82空间中的平行的判定和性质.docx
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82空间中的平行的判定和性质
直线、平面平行的判定与性质
例1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC=2,
,CC1=4,M是棱CC1上一点.
(Ⅰ)若M,N分别为CC1,AB的中点,求证:
CN//平面AB1M.
(Ⅱ)若
在线段AB上是否存在点N,使得CN//平面AB1M,若存在说明点N的位置,若不存在,说明理由
例2 (2014·山东改编)如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=
AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.
(1)求证:
AP∥平面BEF;
(2)求证:
GH∥平面PAD.
思维点拨
(2)中可证明平面OFH∥平面PAD.
证明
(1)连接EC,
∵AD∥BC,BC=
AD,
∴BC綊AE,
∴四边形ABCE是平行四边形,
∴O为AC的中点.
又∵F是PC的中点,
∴FO∥AP,
FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,
∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH,OH,
∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD,∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点,H是CD的中点,
∴OH∥AD,∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.
思维升华 判断或证明线面平行的常用方法:
(1)利用线面平行的定义(无公共点);
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α);(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β);(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).
例3.【2014高考安徽卷文第19题】如图,四棱锥
的底面边长为8的正方形,四条侧棱长均为
.点
分别是棱
上共面的四点,平面
平面
,
平面
.
(1)证明:
(2)证明:
(3)若
,求四边形
的面积.
考点:
1.线面平行的性质定理;2.平行的传递性;3.四边形面积的求解.
1.(2013·安徽)在下列命题中,不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
答案 A
解析 选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.
2.(2014·辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
答案 B
解析 方法一 若m∥α,n∥α,则m,n可能平行、相交或异面,A错;
若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,因为直线与平面垂直时,它垂直于平面内任一直线,B正确;
若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,C错;
若m∥α,m⊥n,则n与α可能相交,可能平行,也可能n⊂α,D错.
方法二
如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,用平面ABCD表示α.
A项中,若m为A′B′,n为B′C′,满足m∥α,n∥α,但m与n是相交直线,故A错.
B项中,m⊥α,n⊂α,
满足m⊥n,这是线面垂直的性质,故B正确.
C项中,若m为AA′,n为AB,
满足m⊥α,m⊥n,但n⊂α,故C错.
D项中,若m为A′B′,n为B′C′,
满足m∥α,m⊥n,但n∥α,故D错.
3.设P表示一个点,a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( )
①P∈a,P∈α⇒a⊂α;
②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.
A.①②B.②③C.①④D.③④
答案 D
解析
当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,∴①错;
a∩β=P时,②错;
如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a,
∴由直线a与点P确定唯一平面α,
又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确;
两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.
4.如图所示,平面α,β,γ两两相交,a,b,c为三条交线,且a∥b,则a与c,b与c的位置关系是________.
答案 a∥b∥c
解析 ∵a∥b,a⊂α,b⊄α,∴b∥α.
又∵b⊂β,α∩β=c,∴b∥c.
∴a∥b∥c.
5.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=________.
答案 8
解析 取CD的中点H,连接EH,HF.在四面体CDEF中,CD⊥EH,CD⊥FH,所以CD⊥平面EFH,所以AB⊥平面EFH,所以正方体的左、右两个侧面与EF平行,其余4个平面与EF相交,即n=4.又因为CE与AB在同一平面内,所以CE与正方体下底面共面,与上底面平行,与其余四个面相交,即m=4,所以m+n=4+4=8.
6.设α,β是两个不同的平面,m,n是平面α内的两条不同的直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是( )
A.m∥β且l1∥αB.l1∥α且l2∥α
C.m∥β且n∥βD.m∥l1且n∥l2
答案 D
解析 m∥l1,且n∥l2⇒α∥β,但α∥β⇒/m∥l1且n∥l2,∴“m∥l1,且n∥l2”是“α∥β”的一个充分不必要条件.
7.若直线a平行于平面α,则下列结论错误的是( )
A.a平行于α内的所有直线
B.α内有无数条直线与a平行
C.直线a上的点到平面α的距离相等
D.α内存在无数条直线与a成90°角
答案 A
解析 若直线a平行于平面α,则α内既存在无数条直线与a平行,也存在无数条直线与a异面且垂直,所以A不正确,B、D正确.又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等,所以C正确.
8.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题:
①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;
②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;
③若α∩β=l,β∩γ=m.γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.
其中真命题的个数为( )
A.3B.2C.1D.0
答案 C
解析 ①中当α与β不平行时,也可能存在符合题意的l、m;②中l与m也可能异面;③中
⇒l∥n,同理,l∥m,则m∥n,正确.
9.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
答案 B
解析 ①中易知NP∥AA′,MN∥A′B,
∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如图).
④中,NP∥AB,能得出AB∥平面MNP.
10.如图所示,ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=
,过P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=________.
答案
a
解析 ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,∴MN∥PQ.
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点,AP=
,
∴CQ=
,从而DP=DQ=
,∴PQ=
a.
12.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点.
(1)求证:
DE∥平面ABC;
(2)求三棱锥E-BCD的体积.
(1)证明 取BC中点G,连接AG,EG.
因为E是B1C的中点,所以EG∥BB1,且EG=
BB1.
由直棱柱知,AA1綊BB1,而D是AA1的中点,所以EG綊AD,
所以四边形EGAD是平行四边形.所以ED∥AG.
又DE⊄平面ABC,AG⊂平面ABC,
所以DE∥平面ABC.
(2)解 因为AD∥EG,EG⊂平面BCE,AD⊄平面BCE,所以AD∥平面BCE,
所以VE-BCD=VD-BEC=VA-BCE=VE-ABC,
由
(1)知,DE∥平面ABC.
所以VE-ABC=VD-ABC=
AD·
BC·AG
=
×3×6×4=12.
12.如图,E、F、G、H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证:
(1)EG∥平面BB1D1D;
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
证明
(1)取B1D1的中点O,连接GO,OB,
易证四边形BEGO为平行四边形,故OB∥GE,
由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.
(2)由题意可知BD∥B1D1.
如图,连接HB、D1F,
易证四边形HBFD1是平行四边形,
故HD1∥BF.
又B1D1∩HD1=D1,
BD∩BF=B,
所以平面BDF∥平面B1D1H.
13.【2014高考北京理第17题】(本小题满分13分)
如图,正方体
的边长为2,
,
分别为
,
的中点,在五棱锥
中,
为棱
的中点,平面
与棱
,
分别交于
,
.
(1)求证:
;
(2)若
底面
,且
,求直线
与平面
所成角的大小,并求线段
的长.
【答案】
(1)详见解析;
(2)2.
考点:
空间中线线、线面、面面的平行于垂直,用向量法求线面角,即空间距离.
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- 关 键 词:
- 82 空间 中的 平行 判定 性质