62余弦正切余切函数的图象和性质15.docx
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62余弦正切余切函数的图象和性质15
标准教案
首页编号
学
科
数学
第六章:
三角函数的图象和性质
第2节:
余弦函数的图象和性质
教研组长
审批签字
授课时数
4
授课时间
6.8-9
授课班级
教材分析
1.复习函数的性质.2.研究正弦函数的性质.
3.类比正弦函数的性质,请学生写出余弦函数的性质.
4.两个函数的性质比较.5.课堂练习.
教学目标
1.掌握正弦函数、余弦函数的性质.
2.通过学习正弦函数、余弦函数的性质,培养学生类比的学习方法和数形结合的思想.
重点、难
点和关键
重点是正弦,余弦函数的性质.
难点是函数的周期性.
授课方式、
方法及手段
讲练结合首先研究正弦函数的性质,在讲完正弦函数性质的基础上,引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质,可以加深他们对两个函数的区别与联系的认识
课外作业
教材P178习题1-5
教学回顾
由学过的函数的定义域、值域、最值、奇偶性、增减性、对称性等.
来引导出本节的知识内容。
教学方法、过程及主要内容
教学意图
时间
一、复习函数的性质
以前我们对函数性质的研究主要有以下几个方面:
函数的定义域、值域、最值、奇偶性、增减性、对称性等.
二、正弦函数和余弦函数的性质
(一)正弦函数的性质
讨论函数性质时要注意观察函数图象,所以在研究正弦函数的性质前,先画出y=sinx的图象.(画此图象时,为了观察准确,应多画几个周期.)
从图象上可以观察出:
1.定义域:
x∈R.
2.值域:
y∈[-1,1]
3.周期性:
正弦函数y=sinx是周期函数.2π是它的最小正周期,2kπ(k∈Z,k=0)都是它的周期.
4.增减性:
从图象上可以看出正弦函数在整个实数域上不是增函数,也不是减函数,但具有增减区间.引导学生从图象上先标出一个增区间,
5.最值:
最大值为1,最小值为-1,但取得最值的时刻不唯一.例
取到最小值.
函数值取最值.而如前面讨论的正弦函数取得最大值时,对应的自变量x的值却不唯一,这从正弦函数的周期性容易得到解释.
6.奇偶性:
正弦函数的图象关于原点中心对称,从中可以看出正弦函数是奇函数.这点可以用代数方法证明如下:
设f(x)=sinx.因为
sin(-x)=-sinx,
即f(-x)=-f(x),由奇函数定义知正弦函数是奇函数.
7.对称性:
从前面的讨论已经知道正弦函数的图象是中心对称图形,但除原点外正弦函数图象还有没有其它的对称中心呢?
(引导学生将y轴左移或右移7π个单位,2π个单位,3π个单位,……即平移kπ个单位)正弦函数图象的对称中心也可以是点(0,0),点(π,0),点(2π,0),……即点(kπ,0),k∈Z.再引导学生仔细观
的,这是由它的周期性而来的.
在较为详细地研究了正弦函数的性质后,可以引导学生用类比的方法,写出余弦函数的性质,然后由教师给予订正.
(三)、余弦函数的性质
画出y=cosx图象.
1.定义域:
x∈R.
2.值域:
y∈[-1,1].
3.周期性:
余弦函数y=cosx是周期函数,最小正周期为2π.T=2kπ(k≠0,k∈Z)都是它的周期.
4.增减性:
从余弦函数图象上可以看出,余弦函数在整个实数域上不具备单调性.但具有无数个单调区间,当x∈[2kπ,π+2kπ](k∈Z)时,y随x的增大而减小;当x∈[π+2kπ,2π+2kπ](k∈Z)时,y随x的增大而增大.
5.最值:
当x=2kπ(k∈Z)时,y取最大值1;当x=2kπ+π(k∈Z)时,y取最小值-1,即当x=kπ(k∈Z)时,y取得最值.
6.奇偶性:
余弦函数图象关于y轴对称,从中可以看出余弦函数为偶函数,这可通过cos(-x)=cosx来证明.
(k∈Z)都是对称中心;又是轴对称图形,所有直线x=kπ,k∈Z都是对称轴.
至此,我们对正弦函数、余弦函数的性质已有所了解.下面换个角度进行思考.
当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后,会发现它们有很多共同之处.我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉,会发现它们其实都是同样形状的曲线,如图5.
所以它们的定义域相同,都为R.值域也相同,都是[-1,1].最大值都是1,最小值都是-1,只不过由于y轴放置的位置不同,使取得最大(或最小)值的时刻不同.它们的周期相同,最小正周期都是2π.它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形,且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心,以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴.但是由于y轴的位置不同,对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同.它们都不具备单调性,但都有单调区间,且都是增、减区间间隔出现.也是由于y轴的位置改变,使增减区间的位置有所不同.也使奇偶性发生了改变.
由此可见,图象的平移变换对函数的性质会产生影响.
三、课堂练习
例1 说出y=sinx(x∈R+)的性质.
解 先画出函数图象,再根据图象进行分析.
(注意此函数的定义域对图象的影响)
由图象可知,
定义域:
x∈R+.
值域:
y∈[-1,1].
奇偶性:
从图象上可以看出它非奇非偶.另外,定义域的不对称性也决定了它既非奇也非偶.
周期性:
它是周期函数,T=2kπ(k∈N)是它的周期,最小正周期为2π.
对称性:
y=sinx的图象是轴对称图形,它有无数条对称轴,对称
中心,对称中心是(kπ,0),k∈N.
通过这道例题,对正弦函数性质进行了的复习,从中可以看出定义域对函数性质的影响.
例2
由图象去分析函数性质.
定义域:
x∈R.
值域:
y∈[0,1].
k∈Z时,y取最大值1.
奇偶性:
是非奇非偶函数(图象既不关于y轴对称,又不关于原点呈中心对称).
周期性:
最小正周期为2π.
的增大而减小.
从此题可以让学生初步看到纵伸缩,纵向平移变换不改变对称性,定义域,增减区间等,但函数的某些性质发生了变化.
需要强调的是在分析函数的性质时,若能较为准确地画出图象,最好利用图象去做,有些函数性质也可以从代数变换中得到,一般较为繁杂.例如此题的函数值域可以用不等式变形来做:
再比如奇偶性的讨论:
奇非偶函数.
函数的有些性质利用函数图象来讨论既直观又简明,所以熟记基本的正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图象,并利用它们作出有关的三角函数图象是分析函数性质的关键.
四、小结
这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质,通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我们对这两个函数的理解.同时也巩固了上节课所学的正弦函数,余弦函数的图象的画法.
学习了函数性质,使我们对过去所学的知识有了新的认识.例如sin(α+2π)=sinα这个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我们认识到了它表明正弦函数的周期性.还使我们能够处理一些新问题,例如:
解
在本节课的最后一个例题中出现了图象变换对函数性质的影响.有关这个问题在下节课还要详细分析.总之,学习了函数的性质,特别是学习正弦函数、余弦函数独特的性质周期性后,使我们对它们的其它性质有了进一步的认识,也使我们对两个函数有了较为全面的了解.
五、作业:
P178….1-5.
板书设计
第六章:
三角函数的图象和性质
第6节:
余弦函数的图象和性质
1.正弦函数的图象和性质
2.余弦函数的图象和性质
3.课堂小结
4.作业
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- 关 键 词:
- 62 余弦 正切 余切 函数 图象 性质 15
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