微分方程模型1基础知识_精品文档.ppt
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微分方程模型,当我们描述实际对象的某些特性随时间(空间)而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来形态、研究它的控制手段时。
通常要建立对象的动态模型。
在许多实际问题中,当直接导出变量之间的函数关系较为困难,但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时,可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。
在研究实际问题时,常常会联系到某些变量的变化率或导数,这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系,因此,要得到直接关系,就得求解微分方程。
微分方程的实质:
实际对象的某些特性随时间(空间)而演变的过程,是一个动态模型。
作用:
1、分析它的变化规律;2、预测它的未来形态;3、研究它的控制手段。
与统计方法的区别:
机理;事件发生的数量统计规律,建立微分方程模型的方法,
(1)根据规律列方程,利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
(2)微元分析法,利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式,与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。
理学院,(3)模拟近似法,在生物、经济等学科的实际问题中,许多现象的规律性不很清楚,即使有所了解也是极其复杂的,建模时在不同的假设下去模拟实际的现象,建立能近似反映问题的微分方程,然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质,再去同实际情况对比,检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
理学院,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,常微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,求解常微分方程有三种方法:
1)求精确解;2)求数值解(近似解);3)定性理论方法。
理学院,取开关闭合时刻为0,则,故当开关闭合后,电路中的电流强度为:
(2)湖泊的污染,设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸,,这些废水流入一个湖泊中,废水流入的速率20,立方米每小时.开始湖中有水400000立方米.河水,中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时,湖泊,中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小,时,求该厂排污1年时,湖泊水中盐酸的含量。
解:
设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为,(3)(理想单摆运动)建立理想单摆运动满足的微分方程,并得出理想单摆运动的周期公式。
从图3-1中不难看出,小球所受的合力为mgsin,根据牛顿第二定律可得:
这是理想单摆应满足的运动方程,(3.1)是一个两阶非线性方程,不易求解。
当很小时,sin,此时,可考察(3.1)的近似线性方程:
由此即可得出,(3.1)的近似方程,一截面积为常数A,高为H的水池内盛满了水,由池底一横截面积为B的小孔放水。
设水从小孔流出的速度为,求在任一时刻的水面高度和将水放空所需的时间。
例1流水问题,B,A,第一步列方程,等量关系:
水面1,水面2,设时刻的水面高度为,时的水面高度为,时间由水面1降到水面2所失去的水量等于从小孔流出的水量。
是水在时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离。
初始条件,可分离变量的方程。
理学院-,第二步解方程:
水面高度与时间的函数关系,水流空所需时间为(令h=0),-理学院-,例2:
古尸年代鉴定问题,在巴基斯坦一个洞穴里,发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片,科学家把它带到实验室,作碳14年代测定,分析表明,与的比例仅仅是活组织内的6.24%,能否判断此人生活在多少年前?
背景,年代测定方法是1949年美国芝加哥大学利比(W.F.Libby)建立的,是考古工作者研究断代的重要手段之一。
-理学院-,宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核,引起核反应而生成具有放射性的。
从古至今,碳不断产生,同时其本身又在不断的放出射线而裂变为氮。
大气中处于动态平衡状态,经过一系列交换过程进入活组织内,直到在生物体内达到平衡浓度,即在活体中,的数量与稳定的的数量成定比,生物体死亡后,交换过程停止,放射性碳便按照放射性元素裂变规律衰减。
基本原理,从星际空间射到地球的射线,-理学院-,C14的蜕变规律C14是一种由宇宙射线不断轰击大气层,使大气层产生中子,中子与氮气作用生成的具有放射性的物质。
这种放射性碳可氧化成二氧化碳,二氧化碳被植物所吸收,而植物又作为动物的食物,于是放射性碳被带到各种动植物体内。
C14是放射性的,无论在空气中还是在生物体内他都在不断衰变,这种衰变规律我们可以求出来。
通常假定其衰变速度与该时刻的存余量成正比。
-理学院-,裂变速率与剩余量成正比。
c14=1/8000,设在时刻t(年),生物体中C14的存量为x(t),生物体的死亡时间记为t0=0,此时C14含量为x0,由假设,初值问题的数学模型为:
已知:
c14=1/8000,-理学院-,解为,规律:
裂变速率与剩余量成正比。
1972年发掘长沙市东郊马王堆一号汉墓时,对其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳-C14的量约为大气中的0.7757倍,采用该方法计算得该墓距离今天有2130年左右。
通过历史文献考证,该古墓的年代为西汉早期,约在2100年前,两者符合得很好。
思考:
如何求半衰期?
代入,得,由c14=1/8000可得碳14的半衰期为,5568年,-理学院-,思考:
假设已知C14的半衰期,不知道物质中C14的数量,可以测出单位时间衰变放射出的C14分子数,如何确定生物体的年龄?
由:
可得:
即:
由于x(0),x(t)不便于测量,我们可把上式作如下修改.,-理学院-,将上式代入,可得:
这样由上式可知,只要知道生物体在死亡时体内C14的衰变速度和现在时刻t的衰变速度,就可以求得生物体的死亡时间了,在实际计算上,都假定现代生物体中C14的衰变常数与生物体死亡时代生物体中C14的衰变常数相同。
-理学院-,马王堆一号墓年代确定的第二种方法,马王堆一号墓于1972年8月出土,其时测得出土的木炭标本的C14平均原子蜕变数为29.78/s,而新砍伐木头烧成的木炭中C14平均原子蜕变数为38.37/s,又知C14的半衰期为5568年,这样,我们可以把,代入,得,年,这样就估算出马王堆一号墓大约是在2000多年前的西汉时代。
任何生物体内都含有一定量的碳14。
当生物活着的时候,它不断和外界进行物质交换,所以生物体内碳14的含量和自然界中碳14的含量是相平衡的。
可是,一旦生物死亡,就不再与外界进行物质交换,他们体内的碳14就不断减少,并且得不到任何补充。
由于碳14是放射性碳,它的半衰期为5730年,所以每过5730年放射性碳原子数目就减少一半。
自然界没有任何力量可以使这个过程减慢或加快,于是测定它在有机体残骸中的含量,就可以准确地确定生物体死亡的年龄。
美国化学家李比,根据碳14的这一特性,创立了一种崭新的化学分析法放射性碳14断代法。
由于这种方法应用广泛,准确无误,具有重大的科学价值,因此,他于1960年获得了诺贝尔化学奖。
-理学院-,例3范.梅格伦(VanMeegren)伪造名画案,第二次世界大战比利时解放后,荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者,发现一名三流画家H.A.Van.Meegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇,于1945年5月29日以通敌罪逮捕了此人。
Van.Meegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益,所有的油画都是自己伪造的,为了证实这一切,在狱中开始伪造Vermeer的画耶稣在学者中间。
当他的工作快完成时,又获悉他可能以伪造罪被判刑,于是拒绝将画老化,以免留下罪证。
-理学院-,为了审理这一案件,法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组,采用了当时最先进的科学方法,动用了X-光线透视等,对颜料成份进行分析,终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。
这样,伪造罪成立,Vanmeegren被判一年徒刑。
1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。
但是,许多人还是不相信其余的名画是伪造的,因为,Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差,所找理由都不能使怀疑者满意。
直到20年后,1967年,卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。
-理学院-,原理,著名物理学家卢瑟夫(Rutherford)指出:
物质的放射性正比于现存物质的原子数。
设时刻的原子数为,则有,为物质的衰变常数。
初始条件,-理学院-,半衰期,碳-14,铀-238,镭-226,铅-210,能测出或算出,只要知道就可算出,这正是问题的难处,下面是间接确定的方法。
断代。
-理学院-,油画中的放射性物质,白铅(铅的氧化物)是油画中的颜料之一,应用已有2000余年,白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭(Ra226)。
白铅是由铅金属产生的,而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。
当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时,Pb210的绝大多数来源被切断,因而要迅速衰变,直到Pb210与少量的镭再度处于放射平衡,这时Pb210的衰变正好等于镭衰变所补足的为止。
-理学院-,(无放射性),-理学院-,假设,
(1)镭的半衰期为1600年,我们只对17世纪的油画感兴趣,时经300多年,白铅中镭至少还有原量的90%以上,所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数,用表示。
(2)钋的半衰期为138天容易测定,铅210的半衰期为22年,对要鉴别的300多年的颜料来说,每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。
-理学院-,建模,设时刻每克白铅中含铅210的数量为,,为制造时刻每克白铅中含铅210的数量。
为铅210的衰变常数。
则油画中铅210含量,-理学院-,变化的数学模型为:
求解,均可测出。
可算出白铅中铅的衰变率,再于当时的矿物比较,以鉴别真伪。
矿石中铀的最大含量可能23%,若白铅中铅210每分钟衰变超过3万个原子,则矿石中含铀量超过4%。
-理学院-,测定结果与分析,-理学院-,若第一幅画是真品,,铅210每分钟每克衰变不合理,为赝品。
同理可检验第2,3,4幅画亦为赝品,而后两幅画为真品。
Emmaus的信徒们,-理学院-,此例的含义:
1、微分方程模型的作用;2、模型假设与简化的作用。
碳定年代法的不足现在,C14年代测定法已受到怀疑,在2500-10000年前这段时间中与其他断代法的结果有差异。
1966年,耶鲁实验室的MinzeStuiver和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的HansE.Suess在一份报告中指出了这一时期使C14年代测定产生误差的根本原因。
在那个年代,宇宙射线的放射强度减弱了,偏差的峰值发生在大约6000年以前。
这两位研究人员的结论出自对Brist/econe松树所作的C14年代测定的结果,因为这种松树同时还提供了精确的年轮断代。
他们提出了一个很成功的误差公式,用来校正根据C14断代定出的2300-6000年前这期间的年代:
真正的年代=14C年1.4900。
42,例4、人口模型,1.问题的提出2.假设和定义3.模型的建立4.分析和求解5.结论和讨论,43,1.问题的提出,人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一,一些发展中国家的人口出生率过高,越来越威胁着人类的正常生活,有些发达国家的自然增长率趋于零,甚至变为负数,造成劳动力紧缺,也是不容忽视的问题。
另外,在科学技术和生产力飞速发展的推动下,世界人口以空前的规模增长,统计数据显示:
44,我国是世界第一人口大国,地球上每九个人中就有二个中国人,在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快,如下表:
认识人口数量的变化规律,建立人口模型,作出较准确的预报,是有效控制人口增长的前提。
下面介绍两个最基本的人口模型:
Malthus模型、Logistic模型,45,2.模型1(Malthus模型)18世纪末,英国人Malthus在研究了百余年的人口统计资料后认为,在人口自然增长的过程中,净相对增长率(出生率减去死亡率为净增长率)是常数。
46,47,48,49,r=0.2743/10年,xm=4.188,数据拟合:
r=0.2022/
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