小学数学奥数解题技巧第三十一讲分解质因数法.docx
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小学数学奥数解题技巧第三十一讲分解质因数法
第三十一讲分解质因数法
通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数,来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。
分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用,在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。
分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法,有益于开辟解题思路,启迪创造性思维。
例1一块正方体木块,体积是1331立方厘米。
这块正方体木块的棱长是多少厘米?
(适于六年级程度)
解:
把1331分解质因数:
1331=11×11×11
答:
这块正方体木块的棱长是11厘米。
例2一个数的平方等于324,求这个数。
(适于六年级程度)
解:
把324分解质因数:
324=2×2×3×3×3×3
=(2×3×3)×(2×3×3)
=18×18
答:
这个数是18。
例3相邻两个自然数的最小公倍数是462,求这两个数。
(适于六年级程度)
解:
把462分解质因数:
462=2×3×7×11
=(3×7)×(2×11)
=21×22
答:
这两个数是21和22。
*例4ABC×D=1673,在这个乘法算式中,A、B、C、D代表不同的数字,ABC是一个三位数。
求ABC代表什么数?
(适于六年级程度)
解:
因为ABC×D=1673,ABC是一个三位数,所以可把1673分解质因数,然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式,这个三位数就是ABC所代表的数。
1673=239×7
答:
ABC代表239。
例5一块正方形田地,面积是2304平方米,这块田地的周长是多少米?
(适于六年级程度)
解:
先把2304分解质因数,并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数,每组质因数的积就是正方形的边长。
2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3
=(2×2×2×2×3)×(2×2×2×2×3)
=48×48
正方形的边长是48米。
这块田地的周长是:
48×4=192(米)
答略。
*例6有3250个桔子,平均分给一个幼儿园的小朋友,剩下10个。
已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。
求这个幼儿园有多少名小朋友?
(适于六年级程度)
解:
3250-10=3240(个)
把3240分解质因数:
3240=23×34×5
接近40的数有36、37、38、39
这些数中36=22×32,所以只有36是3240的约数。
23×34×5÷(22×32)
=2×32×5
=90
答:
这个幼儿园有90名小朋友。
*例7105的约数共有几个?
(适于六年级程度)
解:
求一个给定的自然数的约数的个数,可先将这个数分解质因数,然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出,再求出它的个数即可。
因为,105=3×5×7,
所以,含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个;
含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个;
含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个。
所以,105的约数共有4+3+1=8个。
答略。
*例8把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组,使每组三个数的乘积都相等。
这三组数分别是多少?
(适于六年级程度)
解:
将这九个数分别分解质因数:
15=3×5
22=2×11
30=2×3×5
35=5×7
39=3×13
44=2×2×11
52=2×2×13
77=7×11
91=7×13
观察上面九个数的质因数,不难看出,九个数的质因数中共有六个2,三个3,三个5,三个7,三个11,三个13,这样每组中三个数应包括的质因数有两个2,一个3,一个5,一个7,一个11和一个13。
由以上观察分析可得这三组数分别是:
15、52和77;
22、30和91;
35、39和44。
答略。
*例9有四个学生,他们的年龄恰好一个比一个大一岁,他们的年龄数相乘的积是5040。
四个学生的年龄分别是几岁?
(适于六年级程度)
解:
把5040分解质因数:
5040=2×2×2×2×3×3×5×7
由于四个学生的年龄一个比一个大1岁,所以他们的年龄数就是四个连续自然数。
用八个质因数表示四个连续自然数是:
7,2×2×2,3×3,2×5
即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。
答略。
*例10在等式35×( )×81×27=7×18×( )×162的两个括号中,填上适当的最小的数。
(适于六年级程度)
解:
将已知等式的两边分解质因数,得:
5×37×7×( )=22×36×7×( )
把上面的等式化简,得:
15×( )=4×( )
所以,在左边的括号内填4,在右边的括号内填15。
15×(4)=4×(15)
答略。
*例11把84名学生分成人数相等的小组(每组最少2人),一共有几种分法?
(适于六年级程度)
解:
把84分解质因数:
84=2×2×3×7
除了1和84外,84的约数有:
2,3,7,2×2=4,2×3=6,2×7=14,3×7=21,2×2×3=12,2×2×7=28,2×3×7=42。
下面可根据不同的约数进行分组。
84÷2=42(组),84÷3=28(组),84÷4=21(组),84÷6=14(组),84÷7=12(组),84÷12=7(组),84÷14=6(组),84÷21=4(组),84÷28=3(组),84÷42=2(组)。
因此每组2人分42组;每组3人分28组;每组4人分21组;每组6人分14组;每组7人分12组;每组12人分7组;每组14人分6组;每组21人分4组;每组28人分3组;每组42人分2组。
一共有10种分法。
答略。
*例12把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组,每组四个数,要使各组数中四个数的乘积相等。
求这两组数。
(适于六年级程度)
解:
要使两组数的乘积相等,这两组乘积中的每个因数不必相同,但这些因数经分解质因数,它们所含有的质因数一定相同。
因此,首先应把八个数分解质因数。
14=2×7 143=11×13
30=2×3×5 169=13×13
33=3×11 4445=5×7×127
75=3×5×5 4953=3×13×127
在上面的质因式中,质因数2、7、11、127各有2个,质因数3、5、13各有4个。
在把题中的八个数分为两组时,应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个,质因数3、5、13各有2个。
按这个要求每一组四个数的积应是:
2×7×11×127×3×3×5×5×13×13
因为,(2×7)×(3×5×5)×(11×13)×(3×13×127)=14×75×143×4953,根据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意,因此,要求的一组数是14、75、143、4953,另一组的四个数是:
30、33、169、4445。
答略。
*例13一个长方形的面积是315平方厘米,长比宽多6厘米。
求这个长方形的长和宽。
(适于五年级程度)
解:
设长方形的宽为x厘米,则长为(x+6)厘米。
根据题意列方程,得:
x(x+6)=315
x(x+6)=3×3×5×7
=(3×5)×(3×7)
x(x+6)=15×21
x(x+6)=15×(15+6)
x=15
x+6=21
答:
这个长方形的长是21厘米,宽是15厘米。
*例14已知三个连续自然数的积为210,求这三个自然数各是多少?
(适于五年级程度)
解:
设这三个连续自然数分别是x-1,x,x+1,根据题意列方程,得:
(x-1)×x×(x+1)
=210
=21×10
=3×7×2×5
=5×6×7
比较方程两边的因数,得:
x=6,x-1=5,x+1=7。
答:
这三个连续自然数分别是5、6、7。
*例15将37分为甲、乙、丙三个数,使甲、乙、丙三个数的乘积为1440,并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12,求甲、乙、丙各是几?
(适于六年级程度)
解:
把1440分解质因数:
1440=12×12×10
=2×2×3×2×2×3×2×5
=(2×2×2)×(3×3)×(2×2×5)
=8×9×20
如果甲、乙二数分别是8、9,丙数是20,则:
8×9=72,
20×3+12=72
正符合题中条件。
答:
甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。
*例16一个星期天的早晨,母亲对孩子们说:
“你们是否发现在你们中间,大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和?
”儿子们齐声回答说:
“是的,我们的年龄和您年龄的乘积,等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。
”从这次谈话中,你能否确定母亲在多大时,才生下第二个儿子?
(适于六年级程度)
解:
由题意可知,母亲有三个儿子。
母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于:
33×1000+32×10=27090
把27090分解质因数:
27090=43×7×5×32×2
根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”,重新组合上面的质因式得:
43×14×9×5
这个质因式中14就是9与5之和。
所以母亲43岁,大儿子14岁,二儿子9岁,小儿子5岁。
43-9=34(岁)
答:
母亲在34岁时生下第二个儿子。
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