精品有理数加减混合运算.docx
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精品有理数加减混合运算.docx
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精品有理数加减混合运算
教学设计
第1课时
教学重点与难点
教学重点:
1.含有分数或小数的有理数加减运算.
2.有的题目可以先写成省略括号的和的形式再计算.
3.还有的题目可以先将加减运算统一成加法,再按照加法法则计算.
教学难点:
1.感受算法的多样化,并选择好适合自己思维特点的某种方法.
2.用加减法列出算式解决生活中的实际问题.
学情分析
认知基础:
学生在前面几节课中已经学习过有理数的加法、减法的法则,并利用它们解决了一些简单的实际问题,但前面的运算多为整数运算不含分数或小数的运算,且多为单纯的加法或减法运算,而很少有加法、减法的混合运算.同时在本章前面的数学学习中学生已经具备了一定的运算技能,这些为本节课的学习作了很好的知识准备.
活动经验基础:
前面所学的内容虽然比较单一,但是即使是一道加法计算题,往往也有不同的算法,而且有的算法明显比较简捷.例如学生们在计算同一道题时,有的同学算的特别快,而有的同学就要算很长时间.这种差异,使得算得快的同学有优越感,算得慢的同学有渴望互相交流方法的好奇心.这些体验都成为开展本节课学习的积极因素.
教学目标
1.使学生理解有理数的加减法可以转化为加法,并感受、体会“代数和”的思想(不必出现名称).
2.能熟练正确地进行包括小数或分数的加减混合运算.
3.培养学生的数感,提高计算能力和步步有据的推理能力.
教材处理
本节重在让学生感受算法的多样化,是先写成省略括号的和的形式再计算好呢?
还是先将加减运算统一成加法,再按照加法法则计算好.至于如何选择要“因题因人”而异,教师要给学生创造讨论的机会,多提供些有多种算法的题目.教师在处理时切不可做简单的硬性规定.这样不但扼杀了学生的创造性,还容易养成学生不爱思考,“只等着教师来告诉我”的懒惰的思维方式,还会使学生学习数学的兴趣越来越小.
教学方法
本节宜采用“探究”法.本节课的知识点是在学生已有解题经验并结合创设的问题情境,由学生自主讨论、分析出来的,是学生在前面学习过程中产生的一种自发的渴望交流的需求,然后由教师补充和纠正,最后再由学生归纳得出的.即使学生说错,教师也不包办、不代替,只是进行补充和纠正.
教学过程
一、巧妙设疑,复习引入
设计说明
教师通过设置问题串,层层设疑,引导学生全面观察、审视自己所学过的知识,自主发现学习的新领域,既复习旧知,作好新知学习的铺垫,同时也不断激发学生对新课的好奇心,从而自然引入新课.
问题1:
有理数的定义是什么?
学生回答出“整数和分数统称有理数”,在此基础上,教师再进一步针对已学过的题目特点提出问题2.
问题2:
请翻阅教材第4节和第5节的内容,这些题目中的数字是哪种数?
这是他们第一次从这个角度进行观察,教师紧接着点出本节课的学习要点,不少学生会产生极大的新鲜感.
今天我们就来学习包括小数和分数的有理数加减混合运算,先入为主直接点出本节课的重点.
问题3:
口答下列各题,并说明计算的依据:
(1)12.5-(-0.3);
(2)
-
;(3)
-
;(4)-2.25+
;(5)
+
;(6)
-
;(7)-11.5+4.5.
教学说明
问题1从基本概念入手分析,使学生对“有理数的加减混合运算”有一个全面的认识,而不是仅仅局限于整数范围.然而在回答这个问题时,很可能有一部分学生一时想不起有理数的定义了,那可以采用多提问几个同学,多出现几种答案,然后再查阅教材原文,甚至可以全班齐读定义等方法,通过多次感知和重复加深理解、记忆.如果课堂上真出现这种情况,那就更说明学生对于基本概念的掌握是不扎实的,是需要强化的.另外,强调这个概念还因为初一的学生的数感本身就是不够完善的,很多学生存在着“数”=“整数”,甚至于“数”=“正整数”这样的错误认识,因此我们要多为学生创造一些正确理解有理数的教学情境或者机会.
问题2是让学生在明确了有理数的概念之后,通过教材的实例感受所学过的题型是不全面的.学生需要认真地观察一会儿,就能发现之前教材上的所有题目中的数字都是整数,更能激发学生的好奇心.
问题3这组题是为了让学生的思维在减法与加法之间多次反复,对某些思想懒惰易形成思维定势的学生来说,减去一个数等于加上它的相反数用的多了,看见加法就会创造出“加上一个数就等于减去它的相反数”这样的算法,而且这样的学生并不少见.这组题是将教材中计算重新编排而成,学生在口答过程中说对答案的不在少数,能说清算理的人就不多了,可见有时学生能算对数可能只是初步的感性认识,是模糊的.通过这样交替进行的说与算的思维训练,为后面多步复杂的综合计算夯实基础.
二、初步感知
1.问题引入
阅读教材中的游戏题.学生经过交流,分组展示小丽和小彬所抽到的卡片并计算.
2.巩固新知
计算下列各题,说明最后一步的算理:
(1)(-3.5)+
+
;
(2)
+15.5+
;
(3)4.7-3.4-(-8.5);(4)0-
-
+
.
教学说明
本环节设计的问题引导学生经历了两个过程.
第一个环节,问题引入部分的两个设问可以设计为让学生分小组进行讨论.这是本节课上学生第一次分组讨论的问题,也是难点问题.
第二个环节,先由三位同学板书,其他同学写在练习本上.无论采用哪种方法学生都有出错的可能,学生易错点的原因是由于算理模糊、不够熟练,为了避免这些错误,运算结果是否正确都要求讲明最后一步的算理,再由同组的另一位同学更正,加深全班同学的认识.这就完成了“模仿熟练”的过程,为下一步的“提炼方法”奠定基础.学生在本节课的探究过程中,说清算理是学法中的重要措施,也是突破难点
(2)的重要手段.而且第
(2)题还可以用来渗透结合律简化运算的技巧,为第二课时的内容作好铺垫.
至此,本节课由复习引入到初步感知两个教学部分,充分展示了学生从“发现新知”到“模仿熟练”再到“提炼方法”的思维过程,同时辅以“说理训练”夯实了基础,确保学生能明明白白地做对题目,突破本节课的难点.
三、延伸拓展
设计说明
运用数学知识处理带有实际背景的问题,需要有较强的抽象思维能力和建模的数学思想,所以这类问题一直属于难点题型.通过以下两个练习训练学生以上能力.
练习1:
教材中 习题2.7问题解决2.
练习2:
北京某出租车司机小李某天营运全是在长安大街上进行的,如果规定向东为正,向西为负,他这天的行车里程(单位:
千米)如下:
15,-2,5,-1,10,-3,-2,12,4,-5,6.
(1)将最后一名乘客送到目的地时,小李距离出车时的出发点有多远?
(2)若汽车耗油量为a千克/千米,这天小李的车共耗油多少千克?
解:
(1)由题意可得:
15-2+5-1+10-3-2+12+4-5+6=39(千米).
(2)将以上各数的绝对值相加得65千米,耗油量为65a千克.
教学说明
本环节的处理不能仅仅停留在就题论题的层面上,教师应该有意识地向学生渗透建模的数学思想以及处理这类问题的思维方法,这样才能逐渐的培养学生的逻辑思维.大体方法是这样的:
1.审题,具体的就是弄懂题目中有关的数字所代表的实际意义.
2.根据题目要求,将有关的数字运用数学知识进行重新组合(列算式或列方程或列函数关系式等等),这就是建模的过程.
3.解决这个数学问题.
练习2的难度就比较大,它很好地体现了“代数和”与“绝对值的和”在实际意义上的不同,有利于学生更生动形象地理解数学定义.具体处理时方法和前面一样,要注意思维的条理性,培养逻辑思维能力和建模的数学思想.
四、总结反思,提炼方法
有理数加法的计算可以通过省略加号和括号的方法以及转化成加法直接计算,要让学生知道如何选择解题方法,在考虑自己解题特点的同时也要受题目客观条件的影响.体现因题因人而异的优选法.
问题1:
你认为自己做计算题时,比较适合用哪种方法?
问题2:
你认为什么样的题目适合用省略加号和括号的方法计算?
问题3:
解决实际问题时,应该怎样做?
评价与反思
1.深挖教材,尽可能的为学生体会算法多样化创造适宜的问题情境,为此进行了教材原题的变式处理.
2.“说理训练”夯实了基础,确保学生能明明白白地做对题目,突破本节课的难点.
第2课时
教学重点与难点
教学重点:
1.进一步熟练含有分数或小数的有理数加减运算.
2.正确地使用运算律(加法交换律、结合律)达到简化计算的目的.
教学难点:
1.正确地使用运算律(交换律、结合律).
2.用加减法列出算式解决生活中的实际问题.
学情分析
认知基础:
上一节课学生已经学习了有理数的加减混合运算,初步接触了含有小数或分数的有理数的加减混合运算,知道加减混合运算可以统一成加法进行运算,也可以写成“代数和”的形式直接计算,但是都还不够熟练.本节课的教学重点和难点都需要用加法交换律、结合律简化计算,但这有一个前提就是“加法”才能用运算律,“减法”是不能用运算律的.这就要求在使用运算律之前先统一成加法进行运算,而不是“代数和”的形式.但这并不与第一课时矛盾,待学生计算熟练后就能更深刻地理解“代数和”,不转化成加法的形式也可以连同它的符号一起交换位置或结合.这种高度熟练的计算能力不是一节课就能达到的,需要反复练习,多次感悟.
活动经验基础:
对于运算律的使用学生并不陌生,在小学时就接触过,但是随着数域的扩张,如何在有负数参与的混合运算中运用加法交换律和结合律,学生还是感到茫然并缺少办法,甚至有些接受能力较差的学生对有负数参与的计算心里发憷毫无自信.这些活动体验也可能成为开展本节课学习的积极因素,如果设计不好也有可能成为消极因素.为了不让这部分学生掉队,同时对单纯的运算产生厌烦情绪,教材设计了游戏背景是很有必要的.
教学目标
1.根据具体问题,适当运用运算律简化运算.
2.能熟练、正确地进行包括小数或分数的加减混合运算.
3.进一步培养学生的数感(对“代数和”的理解也是数感),提高计算能力和步步有据的推理能力.
教材处理
基于对“活动经验基础”的分析,第二课时的处理形式宜活不宜死,重在让学生感受一种轻松有趣的学习氛围,来弥补知识的枯燥与乏味.上一课时教师不要太关注学生计算的结果是否正确,而应该多关注学生解决问题的策略是否正确、解决问题的过程是否简捷.这是培养学生数感、提高计算能力和推理能力极好的教学素材.变“默默”的算,为“热烈”的说(说算法、说算理),活跃课堂、提高兴趣,改变传统的教学模式.
具体来说,第一个层次是先化成加法,再使用运算律简化计算;第二个层次是写“代数和”,直接用运算律简化计算,但是在第二个层次的处理过程中,一定要强调交换加数位置时带着前面的符号.
教学方法
本节宜采用“合作交流”的教学方法.以教材提供的游戏为问题背境,结合本班学情,通过适当的变式,丰富游戏内容,增强竞争意识.借助学生与学生之间思维上、水平上的差异,充分发挥学生之间自发的互相学习、交流的需要,以达到共同提高的目的.教师的作用除了要做好引导者之外,还要适时地提醒学生及时总结解题规律,必要时还可以要求学生记录有关的规律或技巧.
教学过程
一、回顾旧知,直击重点
设计说明
教师通过两道来自于小学数学教材上的计算题,引导学生回忆原有知识基础,学生有亲切感和熟悉感,不至于让学生从课的一开始就产生畏难情绪,从而自然引入新课.
问题1:
计算:
(1)3+8+87+2;
(2)
+
-2+
+
.
大多数学生能正确得出结果:
100和3.
问题2:
计算:
(1)-3+8-87-(-2);
(2)
-
-2+
-
.
能够做对的学生明显减少,答案是-80和0.
问题3:
上面两组题,在解题过程中有什么共同特点或者是解题技巧吗?
也许有的同学并没有把四个题目都做对,但是这不影响他感受运算律在解题过程中发挥的重要作用,从而直击本节课的重点:
用运算律简化计算.
教学说明
以上三个问题的设计体现了处理本节课教学重点的三个层次.
问题1起点低,大多数学生不但没有困难感,还感到亲切和熟悉,对本节课即将学习的知识和方法不会有距离感,有利于树立自信心,而且是从整数和分数两个方面全面回顾小学已有的计算,再次体现“整数和分数统称有理数”这一重要定义.解决问题时一个是依据“凑整”的方法运用运算律,一个是依据“同分母先计算”的方法运用运算律,这些方法是学生完全可以想到的,但是在课堂上仍然有必要让学生将以上思考过程说出来,以此代替教师的讲解,效果比教师讲解要好.
问题2是问题1的变式,将题目中个别的正数替换为负数,自然地过渡到本节课的重点上,有一小部分悟性较好的学生几乎可以“无师自通”了.大部分学生可能需要时间想一想,但是在上一题的铺垫下,也能够有解题思路,不至于毫无想法.在更正解题方法时,完全可以发挥那部分“无师自通”的学生的积极性.一来可以满足他们的表现欲,同时可以激发其他同学的上进心;二来可以了解究竟他们是不是真的“无师自通”,他们的思维过程中有没有瑕疵,不管有没有都是教育他们的好机会.
问题3是引导学生进行一次小结,同时点出用运算律简化计算这一主题.这样开门见山、直击重点的引入方法,可以利用先入为主的思维特点,直奔主题、加深印象.
通过三个问题的处理,主题已明确,但形式略显平庸,趣味性稍差,因此在后面的教学中要注意进行调整,否则学生的新鲜感和挑战性一旦丧失,极有可能产生注意力不集中的现象,而本节课的学习才刚刚开始.
二、探索发现、突破重点
1.问题引入
阅读教材中“一架飞机进行特技表演,……”的内容,并在此基础上提出两个问题:
问题1:
比较两个算式有何不同?
问题2:
你认为哪种计算起来更简便?
为什么?
2.实例变式
将“飞机”改为“潜水艇”,将高度改为:
高度变化
记作
下降33.1米
-33.1米
下降22.9米
-22.9米
上升10.5米
10.5米
下降12.5米
-12.5米
求:
潜水艇最后的高度.
列出算式:
-33.1+(-22.9)+10.5+(-12.5)和-33.1-22.9+10.5-12.5分别进行计算并比较.
问题1:
再次比较两个算式有何不同?
问题2:
你认为哪种计算起来更简便?
为什么?
教学说明
本环节设计的问题引导学生经历了两个过程.
第一个环节,问题引入部分的两个设问可以设计为让学生分小组进行讨论.这是本节课上学生第一次分组讨论的问题,也是难点问题,对于第
(1)问有的学生只能观察出:
两个算式一个书写复杂一个书写简单;还有的同学能够指出第二个算式比第一个算式省略了加号和括号.此时教师应指出,第二种认识比第一种更深刻更有意义,同时强调这种变形在今后的解题过程中会经常用到.对于第
(2)问经过计算、说理讨论的结果会呈现出一边倒的情况,因为飞机的高度不可能出现负数,除非它能入地,方法二计算起来出现较大正数减较小正数的情况,当然很简单.没有体现出两个负数相加省略加号后的典型易错题,这样就使得两种算法的比较不公平,因此我又补充了一个变式.
三、回归教材,巩固拓展
设计说明
教材是学习的根本,中考试题的原型都出自教材,学透教材里的典型例题是教学的根本,有些教师在教学中一味追求题海战术、难题战术都是舍本逐末的错误做法.拓展学生的视野是有前提的,就是要先落实好教材内容.补充的题目不应是教材内容的重复,应该是填补教材设计的空白或有益的提升.
1.处理例题(教材中的例2)
可引导学生思考:
还可以怎样计算?
2.补充例题
一只跳蚤在一条直线上从任意点O开始,第一次向右跳了1个单位长度,紧接着第二次向左跳了2个单位长度,第三次向右跳了3个单位长度,第四次向左跳了4个单位长度……依此规律跳下去,当它跳第100次落下时,落点处距O点的距离是__________个单位长度.
解:
由题意可列算式1-2+3-4+5-6+……+99-100
=(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+(99-100)
=(-1)+(-1)+(-1)+……+(-1)=-50.
答:
距离O点50个单位长度.
教学说明
本环节设计的两个问题目的明确,一个是巩固,一个是拓展.
有了前面游戏环节的铺垫和上节课后的预习,例2完全可以先让学生自己独立完成,不必由教师讲解.在学生做题的过程中教师要进行观察、巡视,及时发现学生中好的做法和典型错误.然后可以有针对性地挑选几名方法各不相同、答案有对有错的同学板书,请下面的其他同学对这几种不同的做法进行评价.引发学生之间的讨论交流,为学生之间的互相学习提供一个平台.最终,由教师点出应该学习、值得推广的方法和需要引以为戒的地方.
补充例题的选取意在体现对实际问题的重视和特殊题型特殊对待的方法.这道题把数轴的知识和加减混合运算结合在一起,但是在计算时既不能用“凑整法”结合又不适合用“同号”结合.而是要发现题中隐含的规律,不能蛮算.实际问题的处理在上一课时已经提到,这里就不再赘述了.
四、回顾方法,课堂小结
1.具有“能凑整”、“同分母”、“同号的”加数要结合;既有分数又有小数形式的题目要先统一形式;如果省略了加号和括号时交换加数位置一定要带着它前面的符号.一般思路是先选定要结合的对象,再使用交换律交换加数的位置.
2.通过本节课的学习,你掌握的比较差的内容是什么?
大多数学生都会说出使用加法交换律和结合律时符号位置的变化是最拿不准的,教师可以借此机会再次强调对代数和的理解.
3.你印象最深刻的解题方法是什么?
运用运算律简化计算往往能大大缩短计算时间还能提高计算准确律.
评价与反思
以小组为单位的学习活动和效果教师似乎感受不到,总是不放心.也有的教师认为小组合作使学生怀着较高的热情参与,而普通的习题课达不到这种投入的效果,也许是少练了几道题,但是每道题的印象却来得更深刻.我个人觉得两种说法都有道理,实际操作起来因具体情况而异吧.
第3课时
教学重点与难点
教学重点:
运用有理数及其加法、减法的有关知识,解决简单的实际问题,体会数与现实生活的联系.
教学难点:
根据实际问题,建立数学模型,体会数学与现实生活的联系.
学情分析
认知基础:
学生通过上几节课的学习对有理数的加减混合运算已经很熟练,对有理数与生活的联系已经有了初步的认识,具有了一定探究能力和合作交流的习惯.初步具备了有条理地思考与表达的能力,为本章的深入学习奠定了基础.
活动经验基础:
在小学阶段学生已经初步了解了处理数据的方法,会分析条形统计图、折线统计图,会画简单的条形统计图、折线统计图;通过上几节课的学习学生具有了一定的探索能力和合作交流的习惯,以及能够用数学的有关知识去解决生活中的问题的意识和能力.
教学目标
1.熟悉在水位变化过程中出现的量,进一步加深对有理数意义的理解,巩固用有理数表示实际生活中的量;能用折线统计图、条形统计图描述实例的变化过程.
2.能综合运用有理数及其加法、减法的有关知识,解决简单的实际问题,体会数学与现实生活的联系.
3.通过师生之间的相互交流、探讨,培养学生理论联系实际的观点,提高解决实际问题的能力;经历观察、操作、想象、推理、交流等活动,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程;进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力.
4.使学生在积极参与探索、交流的数学活动中,体验数学与实际生活的密切联系,激发学生的求知欲,感受与他人合作的重要性.
教学方法
通过创设情境,以问题为载体给学生提供探索的空间,引导学生积极探索,指导学生自主探索学习活动过程,在探索中提高分析问题解决问题的能力.
教学过程
一、创设情境,谈话导入
设计说明
教师通过组织学生观看有关汛期的图片,以调动学生的积极性.让学生感受汛期水位的变化,从而引出课题——水位的变化.
利用多媒体组织学生观看有关汛期的图片,最近几年,每到夏天某些地区经常发洪水,研究水位的变化有利于人们作出预测,采取有效措施,减少伤亡和损失.这节课就是让我们根据水位记录情况,研究处理这些数据.在报道这些险情时,我们经常听到一些和水位有关的词,请你说出都有哪些?
二、探究新知,讲授新课
1.达标导学,初探新知
教师根据前面学生的回答,板书出:
最高水位、警戒水位、平均水位、最低水位等,再集中集体的智慧把这几个名词弄懂,以方便进行下一个活动.
2.建立数学模型,解决数学问题
设计说明
水位每天都在变化,可以通过观察和计算水位变化的相关数据判断水位的涨落情况,并把警戒水位作为判断防汛安全与危险的水位标准;学生进行自主探索和合作交流,逐步解决问题.师生释疑,突破难点,引导学生自主地从事观察、估算、验证等数学活动,使学生形成对数学知识的理解和有效的学习策略.
(1)自主探索:
完成教材中的问题
(1)、(3)
在学生理解了各量的含义后,组织学生分组讨论教材中的问题
(1).学生回答后继续提问:
若取流花河的平均水位为零,那么其最高水位、警戒水位、最低水位又分别记作什么?
师生互相交流怎样解决教材
(1)中的四个问题.
然后学生独立解决问题
(2),完成后互相交流各自的结果是否正确.
学生通过观察进行估算:
哪天的水位最高,哪天的水位最低,与上周六相比,水位是上升还是下降,学生的意见可能不一致,这时学生可以运用有理数的加减混合运算来求出与上周六水位的高低.还可以求出这一周每天的具体水位得出结论.
星期二的水位最高,星期一的水位最低,它们都位于警戒水位之上,与警戒水位距离分别为1.01米,0.2米.
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位记录/米
33.60
34.41
34.06
34.09
34.37
34.01
34.00
教学说明
很多实际问题可以转化为有理数的加减混合运算来解决,根据需要可以“人为”地规定零点.当把取流花河的警戒水位为零改为取流花河的平均水位为零时,其他数据的记法变了,数据所表示的含义不变,这就看在实际问题中需要什么.教学时让学生先讨论每一问是如何得到的,通过交流让学生选择适合自己的方法,教师应鼓励学生先进行估算,再进行精确计算.通过精确计算,学生会发现最低的水位是在星期一,为+0.2米,最高水位在周二,为+1.01米.与学生的估计有不同时,让学生分析问题出在哪,先明确怎样做后再做,减少出错几率,使学生对数学知识进行充分的理解和形成有效的学习策略.个别学生可能没有看清,表中正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降;同时注意引导学生通过解题过程体会在解题时用到了哪些知识点;教学时教师注意巡视发现学生出现的问题及时纠正.先让学生交流的目的也是起到互相提醒.
(2)整理数据
设计说明
在此过程,让学生体验图形是有效地描述现实世界的重要手段,认识到数学是解决现实世界问题的重要工具.
问题:
除了小学我们学过统计图,处理这些信息还可以选择什么样的统计图,能让我们清晰有效地描述并分析数据,以致最终做出合理的判断?
让学生就教材的第(4)个问题进行思考后讨论,为什么教材用折线统计图来描述.
学生很容易回答出,折线统计图不但可以表示数量的多少,还能清楚地表示出增减变化的情况,像本题水位的变化选择用折线统计图较好.
复习:
在画折线统计图时要有哪些步骤?
学生通过分析回顾得出在画折线统计图时要写清标题,原点表示警戒水位,横轴、纵轴分别表示什么,每一个格代表多少等.
教学说明
画折线统计图是这一环节中的难点,在描点时要注意是变化后的数据,而不是变化前的数据,教学时提醒学生看清题目要求,独立完成,然后大家互相交流,交流画图时的心得,让学生互相欣赏所画的图形,在此过程中有什么失误,是如何造成的,今后需要怎样加强,重点是让学生说一说用各种表示水位变化的方式有什么优势和不足,并尝试在今后的学习中使用它们.
三、拓展训练,熟练技能
例1“十一”黄金周期间,我市某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数,负数表示比前一天少的人数):
日期
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
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- 关 键 词:
- 精品 有理数 加减 混合 运算