数值计算方法ch223_精品文档.ppt
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2.3舍入误差对解的影响,本节研究线性代数方程组解的误差。
衡量数的误码率差用到绝对值;方程组的解是向量,衡量其误差,自然需推广绝对值的概念。
2.3.1各量和矩阵的范数,众所周知,数的绝对值是的函数:
具有以下三性质:
推广到向量,具有如下类似性质的函数称为向量度的范数或模或长度:
几何上三角不等式表示:
在以向量、及其和构成的三角形中,一边之长不超过另两边边长之和。
由此易见,,从而,表示以、和为边的三角形中,一边之长不小于另两边边长之差。
常用向量范数有3种,即,分别称为1范数、2范数、无穷大范数。
不难验证它们具有性质
(1)和
(2)。
这里只对范数验证性质(3)。
为此只需证,或,最后不等式称柯西(Cauchy)不等式。
注意对任意实数,由二次式的判别式,便可推出柯西不等式。
因此对性质(3)成立。
对于阶方阵,具有如下4种性质的函数称为矩阵的范数:
例如矩阵函数,容易验证它具有上述种性质,便是一种矩阵范数,称为矩阵的范数,简称范数。
常用矩阵范数是如下三种范数:
(26),其中表示矩阵的谱半径,即特征值绝对值的最大者。
三种范数分别称为1范数或列范数,无穷大范数或行范数,2范数或谱范数。
可以证明,矩阵的这三种范数还具有以下3种性质:
(满足性质
(1)的矩阵范数称为相容范数),(27),这里只证性质(3)。
假定不可逆,则线性齐次方程组有非零解,从而,矛盾。
这说明可逆,存在。
于是,从而知,证毕,2.3.2舍入误差对解的影响,用直线法解线性方程组,理应得出准确解。
但因存在舍入误差,只能得出近似解,或者说近似方程组的准确解。
近似矩阵和近似向量的误差,同计算机运算和精度有关。
计算精度越高,和必然越小。
下面估计和很小时解的误差。
和分别满足方程组,两式相减,可得,当很小时很小,可逆,,注意,令,此时表明,很小时解的相对误差约为和相对误差的倍;很大时即使和的相对误差很小,解的相对误差也可能很大。
数反映了舍入误差对解可能影响的大小,同方程组本身系数矩阵有关,因此称为方程组的条件数。
它的值随所取范数不同而略有不同;但对矩阵的相容范数,均有,均可粗略说是误差的放大倍数。
值很大的方程组称病态方程组,值较小的方程组称良态方程组。
如下方程组都是病态方程组:
对第一个方程组,,如在四位计算机上用列主元法求解,将得到解,而与真解相差甚远。
对第二个方程组,实际问题很难计算条件数。
下列现象可能表示方程组是病态的:
(1)系数矩阵的行或列近似线性相关。
(2)系数矩阵的元素,数量级相差悬殊。
(3)将系数矩阵的元素稍加改变,得出的解变化较大。
(4)采用选主元的求解过程中,主元数量级相差悬殊。
(5)求出的解与预期的解相差较远。
为准确求解病态方程组,可以采取以下措施,减少舍入误差影响:
采用高精度计算;采用稳定性好的算法,如全主元法;采取平衡措施;迭代改善计算解。
所谓平衡措施,就是将系数矩阵的各行除以该行绝对值最大的元素。
例如上述第一个方程组的系数矩阵,经平衡后变为,方程组变为良态。
实际方程组平衡后未必变为良态,所以为避免平衡时除法平生误差,通常并不真正执行平衡,只是选主元时参照平衡措施,将选主元的原则,由元素绝对值最大,改为除以该行绝对值最大,素后绝对值最大者。
按此原则选主元求解上列第一个病态方程组,在4位机上可得解,接近真解。
迭代改善计算解,目的是设法求修改量,使满足原方程组,即,实际计算时方程组不大可能准确求解,从而必须反复解和修改,使逐渐接近真解。
这过程称为迭代改善。
为节省计算量,最好事先角分解,反复解改为反复解。
为保证计算精度,计算残矢量最好采用高精度计算。
迭代改善过程可表述如下:
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