微分方程基本理论_精品文档.ppt
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一、一阶线性微分方程的解,二、二阶线性微分方程的解,微分方程基本理论,一阶线性微分方程的标准形式:
上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,作变换,2.线性非齐次方程,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:
对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例1,二阶线性微分方程解法,二阶微分方程形式如下,y+p(x)y+q(x)y=f(x),称为二阶线性微分方程,简称二阶线性方程.,f(x)称为自由项,当f(x)0时,称为二阶线性非齐次微分方程,,当f(x)恒为0时,称为二阶线性齐次微分方程,,定理1如果函数y1与y2是线性齐次方程的两个解,,y=C1y1+C2y2,仍为该方程的解,,其中C1,C2是任意常数.,则函数,定理2如果函数y1与y2是二阶线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个线性无关的特解,,则,y=C1y1+C2y2,是该方程的通解,,其中C1,C2为任意常数.,
(1).一阶常系数线性非齐次方程的解法,定理3如果函数y*是线性非齐次方程的一个特解,,y=Y+y*,,是线性非齐次方程的通解.,Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解,,则,二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法,其步骤是:
(1)写出所给方程的特征方程;,
(2)求出特征根;,(3)根据特征根的三种不同情况,写出其通解.,1特征方程具有两个不相等的实根r1与r2,,2特征方程具有两个相等的实根,,通解为,即,通解为,3特征方程具有一对共轭复根r1=a+ib与r2=aib.,通解为,
(2).二阶常系数线性非齐次方程的解法,1自由项f(x)为多项式Pn(x).,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=Pn(x),其中Pn(x)为x的n次多项式.,当原方程中y项的系数q0时,k取0;,当q=0,但p0时,,k取1;,当p=0,q=0时,k取2.,因为方程中p、q均为常数且多项式的导数仍为多项式,,所以可设式的特解为,其中Qn(x)与Pn(x)是同次多项式,,2自由项f(x)为Aeax型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=Aeax,,其中a,A均为常数.,由于p,q为常数,且指数函数的导数仍为指数函数,,其中B为待定常数,,当a不是式所对应的线性齐次方程的特征方程r2+pr+q=0的根时,取k=0;,当a是其特征方程单根时,取k=1;,当是其特征方程重根时,取k=2.,因此,我们可以设的特解,3自由项f(x)为eax(Acoswx+Bsinwx)型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=eax(Acoswx+Bsinwx),,其中a,A,B均为常数.,由于p,q为常数,且指数函数的各阶导数仍为指数函数,,正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数,,因此,我们可以设有特解,其中C,D为待定常数.,取k=0,,是根时,,取k=1,,代入式,求得C及D.,当a+wi不是式所对应的齐次方程的特征方程的根时,,
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