弹性力学--等截面直杆的扭转_精品文档.ppt
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第十章等截面直杆的扭转,要点:
(1)等截面直杆扭转问题的基本方程,扭转应力函数,
(2)按应力求解扭转问题的方法,(3)扭转问题的薄膜比拟理论,10-1扭转问题中应力和位移,10-2扭转问题的薄膜比拟,10-3椭圆截面的扭转,10-4矩形截面杆的扭转,10-5薄壁杆的扭转,10-6扭转问题的差分解,主要内容,10-1扭转问题中应力和位移,问题:
(1)等截面直杆,截面形状可以任意;,
(2)两端受有大小相等转向相反的扭矩M;,求:
杆件内的应力与位移?
1.扭转应力函数,求解方法:
按应力求解;,半逆解法,(3)两端无约束,为自由扭转,不计体力;,材料力学结果:
(1),(自由扭转),
(2),侧表面:
(10-1),扭转问题的未知量:
为三向应力状态,且不是轴对称问题。
由材料力学中某些结果出发,求解。
扭转问题的基本方程,平衡方程:
(8-1),将式(10-1)代入,得:
(a),扭转问题的平衡方程,相容方程:
相容方程:
(9-32),扭转问题的相容方程,(c),边界条件:
(1)侧面:
(2)端面:
(n=0,),(b),(d),(e),(f),(a),(b),扭转问题的相容方程,平衡方程,基本方程的求解,由式(a)的前二式,得,二元函数,由式(a)的第三式,得,由微分方程理论,可知:
一定存在一函数(x,y),使得:
于是有:
(10-2),(x,y)扭转应力函数,也称普朗特尔(Prandtl)应力函数,将式(10-2)代入相容方程(b),有,(10-3),由此可解得:
用应力函数表示的相容方程,式中:
C为常数。
结论:
等直杆的扭转问题归结为:
按相容方程(10-3)确定应力函数(x,y),然后按式(10-2)确定应力分量,并使其满足边界条件。
定解条件边界条件,
(1)侧表面:
将、l、m代入上述边界条件,有,又由式(10-2),应力函数差一常数不影响应力分量的大小,,表明:
在杆件的侧面上(横截面的边界上),应力函数应取常数。
(10-4),扭转问题的定解条件之一。
对于多连体(空心杆)问题,在每一边界上均为常数,但各个常数一般不相等,因此,只能将其中的一个边界上取s=0,而其余边界上则取不同的常数,如:
于是对单连体(实心杆)可取:
Ci由位移单值条件确定。
(2)上端面:
由圣维南原理转化为:
(c),(d),(e),对式(c),应有,同理,对式(d),应有,对式(e):
分部积分,得:
同理,得:
将其代入式(e):
得到:
(10-5),结论:
等直杆的扭转问题归结为解下列方程:
(10-3),泛定方程:
定解条件:
(10-4),(10-5),应力分量:
应力函数法,(10-5),对多连体情形,有,其中:
分别为第i个内边界上的值和第i个内边界所围的面积。
2.扭转的位移与变形,由物理方程,得:
再几何方程方程代入,有,(f),积分前三式,有,代入后三式,有,又由:
得:
从中求得:
代入f1、f2和u、v得:
其中:
u0、v0、x、y、z和以前相同,代表刚体位移。
若不计刚体位移,只保留与变形有关的位移,则有,(10-6),将其用极坐标表示:
由,将式(10-6)代入,有:
由此可见:
对每个横截面(z=常数),它在xy面上的投影形状不变,而只是转动一个角度=Kz。
K单位长度杆件的扭转角。
将其代入:
有:
将两式相减,得:
(10-7),(10-8),将其对照式(10-3):
(10-3),可见:
(10-9),实际问题中,K可通过实验测得。
小结:
平衡微分方程:
相容方程:
2.扭转问题应力的求解,(x,y)扭转应力函数,(Prandtl)应力函数,(10-3),(10-4),(10-5),应力函数的确定,侧面边界条件,杆端边界条件,相容方程,1.扭转问题按应力求解的基本方程,应力函数法,应力的确定,K单位长度杆件的扭转角,3.扭转问题杆件位移与变形,杆件的抗扭刚度,或:
扭转杆件的变形,扭转杆件的位移,本章前面内容回顾:
平衡微分方程:
相容方程:
2.扭转问题应力的求解,(x,y)扭转应力函数,(Prandtl)应力函数,(10-3),(10-4),(10-5),应力函数的确定,侧面边界条件,杆端边界条件,相容方程,1.扭转问题按应力求解的基本方程,应力函数法,应力的确定,K单位长度杆件的扭转角,3.扭转问题杆件位移与变形,杆件的抗扭刚度,或:
扭转杆件的变形,扭转杆件的位移,10-3椭圆截面的扭转,1.问题的描述,椭圆截面直杆:
长半轴为a,,短半轴为b,,受扭矩M作用。
求:
杆中的应力与位移。
2.问题的求解,求应力函数,根据:
(10-4),及椭圆截面方程:
可假设:
(a),(b),式中:
m为待定常数。
将其代入方程(10-3):
得到:
(c),利用方程(10-5):
(c),利用方程(10-5):
(d),式中:
代入式(d),有:
可求得:
(e),(e),(c),将其代入式(e),得:
(f),至此,满足所有的条件:
(10-4),(10-3),(10-5),求剪应力,
(1)剪应力分量:
(10-12),
(2)合剪应力:
(10-13),(3)最大、最小剪应力:
对上式求极值,当,(10-14),当a=b时,与材料力学中圆截面结果相同。
求杆的形变与位移,由,得到:
(10-15),杆件单位长度的扭转角,单位长度的扭转角,位移分量,由,(10-16),可求得:
由式(10-7)和式(f):
(f),比较两式,得:
对其分别积分,得:
式中:
w0为常数,代表刚体位移。
若不计刚体位移,则有:
(10-17),表明:
(1)扭杆的横截面并不保持平面,而翘曲成曲面。
(2)曲面的等高线在xy面上的投影为双曲线,其渐近线为x、y轴。
(3)仅当a=b时(圆截面杆),才有w=0,横截面保持平面。
讨论:
应力函数的选取,可利用杆截面的边界方程,如:
(a)椭圆:
边界曲线方程,应力函数,(b)等边三角形:
=常数,(c)带半圆槽的杆:
小圆:
大圆:
=常数,(d)矩形截面杆:
4条边界的方程为:
假设扭转应力函数为:
常数,表明:
上述函数不能作为扭转应力函数。
设定:
扭转应力函数为:
显然,满足侧面的边界条件,判断:
扭转应力函数是否满足:
若满足,则由此确定待定常数m,得应力函数(x,y)。
如:
椭圆截面杆的扭转应力函数(x,y),椭圆截面方程:
可假设:
如:
等边三角形截面杆的应力函数(x,y),等边三角形截面边界方程:
可假设应力函数(x,y):
=常数,如:
带半圆槽截面杆的应力函数(x,y),小圆:
大圆:
=常数,可假设应力函数(x,y):
注意:
半逆解法不是对所有情形都适用。
如:
对矩形截面杆不适用。
例:
图示空心圆截面杆件,外半径为a,内半径为b,试求其扭转剪应力及位移。
解:
求应力函数,为使在外边界上的值为零,内边界上的值为常数,可取:
(1),由端部边界条件式(10-5)得:
于是,得,
(2),(3),求剪应力,(4),(5),求变形与位移,单位长度扭转角:
位移分量:
(10-7),由:
刚体位移,由于变形引起的轴向位移:
即平面保持平面假设成立。
例:
图示空心椭圆截面杆件,边界的方程分别为:
试求其扭转剪应力及位移。
内边界:
外边界:
(作为作业题),10-2扭转问题的薄膜比拟,1.薄膜比拟概念,比拟的概念:
如果两个物理现象,具有以下相似点:
(1)泛定方程;,
(2)定解条件;,则可舍去其物理量本身的物理意义,互相求解确定。
扭转问题的薄膜比拟:
由普朗特尔(Prandtl.,L.)提出,薄膜在均匀压力下的垂度z,与等截面直杆扭转问题中的应力函数,在数学上相似(泛定方程相似、定解条件相似)。
因此,可用求薄膜垂度z,变化规律的方法来解等截面杆扭转问题。
扭转问题的薄膜比拟方法。
为扭转问题提供了一种实验方法,2.薄膜比拟方法,设一均匀薄膜,张在水平边界上,水平边界与某受扭杆件截面的边界具有相同的形状和大小,薄膜在微小的均匀压力下,各点发生微小的垂度z。
有关薄膜假定:
不能受弯矩、扭矩、剪力作用,只能受张力T(单位宽度的拉力)作用。
2.薄膜比拟方法,方法说明:
取薄膜的一微小部分(abcd矩形),其受力如图,,ab边上拉力:
ab边上拉力在z轴上投影:
cd边上拉力:
cd边上拉力在z轴上投影:
ad边上拉力:
ab边上拉力在z轴上投影:
bc边上拉力:
bc边上拉力在z轴上投影:
在z方向上外力:
两边同除以dxdy,整理得:
或:
(10-10),边界条件:
(10-11),对于均布压力,有:
式(10-10)和(10-11)变为:
(a),另一方面,扭转问题有:
(10-8),(10-4),将式(10-8)、(10-4)改写为:
(b),比较式(a)、(b)可见:
当薄膜与扭杆横截面具有相同的边界时,变量:
与,决定于同样的微分方程与边界条件,因而,两者应有相同的解答。
并有:
(c),3.扭矩M、截面上的剪应力与薄膜体积、斜率的关系,薄膜与边界平面间的体积为:
由式(c):
(c),得到:
代入上式,有:
由式(10-5):
得到:
(d),或,扭矩M与薄膜体积的关系,截面剪应力与薄膜斜率的关系,由,可得:
其中:
薄膜垂度z沿y方向的斜率。
(e),(f),结论:
当薄膜受均布压力q作用时,使得:
则得:
(1),
(2),(3),由于x、y轴方向是可以取在扭杆横截面上任意两互相垂直的方向,因而可得到如下推论:
(1)在扭杆横截面的某一点处,沿任一方向的剪应力,就等于该薄膜在该点处沿垂直方向的斜率。
(2)扭杆横截面的最大剪应力,等于该薄膜的最大斜率。
注:
最大剪应力的方向,与该薄膜的最大斜率的方向垂直。
剪应力环流公式:
图中曲线C为薄膜变形后的某一条等高线,B为等高线上某一点,C上有:
=常数,即,垂度z对曲线C的切向导数为零:
对于扭转杆件,,沿曲线C有,而:
(a),等高线C上任一点B的剪应力在法向上投影之和为零,即,B点的剪应力方向必沿此等高线的切线方向。
表明:
薄膜上的等高线C在边界平面上投影,即为扭转截面上剪应力流线。
法向剪应力,切向剪应力,由薄膜垂度与扭转应力函数的关系,得到:
各点剪应力与对应薄膜在该点的最大斜率成正比,,而最大剪应力的方向与薄膜,在该点的最大斜率方向互相垂直。
用等高线所在的平面截割薄膜,,由其z方向平衡,,其中:
A为所截处等高线所围的面积;,为所截薄膜在等高线处的斜率。
因为:
所以,有:
或:
将其代入式(b),有,(c),化简式(c),有,(d),剪应力环流公式,表明:
剪应力沿流线的积分与杆件的单位扭转角K、剪应力流线所围面积A成正比。
结论:
扭转应力函数的两个基本性质,性质1:
截面内任一点的总剪应力必指向该点处应力函数等值线的切线,其大小等于应力函数的负梯度,即沿内法线方向的导数值:
性质2:
在应力函数的闭合等值线上,剪应力环量和等值线所围的面积A成正比,即:
剪应力环流公式,10-4矩形截面杆的扭转,1.问题:
图示矩形截面杆:
a、b、M,
(1),
(2),两种情形:
ab;,求:
杆的应力与位移。
2.问题的求解,
(1)ab情形:
狭长矩形,一般情形;,求应力函数,ab,,由薄膜比拟可以推断,,应力函数绝大部分截面几乎不随x变化,即不受短边约束的影响,对应的薄膜几乎为一柱面。
可以近似地取:
而:
变为:
对上式积分,有,利用边界条件:
可求得:
(a),利用式(10-5):
积分求得:
(b),(c),求剪应力,
(1)剪应力分量:
(10-18),
(2)最大剪应力:
(10-19),杆件的变形,单位长度扭转角:
由式(10-9):
(10-20),此时应力函数可表示为:
(d),
(2)任意情形(a/b=任意值):
求应力函数,基本方程与边界条件:
此
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