.

D.5

【答案】A

2.（2013陕西，2，3分）如图，下面的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，则它的俯视图是（）

【答案】D

3.（2013陕西，3，3分）如图，AB∥CD，∠CED=90°，∠AEC=35°，则∠D的大小为（）

A.65°B.55°C.45°D.35°

【答案】B

4.（2013陕西，4，3分）不等式组

的解集为（）

A.x＞

B.x＜－1C.－1＜x＜

D.x＞

【答案】A

5.（2013陕西，5，3分）我省某市五月份第二周连续七天的空气质量指数分别为：

111，96，47，68，70，77，105，则这七天空气质量指数的平均数是（）

A.71.8B.77C.82D.95.7

【答案】C

6.（2013陕西，6，3分）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2,m）,B（n,3），那么一定有（）

A.m＞0,n＞0B.m＞0,n＜0C.m＜0,n＞0D.m＜0,n＜0

【答案】D

7.（2013陕西，7，3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

【答案】C

8.（2013陕西，8，3分）根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（）

A.1B.－1C.3D.－3

【答案】A

9.（2013陕西，9，3分）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M，N分别在边AD、BC上，连接BM、DN，若四边形MBND是菱形，则

等于（）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

10.（2013陕西，10，3分）已知两点A（－5,y1），B（3,y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0,y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0,则x0的取值范围是（）

A.x0＞－5B.x0＞－1C.－5＜x0＜－1D.－2＜x0＜3

【答案】B

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）

11.（2013陕西，11，3分）计算：

（－2）3+（

－1）0=.

【答案】－7

12.（2013陕西，12，3分）一元二次方程x2-3x=0的根是.

【答案】0，3.

13.（2013陕西，13，3分）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分.

A.在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点分别为A（－2,1）、B（1,3），将线段AB经过平移后得到线段A/B/，若点A的对应点为A/（3,2），则点B的对应点B/的坐标是.

【答案】（6,4）

B.比较大小：

8cos31°

.（填“＞”，“＝”或“＜”）

【答案】＞.

14.（2013陕西，14，3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且BD平分AC，若BD=8，AC=6，∠BOC＝120°，则四边形ABCD的面积为.（结果保留根号）

【答案】

.

15.（2013陕西，15，3分）如果一个正比例函数的图象与反比例函购

的图象交于A（x1,y1）、B（x2,y2）两点，那么（x2－x1）（y2－y1）的值为.

【答案】24.

16.（2013陕西，16，3分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为.

【答案】10.5.

三、解答题（共9小题，计72分，解答应写出过程）

17.（2013陕西，17，5分）

解分式方程：

【答案】解：

2+x（x+2）=x2－4

2+x2+2x=x2－4

x=－3

经检验，x=－3是原分式方程的根.

18.（2013陕西，18，6分）

如图，∠AOB=900，OA=OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D，

求证：

AC=OD.

【答案】证明：

∵∠AOB=900，∴∠AOC+∠BOD=900，

∵AC⊥l，BD⊥l，∴∠ACO=∠BDO=900，

∴∠A+∠AOC=900，∴∠A=∠BOD

又∵OA=OB，∴△AOC≌△OBD.∴AC=OD.

19.（2013陕西，19，7分）

我省教育厅下发了《在全省中小学幼儿园广泛深入开展节约教育的通知》，通知中要求各学校全面持续开展“光盘行动”.某市教育局督导检查组为了调查学生对“节约教育”内容的了解程度（程度分为：

“A—了解很多”，“B—了解较多，“C—了解较少”，“D—不了解”），对本市一所中学的学生进行了抽样调查，我们将这次调查的结果绘制了以下两幅统计图.根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查了多少名学生？

（2）补全两幅统计图.

（3）若该中学共有1800名学生，请你估计这所中学的所有学生中，对“节约教育”内容“了解较多”的有多少名？

【答案】解：

（1）抽样调查的学生人数为36÷30%=120（名）

（2）B的人数：

120×45%=54（名）

C的百分比：

，

D的百分比：

，

补全两幅统计图如图所示.

（3）对“节约教育”内容“了解较多”的学生人数为：

1800×45%=810（名）

20.（2013陕西，20，8分）

一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长.（结果精确到0.1m）

【答案】解：

设CD长为xm,

∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，

∴AM∥CD，BN∥CD，∴EC=CD=x，

∴△ABN∽△ACD，

∴

，即

解之，得x=6.125≈6.1

∴路灯的高CD的长.约为6.1m.

21.（2013陕西，21，8分）

“五一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函函数图象.

（1）求他们出发半小时时，离家多少千米？

（2）求出AB段图象的函数表达式；

（3）他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？

【答案】解：

（1）设OA段图象的函数表达式为y=kx.

∵当x=1.5时，y=90，

∴1.5k=90,

∴k=60.

∴y=60x（0≤x≤1.5）.

∴当x=0.5时，y=60×0.5=30.

∴行驶半小时时，他们离家30千米.

（2）设AB段图象的函数表达式为y=k/x+b

∵A（1.5,90）,B（2.5,170）d在AB上，

∴

解之，得k/=80,b=－30.

∴y=80x－30.（1.5≤x≤2.5）

（3）当x=2时，y=80×2－30.=130,170－130=40.

∴他们出发2小时时，离目的地还有40千米.

22.（2013陕西，22，8分）

甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：

ⅰ）每次游戏时，两人同时随机各伸出一根手指；ⅱ）两人伸出的手指中，大拇指只胜食指，食指只胜中指，中指只胜无名指，无名指只胜小拇指，小拇指只胜大拇指，否则不分胜负，依据上述规则，当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时，

（1）求甲伸出小拇指取胜的概率；

（2）求乙取胜的概率.

【答案】解：

设A、B、C、D、E分别表示大拇指、食指、中指、无名指、小拇指，列表如下：

由表格可知，共有25种等可能的结果.

（1）由上表可知，甲伸出小拇指取胜有1种可能

∴P（甲伸出小拇指取胜）=

（2）由上表可知，乙取胜有5种可能，

∴P（乙取胜）=

.

23.（2013陕西，23，8分）

如图，直线l与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE、AF，并分别延长交直线l于B、C两点.

（1）求证：

∠ABC+∠ACB=900；

（2）当⊙O的半径R=5，BD=12时，求tan∠ACB的值.

【答案】

（1）证明：

∵EF是⊙O的直径，

∴∠EAF=900.

∴∠ABC+∠ACB=900.

（2）解：

连接OD，则OD⊥BD.

过点E作EH⊥BC，垂足为点H.

∴EH∥OD.

∵EF∥BC，OE=OD，∴四边形EODH是正方形.

∴EH=HD=OD=5

又∵BD=12，∴BH=7.

在Rt△BEH中，tan∠BEH=

.

而∠ABC+∠BEH=900，∠ABC+∠ACB=900，∴∠ACB=∠BEH

∴tan∠ACB=

.

24.（2013陕西，24，10分）

在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过A（1,0）、B（3,0）两点，

（1）写出这个二次函数图象的对称轴；

（2）设这个二次函数图象的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AC、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式.

[提示：

如果一个二次函数的图象与 x轴的交点为A（x1,0）、B（x2,0），那么它的表达式可表示为y=a（x－x1）（x－x2）.]

【答案】解：

（1）二次函数图象的对称轴为直线x=2.

（2）设二次函数的表达式为y=a（x－1）（x－3）（a≠0）

当x=0时，y=3a；当x=2时，y=－a；

∴点C的坐标为（0,3a），顶点D的坐标为（2,－a）.

∴OC=

又∵A（1,0）,E（2,0）

∴OA=1,EB=1,DE=

当△AOC与△DEB相似时，

①假设∠OCA=∠EBD，

可得

，即

∴

或

②假设∠OCA=∠EDB，

可得

，即

，此方程无解.

综上可得，所求二次函数的表达式为：

，或

[写成y=

（x－1）（x－3）或y=

（x－1）（x－3）也可以]

两条抛物线示意图如图所示.

25.（2013陕西，25，12分）

问题探究

（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；

（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.

问题解决

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b,且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？

若存在，求出BQ的长，若不存在，说明理由.

【答案】解：

（1）如图①所示.

（2）如图②，连接AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点，则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分

理由如下：

∵点O是正方形的对称中心，

∴AP=CQ，EB=DF.

在△AOP和△EOB中，

∵∠AOP=900－∠AOE，∠BOE=900－∠AOE，

∴∠AOP=∠BOE.

∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=450，

∴△AOP≌△EOB

∴AP=BE=DF=CQ，

∴AE=BQ=CF=PD.

设点O到正方形ABCD一边的距离为d,

则

（AP+AE）d=

（BE+BQ）d=

（CQ+CF）d=

（PD+DF）d

即

∴直线EF、OM将正方形ABCD面积四等分.

（3）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD面积二等分.

理由如下：

如图③，延长BA到点E，使AE=b，延长CD到点F，使DF=a，连接EF，

∵BE∥CF，且BE=CF，BE=BC=a+b

∴四边形EBCF是菱形.

连接BF交AD于点M，则△MAB≌△MDF.

∴AM=DM，

∴P、M两点重合.

∴P点是菱形EBCF对角线的交点.

在BC上截取BQ=CD=b，则CQ=AB=a.

设点P到菱形EBCF一边的距离为d,

则

（AB+BQ）d=

（CQ+CD）d=

（a+b）d.

∴

∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.