第10讲五年级数学数的奇偶性 廖梅桂 教案.docx
- 文档编号:25771404
- 上传时间:2023-06-13
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:170.38KB
第10讲五年级数学数的奇偶性 廖梅桂 教案.docx
《第10讲五年级数学数的奇偶性 廖梅桂 教案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第10讲五年级数学数的奇偶性 廖梅桂 教案.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第10讲五年级数学数的奇偶性廖梅桂教案
精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号:
年级:
课时数:
学员姓名:
辅导科目:
学科教师:
授课
类型
C-奇数和偶数
C-奇偶分析
T-奇偶性的应用
授课日期时段
教学内容
1、容斥问题的原理和方法是什么?
2、在1-100这100个自然数中,有约数3或能被5整除的数共多少个?
解放前,在城镇的大路旁边,有时见到各种碰运气、赌输赢的小摊。
其中的一种,叫做转糖摊。
转糖摊是一个不动的圆盘,盘上画了偶数个扇形格子,对格子按顺序进行编号。
如下图。
在圆盘的中心,伸出一根可以转动的轴,轴的上端向外垂直伸出一根悬臂,悬臂端吊一根绳子,绳头上系一小铅锤,以指示格子数。
摊主在偶数格子里各放一块小糖,在奇数格子里则分别放上一些引人注目的值钱的东西。
玩时,谁付一角钱,就可拨动悬臂转动一次;等停转后,铅锤指到哪格,就根据那格的编号数,从下一格起,按格往下数这个数,数到哪一格,放在那格里的东西就归谁。
粗心大意的人常想,盘子上奇数和偶数格子各占一半。
数到偶数格得一块小糖,显然亏了;但若数到奇数格子得一支钢笔什么的,可就赚了。
花一角钱不算多,可以碰碰运气。
可奇怪的是,在玩时,老是玩的人吃亏,却不见摊主赔本。
是玩的人运气不好吗?
带着这个问题进入本次课的学习。
1、专题精讲
例1、1+2+3+4+…+1993的和是奇数还是偶数?
分析:
此题可以利用高斯求和公式直接求出和,再判别和是奇数,还是偶数。
但是如果从加数的奇、偶个数考虑,利用奇偶数的性质,同样可以判断和的奇偶性。
此题可以有两种解法。
解:
解法一:
1+2+3+…+1993=
=997×1993,
由于997和1993是奇数,奇数×奇数=奇数,原式的和是奇数。
解法二:
由于1993÷2=996…1,所以1~1993的自然数中,有996个偶数,有997个奇数。
996个偶数之和一定是偶数,997个奇数之和是奇数。
因为,偶数+奇数=奇数,所以原式之和一定是奇数。
例2、在30到100中所有3的倍数的和是奇数还是偶数?
分析:
按从小到大的次序可以写成:
30,33,36,39,…,93,96,99.
其中的奇数是:
33,39,45,…,93,99.
解:
这些奇数的总个数为:
(99-33)÷6+1=12
12个奇数的和应是偶数,因此在30到100中所有3的倍数的和是偶数。
例3、有一列数:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,从第三个数开始,每个数都是前两个数的和,那么在前1000个数中,有多少个奇数?
分析:
根据“奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数“及第一、第二个数都是奇数,按照这列数的组成规律知各数的奇偶性依次为:
奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,…,
即三个数为一组,其中前两个是奇数,后一个是偶数。
解:
这列数的排列规律是每三个数为一组,其中前两个是奇数,后一个是偶数。
1000÷3=333……1
所以前1000个数中有偶数333个,有奇数1000-333=667(个)。
例4、算式1×2+3×4+5×6+…+99×100的得数是奇数还是偶数?
分析:
先判断各个积的奇偶性,再判断整个和的奇偶性。
解:
因为每个积都是相邻两个自然数相乘,其中一个是偶数,所以每个积都是偶数,最后的得数也必是偶数。
例5、五个连续奇数的和是2005,求这五个奇数。
分析:
五个连续奇数中间的一个数是这五个连续奇数的平均数,可先求出中间的这个数,再求其它奇数。
解:
中间的一个奇数是2005÷5=401,所以这五个连续奇数是397,399,401,403,405。
小结:
小故事中的其实不是玩的人运气不好,这是摊主们运用数学原理巧设的一种骗钱的把戏。
玩的人未细加思量,就吃了亏,上了当!
为什么呢?
道理很简单,因为:
奇数+奇数=偶数;偶数+偶数=偶数。
这就是说,按照规定的数法,不管铅锤指在奇数还是偶数,最后数的总是偶数格,是怎么也数不到奇数格子上去的!
如此糊弄人的把戏,这样简单的道理,事先怎么就想不到呢?
可见“胸中无数”是不行的!
二、专题过关
1、判断11+12+13+14+…+89+90是奇数还是偶数?
2、判断下面算式的得数是奇数还是偶数?
(500+501+502+…+597)-(251+252+…+291)。
3、三个连续奇数的和是2001,求这三个奇数。
4、有36个球,分装在13个盒子里,如果要求每个盒子只装单数个球,不准装双数个球。
能办到吗?
为什么?
5、1999+1998-1997+1996-1995+…+2-1是奇数还是偶数?
说明你的理由?
6、在1到195中所有5的倍数的和是奇数还是偶数?
7、有20个自然数,其中奇数比偶数多,它们的总和是100。
那么这20个数中至多有多少个偶数?
答案:
1、偶数;2、偶数;3、665,667,669;4、根本无法办到。
因为有13个盒子,每个盒子都装单数,13个奇数的和还是奇数,要想办到,球的总数也应是奇数,36个球是偶数,所以无法实现。
5、原式=1999+(1998-1997)+(1996-1995)+…+(2-1)=1999+999,因此是偶数。
6、在1到195中,所有5的倍数按从小到大的次序可以写成5,10,15,20,…,195。
其中的奇数是5,15,25,…,195.这些奇数的总个数为(195-5)÷10+1=20。
因为20是一个偶数,所以在1到195中所有5的倍数的和是偶数。
7、总和100是偶数,因此奇数的个数也是偶数,这20个数中至多有8个偶数。
三、学法提炼
1、专题特点:
奇偶性的分析。
2、解题方法:
奇数和偶数的三个最常见的性质。
性质1:
任何一奇数一定不等于任何一个偶数。
性质2:
相邻的两个自然数总是一奇一偶。
性质3:
有趣的运算规律:
奇数
奇数=偶数
偶数
偶数=偶数
奇数
偶数=奇数
偶数
奇数=奇数
奇数×奇数=奇数
偶数×偶数=偶数
奇数不可能被偶数整除。
3、注意事项:
正确的理解奇数和偶数的三个最常见的性质。
一、专题精讲
例1、在一次校友聚会上,久别重逢的老同学互相握手。
请问:
握过奇数次手的人数是奇数还是偶数?
请说明理由。
分析与解:
通常握手是两人的事。
甲、乙两人握手,对于甲是握手1次,对于乙也是握手1次,两人握手次数的和是2。
所以一群人握手,不论人数是奇数还是偶数,握手的总次数一定是偶数。
把聚会的人分成两类:
A类是握手次数是偶数的人,B类是握手次数是奇数的人。
A类中每人握手的次数都是偶数,所以A类人握手的总次数也是偶数。
又因为所有人握手的总次数也是偶数,偶数-偶数=偶数,所以B类人握手的总次数也是偶数。
握奇数次手的那部分人即B类人的人数是奇数还是偶数呢?
如果是奇数,那么因为“奇数个奇数之和是奇数”,所以得到B类人握手的总次数是奇数,与前面得到的结论矛盾,所以B类人即握过奇数次手的人数是偶数。
例2、某展览会有16个展室,(如图)每两个相邻展室之间均有门相同。
问:
能否从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来?
分析:
进入每一个展室都要过一道门,看完16个展室要经过16道门。
为了便于分析,我们对4×4的方格进行黑白相间染色,发现经过奇数道门时,只能进入黑色区域,经过偶数道门时只能进入白色区域,经过16道门时只能进入白色区域,而第16个展室是黑色区域,因此是不可能的。
例2的解法,采用了黑白两色间隔染(着)色的办法。
因为整数按奇偶分类只有两类,所以将这类问题转变为黑白两色间隔着色,可以帮助我们较直观地理解和处理问题。
让我们做一道练习题,再体会一下奇偶性和染色的关系。
例3、在全校的环保知识竞赛,试题共40道,评分标准是:
答对一题给3分,某题不答给1分,答错一题倒扣1分。
则全校同学得分的总和是奇数还是偶数?
解:
对每个学生来说,40道题都答对共得120分,是个偶数。
如果答错一道,相当于从120分中扣4分。
不论答错多少道,扣分的总数应是4的倍数,即扣偶数分。
从120里减去偶数,差仍是偶数。
同样,如果有某道题不答,应从120里减去(3-1)分。
不论有多少道题没答,扣分的总数是2的倍数,也是偶数。
所以从120里减去偶数,差仍是偶数。
因此,每个学生得分数是偶数,那么全年级参赛学生得分总和也一定是偶数。
例4、桌上有9只杯子,全部口朝上,每次将其中6只杯子同时“翻转”。
请说明:
无论经过多少次这样的“翻转”,都不能使9只杯子全部口朝下。
解:
要使一只杯子口朝下,必须经过奇数次“翻转”。
要使9只杯子口全超下,必须经过9个奇数之和次“翻转”。
即“翻转”的总次数为奇数。
但是,按规定每次翻转6只杯子,无论经过多少次“翻转”,翻转的总次数只能是偶数次。
因此无论经过多少次“翻转”,都不能使9只杯子全部口朝下。
例5、假设n盏有拉线开关的灯亮着,规定每次拉动n-1个开关,能否把所有的灯都关上?
请证明此结论,或给出一种关灯的办法。
证明:
当n为奇数时,不能按规定将所有的灯关上。
因为要关上一盏灯,必须经过奇数次拉动它的开关。
由于n是奇数,所以n个奇数的和=奇数,
因此要把所有的灯(n盏)都关上,拉动拉线开关的总次数一定是奇数。
但因为规定每次拉动n-1个开关,且n-1是偶数,
故按规定拉动开关的总次数一定是偶数。
当n为偶数时,能按规定将所有的灯关上。
关灯的办法如下:
设灯的编号为1,2,3,4,…,n。
做如下操作:
第一次1号灯不动,拉动其余开关;
第二次2号灯不动,拉动其余开关;
第三次3号灯不动,拉动其余开关;
…
第n次,n号灯不动,拉动其余开关。
这时所有的灯都关上了。
第o次,
二、专题过关
1、元旦前夕,同学们相互送贺年卡。
每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡,那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数,还是偶数?
为什么?
分析此题初看似乎缺总人数。
但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上,因此与总人数无关。
解:
由于是两人互送贺年卡,给每人分别标记送出贺年卡一次。
那么贺年卡的总张数应能被2整除,所以贺年卡的总张数应是偶数。
送贺年卡的人可以分为两种:
一种是送出了偶数张贺年卡的人:
他们送出贺年卡总和为偶数。
另一种是送出了奇数张贺年卡的人:
他们送出贺年卡总数=所有人送出的贺年卡的总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡的总数=偶数-偶数=偶数。
他们的总人数必须是偶数,才使他们送出的贺年卡总数为偶数。
所以,送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。
2、电影厅每排有19个座位,共23排,要求每一观众都仅和它邻近(即前、后、左、右)一人交换位置。
问:
这种交换方法是否可行?
答案:
不可行。
如下图通过对19×23的方格进行黑白染色后,我们把每一个黑、白格看作是一个座位。
从图中可知,已在黑格“座位”上的同学要换到邻座,必须坐到白格上;已在白格上“座位”上的同学要换到邻座,又必须全坐到黑格“座位”上。
因此,要使每人换为邻座位,必须黑白格数相等。
而图中白格有119个,黑格有118个,因此这种交换方法是不可行的。
3、全校有100名学生参加数学竞赛,竞赛题共有30道。
评分标准是每人先给基础分15分。
答对一道加5分,不答加1分,答错倒扣1分。
问:
(1)每个同学的得分是奇数还是偶数?
(2)所有参赛学生得分总和是奇数还是偶数?
解答:
:
对每个学生来说,30道题都答对共得150分,是个偶数。
如果答错一道,相当于从150分中扣2分。
不论答错多少道,扣分的总数应是2的倍数,即扣偶数分。
从150里减去偶数,差仍是偶数。
同样,如果有某道题不答,应从150里减去4分。
不论有多少道题没答,扣分的总数是4的倍数,也是偶数。
所以从偶数里减去偶数,差仍是偶数。
因此,每个学生得分数是偶数,那么全年级参赛学生得分总和也一定是偶数。
4、有10只杯子全部口朝下放在盘子里。
你能否每次翻动4只杯子,经过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上?
解析:
每只杯子口朝下,必须翻动奇数次,10只杯子全部口朝下,翻动的总次数是偶数。
每次翻动
4只杯子,翻动的总次数是偶数,因此有可能通过若干次翻动后杯子全部口朝上。
5、在8个房间中,有7个房间开着灯,1个房间关着灯.如果每次拨动4个不同房间的开关,能不能把全部房间的灯都关上?
为什么?
分析:
按要求每次拨动4个不同房间的开关,而4是偶数,所以,这样的一次操作,拨动房间开关次数是偶数.那么经过有限次拨动后,拨动各房间开关次数总和是偶数.可是,要使7个房间的灯由开变为关,需要拨动各个房间开关奇数次;第8个房间的开关仍为关,需要这个房间拨动开关偶数次.这样,需要拨动开关的总次数是奇数个奇数与一个偶数的和,是奇数.所以按照要求不能把全部房间的灯关上.
三、学法提炼
1、专题特点:
利用奇偶性分析解决问题。
2、解题方法:
对于奇偶性之间的加减及乘法运算有如下几条性质:
1、偶数是2的倍数,而奇数不是。
2、任一个整数加或者减一个偶数,其奇偶性不变。
3、任一个整数加或者减一个奇数,其奇偶性改变。
4、奇数个奇数相加的和是奇数。
5、偶数个奇数相加的和是偶数。
6、任意多个偶数的和永远都是偶数。
7、只有奇数与奇数的乘积才能为奇数。
若在乘式中有一个数是偶数,那么最后的乘积一定是偶数。
3、注意事项:
在利用奇偶性分析问题的时候,最重要的一点就是记住:
奇数不等于偶数。
一、能力培养
综合题1:
能否在下面的□内填入加号或减号,使得等式成立?
为什么?
1□2□3□4□5□6□7□8□9=10
分析:
根据加减号运算中奇偶性的规律知,左边运算结果的奇偶性与所填加号、减号无关,只与参与运算的数中有多少个奇数有关,由此不难得出结论。
解:
1~9中共有5个奇数,所以不管左边怎样填加号、减号,它都是一个共有奇数个奇数参加运算的加减算式,运算结果必是奇数,不可能等于偶数10,所以不可能在□内填入适当的加减号使等式成立。
综合题2:
为一个质数,若
+5仍为一个质数,那么试问:
+5是不是质数?
分析:
质数有无穷多个,一个一个验证下去显然是不可能的,那么我们只能从最基本的整除性质入手。
解:
若
是个奇质数,那么
+5一定是一个大于2的偶数,从而就不会是个质数,这就与题目的条件相矛盾。
于是
一定等于2,而此时
+5=13是个质数。
那么
+5=37,所以
+5是个质数。
小结:
凡是我们在解决涉及到多个质数的题目时,一定要注意利用偶质数只有2这个性质。
二、能力点评
1、在一个式子里,加、减号对式子结果的奇偶性不起任何作用;
2、偶质数只有2.
学法升华
一、知识收获
1、奇数与偶数的意义;
2、数的奇偶性的判断,和差积的奇偶性的规律;
3、利用数的奇偶性解决实际问题。
二、方法总结
1、数的数的奇偶性的判断,根据一个数是否有因数2来判断。
如果一个数有因数2(是2的倍数),它就是偶数,否则就是奇数。
2、数的奇偶性的判断方法
a.和差的奇偶性由奇数的个数决定。
当有奇数个数时,结果是奇数;当有偶数个奇数时,结果是偶数。
b.积的奇偶性有偶数的个数决定。
如果积中有一个因数是偶数,积就是偶数;如果没有偶数,则积为奇数。
3、数的奇偶性的应用
a.利用数的奇偶性进行判断、推理,根据计算结果的奇偶性判断事情发生的可能性。
b.一些无法知道计算结果的推理问题,可以结合染色法进行推理。
例如路径问题,位置问题等,可以把路径和位置进行黑白间隔染色,根据黑白格的个数的奇偶性进行推理判断。
三、技巧提炼
在利用数的奇偶性进行判断、推理、论证时,结合染色法等和其他数学手段,使推理过程更具说服力。
课后作业
1.有100个自然数,它们的和是偶数。
在这100个自然数中,奇数的个数比偶数的个数多。
问:
这些数中至多有多少个偶数?
2.有一串数,最前面的四个数依次是1、9、8、7。
从第五个数起,每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字。
问:
在这一串数中,会依次出现1、9、8、8这四个数吗?
3.求证:
四个连续奇数的和一定是8的倍数。
4.把任意6个整数分别填入右图中的6个小方格内,试说明一定右一个矩形,它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。
5.
6.
7.
8.
9.
10.
5.如果两个人通一次电话,每人都记通话一次,在24小时以内,全世界通话次数是奇数的那些人的总数为。
(A)必为奇数(B)必为偶数(C)可能是奇数,也可能是偶数。
6.一个数分别与另外两个相邻奇数相乘,所得的两个积相差150,这个数是多少?
7.某学校一年级一班共有25名同学,教室座位恰好排成5行,每行5个座位。
把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位。
问:
让这25个学生都离开原座位坐到原座位的邻位,是否可行?
看图解决问题。
1、这是什么问题的应用题?
你最多能用几种方法解答?
答案:
1、偶数至多有48个。
2、提示:
先按规律写出一些数来,再找其奇、偶性的排列规律,便可得到答案:
不会依次出现1、9、8、8这四个数。
3、设四个连续奇数是2n+1,2n+3,2n+5,2n+7,n为整数,则它们的和是(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)=2n×4+16=8n+16=8(n+2)。
所以,四个连续奇数的和是8的倍数。
4.证明:
设填入数分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6。
有
a1
a2
a3
a4
a5
a6
假设要证明的结论不成立,则有:
a1+a2+a4+a5=奇数
a1+a3+a4+a6=奇数
+)a2+a3+a5+a6=奇数
2(a1+a2+a3+a4+a5+a6)=奇数
∵偶数≠奇数,∴假设不成立,命题得证。
5.应选择(B).
6.解法1:
∵相邻两个奇数相差2,
∴150是这个要求数的2倍。
∴这个数是150÷2=75。
解法2:
设这个数为x,设相邻的两个奇数为2a+1,2a-1(a≥1)。
则有
(2a+1)x-(2a-1)x=150,
2ax+x-2ax+x=150,
2x=150,
x=75。
∴这个要求的数是75。
7.分析为了便于分析,我们可借助于下图,且用黑白染色帮助分析。
我们把每一个黑、白格看作是一个座位。
从图中可知,已在黑格“座位”上的同学要换到邻座,必须坐到白格上;已在白格上“座位”上的同学要换到邻座,又必须全坐到黑格“座位”上。
因此,要使每人换为邻座位,必须黑白格数相等。
解:
从上图可知:
黑色座位有13个,白色座位有12个,13≠12,因此,不可能使每个座位的人换为邻座位。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第10讲五年级数学数的奇偶性 廖梅桂 教案 10 年级 数学 奇偶性