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第11章格与布尔代数,离散数学,中国地质大学本科生课程,本章内容,11.1格的定义与性质11.2分配格、有补格与布尔代数本章总结作业,11.1格的定义与性质,定义11.1设是偏序集,如果x,yS,x,y都有最小上界和最大下界,则称S关于偏序作成一个格(lattice)。
说明:
由于最小上界和最大下界的唯一性,可以把求x,y的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算和。
xy:
表示x与y的最小上界xy:
表示x和y的最大下界。
本章出现的和符号只代表格中的运算,而不再有其它的含义。
格的实例,例11.1设n是正整数,Sn是n的正因子的集合。
D为整除关系,则偏序集构成格。
x,ySn,xy是lcm(x,y),即x与y的最小公倍数。
xy是gcd(x,y),即x与y的最大公约数。
下图给出了格,和。
例11.2,例11.2判断下列偏序集是否构成格,并说明理由。
(1),其中P(B)是集合B的幂集。
(2),其中Z是整数集,为小于或等于关系。
(3)偏序集的哈斯图分别在下图给出。
例11.2,解答
(1)是格。
x,yP(B),xy就是xy,xy就是xy。
由于和运算在P(B)上是封闭的,所以xy,xyP(B)。
称,为B的幂集格。
(2)是格。
x,yZ,xymax(x,y),xymin(x,y),它们都是整数。
(3)都不是格。
(a)中的a,b没有最大下界。
(b)中的b,d有两个上界c和e,但没有最小上界。
(c)中的b,c有三个上界d,e,f,但没有最小上界。
(d)中的a,g没有最大下界。
例11.3,例11.3设G是群,L(G)是G的所有子群的集合。
即L(G)H|HG对任意的H1,H2L(G),H1H2也是G的子群,而是由H1H2生成的子群(即包含着H1H2的最小的子群)。
在L(G)上定义包含关系,则L(G)关于包含关系构成一个格,称为G的子群格。
易见在L(G)中,H1H2就是H1H2,H1H2就是。
对偶原理,定义11.2设f是含有格中元素以及符号、和的命题。
令f*是将f中的替换成,替换成,替换成,替换成所得到的命题。
称f*为f的对偶命题。
例如在格中令f是(ab)cc,则f*是(ab)cc。
格的对偶原理设f是含有格中元素以及符号、和的命题。
若f对一切格为真,则f的对偶命题f*也对一切格为真。
例如对一切格L都有a,bL,aba(因为a和b的交是a的一个下界)那么对一切格L都有a,bL,aba说明许多格的性质都是互为对偶命题的。
有了格的对偶原理,在证明格的性质时,只须证明其中的一个命题即可。
格的运算性质,定理11.1设是格,则运算和适合交换律、结合律、幂等律和吸收律,即
(1)交换律a,bL有abbaabba
(2)结合律a,b,cL有(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)(3)幂等律aL有aaaaaa(4)吸收律a,bL有a(ab)aa(ab)a,定理11.1,
(1)ab和ba分别是a,b和b,a的最小上界。
由于a,bb,a,所以abba。
由对偶原理,abba得证。
(2)由最小上界的定义有(ab)caba(13.1)(ab)cabb(13.2)(ab)cc(13.3)由式13.2和13.3有(ab)cbc(13.4)再由式13.1和13.4有(ab)ca(bc)同理可证(ab)ca(bc)根据偏序关系的反对称性有(ab)ca(bc)由对偶原理,(ab)ca(bc)得证。
定理11.1,(3)显然aaa,又由aa可得aaa。
根据反对称性有aaa,由对偶原理,aaa得证。
(4)显然a(ab)a(13.5)又由aa,aba可得a(ab)a(13.6)由式13.5和13.6可得a(ab)a,根据对偶原理,a(ab)a得证。
定理11.2,定理11.2设是具有两个二元运算的代数系统,若对于*和运算适合交换律、结合律、吸收律,则可以适当定义S中的偏序,使得构成一个格,且a,bS有aba*b,abab。
思路
(1)证明在S中*和运算都适合幂等律。
(2)在S上定义二元关系R,并证明R为偏序关系。
(3)证明构成格。
说明通过规定运算及其基本性质可以给出格的定义。
定理11.2,aS,由吸收律得,
(1)证明在S中*和运算都适合幂等律。
a*a,a*(a(a*a),a,同理有aaa。
(2)在S上定义二元关系R,,a,bS有,Rabb,下面证明R在S上的偏序。
根据幂等律,,aS都有aaa,,即R,,所以R在S上是自反的。
a,bS有,aRb且bRa,abb且baa,abaabb(由于ab=ba),所以R在S上是反对称的。
定理11.2,a,b,cS有aRb且bRcabb且bccaca(bc)ac(ab)cacbccaRc这就证明了R在S上是传递的。
综上所述,R为S上的偏序。
以下把R记作。
定理11.2,(3)证明构成格。
即证明abab,aba*b。
a,bS有,a(ab)(aa)bab,b(ab)a(bb)ab,根据的定义有aab和bab,,所以ab是a,b的上界。
假设c为a,b的上界,,则有acc和bcc,,从而有,(ab)c,a(bc),ac,c,这就证明了abc,,所以ab是a,b的最小上界,即,abab,为证a*b是a,b的最大下界,,先证,首先由abb可知,a*b,a*(ab),a,反之由a*ba可知,ab,(a*b)b,b(b*a),b,再由式(13.7)和的定义有aba*ba,,依照前边的证明,类似地可证a*b是a,b的最大下界,,即aba*b。
abba*ba(13.7),格的等价定义,根据定理11.2,可以给出格的另一个等价定义。
定义11.3设是代数系统,*和是二元运算,如果*和满足交换律,结合律和吸收律,则构成一个格(lattice)。
说明格中的幂等律可以由吸收律推出。
以后我们不再区别是偏序集定义的格,还是代数系统定义的格,而统称为格L。
格的性质,定理11.3设L是格,则a,bL有ababaabb证明先证ababa由aa和ab可知,a是a,b的下界,故aab。
显然又有aba。
由反对称性得aba。
再证abaabb。
根据吸收律有bb(ba)由aba得bba,即abb。
最后证abbab。
由aab得aabb。
格的性质,定理11.4设L是格,a,b,c,dL,若ab且cd,则acbd,acbd证明acabaccd因此,acbd。
同理可证acbd。
例11.5,例11.5设L是格,证明a,b,cL有a(bc)(ab)(ac)证明由aa,bcb得a(bc)ab由aa,bcc得a(bc)ac从而得到a(bc)(ab)(ac)说明在格中分配不等式成立。
一般说来,格中的和运算并不是满足分配律的。
本节小结,偏序集构成格的条件:
任意二元子集都有最大下界和最小上界。
格的实例:
正整数的因子格,幂集格,子群格。
格的性质:
对偶原理,格中算律(交换、结合、幂等、吸收),保序性,分配不等式。
格作为代数系统的定义。
格的证明方法,子格,定义11.4设是格,S是L的非空子集,若S关于L中的运算和仍构成格,则称S是L的子格。
例11.6设格L如右图所示。
令,S1a,e,f,gS2a,b,e,g,则S1不是L的子格,S2是L的子格。
因为对于e和f,有efc,但cS1。
11.2分配格、有补格与布尔代数,一般说来,格中运算对满足分配不等式,即a,b,cL,有a(bc)(ab)(ac)但是不一定满足分配律。
满足分配律的格称为分配格。
定义11.5设是格,若a,b,cL,有a(bc)(ab)(ac)a(bc)(ab)(ac)则称L为分配格。
说明上面两个等式互为对偶式。
在证明L为分配格时,只须证明其中的一个等式即可。
例11.7,L1和L2是分配格,L3和L4不是分配格。
在L3中,b(cd),beb,(bc)(bd),aaa,在L4中,c(bd),cac,(cb)(cd),edd,钻石格,五角格,分配格的判别,定理11.5设L是格,则L是分配格当且仅当L中不含有与钻石格或五角格同构的子格。
证明略。
推论
(1)小于五元的格都是分配格。
(2)任何一条链都是分配格。
例11.8,说明下图中的格是否为分配格,为什么?
L1,L2和L3都不是分配格。
a,b,c,d,e是L1的子格,并且同构于钻石格。
a,b,c,e,f是L2的子格,并且同构于五角格。
a,c,b,e,f是L3的子格,也同构于钻石格。
格的全下界和全上界,定义11.6设L是格,若存在aL使得xL有ax,则称a为L的全下界;若存在bL使得xL有xb,则称b为L的全上界。
命题格L若存在全下界或全上界,一定是唯一的。
证明以全下界为例,假若a1和a2都是格L的全下界,则有a1a2和a2a1。
根据偏序关系的反对称性必有a1a2。
记法将格L的全下界记为0,全上界记为1。
有界格,定义11.7设L是格,若L存在全下界和全上界,则称L为有界格,并将L记为。
说明有限格L一定是有界格。
举例设L是n元格,且La1,a2,an,那么a1a2an是L的全下界,而a1a2an是L的全上界。
因此L是有界格。
对于无限格L来说,有的是有界格,有的不是有界格。
如集合B的幂集格,不管B是有穷集还是无穷集,它都是有界格。
它的全下界是空集,全上界是B。
整数集Z关于通常数的小于或等于关系构成的格不是有界格,因为不存在最小和最大的整数。
有界格的性质,定理(补充)设是有界格,则aL有a00a0aa1aa11证明由a00和0a0可知a00。
说明在有界格中,全下界0是关于运算的零元,运算的单位元。
全上界1是关于运算的零元,运算的单位元。
对偶原理对于涉及到有界格的命题,如果其中含有全下界0或全上界1,在求该命题的对偶命题时,必须将0替换成1,而将1替换成0。
例如a00和a11互为对偶命题,a0a和a1a互为对偶命题。
有界格中的补元,定义11.8设是有界格,aL,若存在bL使得ab0和ab1成立,则称b是a的补元。
说明若b是a的补元,那么a也是b的补元。
换句话说,a和b互为补元。
例11.9,考虑下图中的四个格。
L1中的a与c互为补元,其中a为全下界,c为全上界,b没有补元。
L2中的a与d互为补元,其中a为全下界,d为全上界,b与c也互为补元。
L3中的a与e互为补元,其中a为全下界,e为全上界,b的补元是c和d,c的补元是b和d,d的补元是b和c。
b,c,d每个元素都有两个补元。
L4中的a与e互为补元。
其中a为全下界。
e为全上界。
b的补元是c和d,c的补元是b,d的补元是b。
有界格中补元的说明,在任何有界格中,全下界0与全上界1互补。
对于其他元素,可能存在补元,也可能不存在补元。
如果存在,可能是唯一的,也可能是多个补元。
对于有界分配格,如果它的元素存在补元,一定是唯一的。
有界分配格中补元的唯一性,定理11.6设是有界分配格。
若aL,且对于a存在补元b,则b是a的唯一补元。
证明假设cL也是a的补元,则有ac1,ac0又知b是a的补元,故ab1,ab0从而得到acab,acab由于L是分配格,根据定理13.7,bc。
有补格的定义,定义11.9设是有界格,若L中所有元素都有补元存在,则称L为有补格。
L2,L3和L4是有补格,L1不是有补格。
L2和L3是有补格,L1不是有补格。
本节小结,如果格中一个运算对另一个运算是可分配的,称这个格是分配格。
分配格的两种判别法:
不存在与钻石格或五角格同构的子格;对于任意元素a,b,c,有abac且abacbc。
有界格的定义及其实例。
格中元素的补元及其性质(分配格中补元的唯一性)。
有补格的定义。
布尔代数,定义11.10如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格或布尔代数。
说明在布尔代数中,每个元素都存在着唯一的补元。
可以把求补元的运算看作是布尔代数中的一元运算。
可以把一个布尔代数标记为,为求补运算,aB,a是a的补元。
例11.10,例11.10设S1101,2,5,10,11,22,55,110是110的正因子集合。
令gcd,lcm分别
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