微分方程稳定性_精品文档.ppt
- 文档编号:2576633
- 上传时间:2022-11-02
- 格式:PPT
- 页数:21
- 大小:626KB
微分方程稳定性_精品文档.ppt
《微分方程稳定性_精品文档.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《微分方程稳定性_精品文档.ppt(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
,机动目录上页下页返回结束,微分方程稳定性理论简介,问题的背景,一阶方程的平衡点及稳定性,二阶方程的平衡点和稳定性,机动目录上页下页返回结束,稳定性的物理意义:
用微分方程描述的物质运动的特解密切依赖于初值,而初值的计算或测定实际上不可避免地出现误差和干扰。
如果描述这运动的微分方程的特解是不稳定的,则初值的微小误差或干扰将导致“差之毫厘,谬以千里”的严重后果。
因此,这样不稳定的解不宜作为我们设计的依据,反之,稳定的特解才是我们最感兴趣的。
机动目录上页下页返回结束,一阶方程的平衡点及稳定性,设有微分方程,
(1),方程右端不显含自变量,,称为自治方程。
代数方程,
(2),的实根,称为方程
(1)的平衡点(或奇点)。
它也是,方程
(1)的解(奇解),如果存在某个邻域,使方程
(1)的解,从这个邻域的,某个,出发,满足,(3),则称平衡点,是稳定的(渐进稳定);否则称,是不稳定的(不渐进稳定)。
判断平衡点是否稳定通常有两种方法。
利用定义即(3)式称间接法。
不求方程
(1)的解,即不利用(3)式的方法称直接法。
下面介绍直接法,只取一次项,方程
(1)近似为,(4)称为
(1)的近似线性方程,,(事实上,若记,,则(4)的一般解是,机动目录上页下页返回结束,二阶方程的平衡点及稳定性,二阶方程可用两个一阶方程表为,也为自治方程。
代数方程组,如果存在某个邻域,使方程(6)的解,则称平衡点是稳定的(渐进稳定);否则称是不稳定的(不渐进稳定)。
为了用直接法讨论方程(6)的平衡点的稳定性,先看线性常系数方程,系数矩阵记为,的根(特征根)决定。
方程(12)可写为,则特征根为,方程(9)的通解为,按稳定性的定义(8)可知,微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点,中心等类型,完全由特征根或相应的p、q取值决定。
列表如下,由表可看出,根据的正负判断平衡点稳定性的准则如下:
以上是对线性方程(9)的平衡点稳定性的结论,对于一般的非线性方程(6),可用近似线性方法判断其平衡点,只取一次项,方程(6)近似为,系数矩阵记为,特征方程系数为,显然,,决定。
且已证明了如下结论:
若方程(17)的特征根不为零或实部不为零,则,点对于方程(17)的稳定性由上表或准则(15)(16),点对于方程(6)的稳定性与对于近似方程(17)的稳定性相同,即由准则(15),(16)决定。
机动目录上页下页返回结束,最后,几点注意在事项:
(1)平衡点和稳定性的概念只是对自治方程
(1)(6)而言才有意义。
(2)非线性方程
(1)(6)的平衡点的稳定性,与相应的近似线性方程(4)(17)的平衡点的稳定性一致,是在非临界情况下,二者可以不一致。
(3)在讨论平衡点稳定性时,对初始点的要求是存在一个邻域,这是局部稳定的定义。
如果要求对任意的初始点(3)(8)式成立,成为全局稳定。
对于线性方程,局部稳定和全局稳定是等价的,对于非线性方程,二者不同。
得到的。
在临界情况下,(4)对于临界情况,和非线性方程的全局稳定,可以用相轨线分析方法讨论。
机动目录上页下页返回结束,1.1.1卫星进入600km高空轨道时,火箭必须的最低速度,首先将问题理想化,假设:
(i)卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周,卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动;。
(ii)地球是固定于空间中的一个均匀球体,其质量集中于球心;,(iii)其它星球对卫星的引力忽略不计。
机动目录上页下页返回结束,建模与求解:
设地球半径为R,质量为M;卫星轨道半径为r,卫星质量为m。
根据假设(ii)和(iii),卫星只受到地球的引力,由牛顿万有引力定律可知其引力大小为,其中G为引力常数。
为消去常数G,把卫星放在地球表面,则由
(1)式得,例4.,成正比,求,解:
根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:
得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t足够大时,机动目录上页下页返回结束,例5.有高1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度h随时间t的变,解:
由水力学知,水从孔口流出的流量为,即,求水,小孔横截面积,化规律.,设在,内水面高度由h降到,机动目录上页下页返回结束,对应下降体积,因此得微分方程定解问题:
将方程分离变量:
机动目录上页下页返回结束,两端积分,得,利用初始条件,得,因此容器内水面高度h与时间t有下列关系:
机动目录上页下页返回结束,二、内容小结,1.微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2.可分离变量方程的求解方法:
说明:
通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x及y=C,机动目录上页下页返回结束,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:
1)根据几何关系列方程(如:
P263,5
(2),2)根据物理规律列方程(如:
例4,例5),3)根据微量分析平衡关系列方程(如:
例6),
(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3)求通解,并根据定解条件确定特解.,3.解微分方程应用题的方法和步骤,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,求下列方程的通解:
提示:
(1)分离变量,
(2)方程变形为,机动目录上页下页返回结束,作业,P304.1,2,3,4,5.,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 微分方程 稳定性 精品 文档