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第五章弯曲应力,一、弯曲构件横截面上的应力,当梁上有横向外力作用时,一般情况下,梁的横截面上既又弯矩M,又有剪力Q.此种弯曲称横力弯曲(剪切弯曲)。
5-1引言,只有与正应力有关的法向内力元素dFN=dA才能合成弯矩.,只有与切应力有关的切向内力元素dQ=dA才能合成剪力;,所以,在梁的横截面上一般既有正应力,又有切应力。
简支梁CD段任一横截面上,剪力等于零,而弯矩为常量,所以该段梁的弯曲就是纯弯曲。
二、纯弯曲(Purebending),若梁在某段内各横截面的弯矩为常量,剪力为零,则该段梁的弯曲就称为纯弯曲。
5-2纯弯曲时的正应力(Normalstressesinpurebeams),一、实验(Experiment),1.变形现象(Deformationphenomenon),纵向线,且靠近顶端的纵向线缩短,,靠近底端的纵向线段伸长.,相对转过了一个角度,,仍与变形后的纵向弧线垂直.,各横向线仍保持为直线,,各纵向线段弯成弧线,,横向线,2.提出假设(Assumptions),(a)平面假设:
变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线;,(b)单向受力假设:
纵向纤维不相互挤压,只受单向拉压.,推论:
必有一层纤维长度变形前后保持不变,把纤维既不伸长也不缩短的一层,称中性层。
中性轴:
中性层与横截面的交线。
应变分布规律:
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.,二、变形几何关系(Deformationgeometricrelation),三、物理关系(Physicalrelationship),所以,HookesLaw,直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力,与它到中性轴的距离成正比.,应力分布规律:
?
待解决问题,中性轴的位置,中性层的曲率半径r,四、静力关系(Staticrelationship),横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系,这一力系简化得到三个内力分量.,内力与外力相平衡可得,
(1),
(2),(3),将应力表达式代入
(1)式,得,将应力表达式代入
(2)式,得,将应力表达式代入(3)式,得,中性轴通过横截面形心,自然满足,截面的抗弯刚度,反映梁抵抗弯曲变形的能力,得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
M为梁横截面上的弯矩;,y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离;,Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.,
(1)应用公式时,一般将M以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断的正负号.以中性轴为界,梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号),凹入边的应力为压应力(为负号)。
(2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.,则公式改写为,讨论,
(1)当中性轴为对称轴时,矩形截面,实心圆截面,空心圆截面,z,y,
(2)对于中性轴不是对称轴的横截面,应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式,当梁上有横向力作用时,横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲.,横力弯曲时,梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力,纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.,一、横力弯曲(Nonuniformbending),虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异,但进一步的分析表明,工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式,可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力.,等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为,二、公式的应用范围(Theapplicablerangeoftheflexureformula),1.在弹性范围内(Allstressesinthebeamarebelowtheproportionallimit),3.平面弯曲(Planebending),4.直梁(Straightbeams),2.具有切应力的梁(Thebeamwiththeshearstress),三、强度条件(Strengthcondition),1.数学表达式(Mathematicalformula),梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.,2.强度条件的应用(Applicationofstrengthcondition),
(2)设计截面,(3)确定许可载荷,
(1)强度校核,对于铸铁等脆性材料制成的梁,由于材料的,且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴,所以梁的,(两者有时并不发生在同一横截面上),要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力,例题1螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a150mm,压板材料的弯曲许用应力s140MPa.试计算压板传给工件的最大允许压紧力F.,解:
(1)作出弯矩图的最大弯矩为Fa;,
(2)求惯性矩,抗弯截面系数,(3)求许可载荷,例题2:
一外伸梁受力如图所示,材料的许用应力=160MPa,横截面为h/b=3的矩形,试确定此梁横截面尺寸h和b。
解:
解之得:
例题3:
如图所示,AB梁为I10工字钢,其抗弯截面系数W=49cm3,容许应力1=160MPa。
CD杆是直径d=10mm的圆截面钢杆,其容许应力2=120MPa。
(1)求容许荷载q;
(2)为提高此结构的承载能力,可改变哪一根杆件的截面尺寸?
多大的尺寸为宜?
此时求容许荷载qmax又为多大?
解:
(1)内力分析,梁内的最大弯矩发生在C截面,
(2)按AB梁的强度条件求q,(3)按拉杆CD的强度条件求q,CD杆的轴力:
q=4.18kN/m,取,(4)q=4.18kN/m这是由拉杆的强度条件所决定。
显然,由于拉杆的直径较小,影响了结构的承载能力。
若改用直径较大的圆杆,则结构的容许荷载可以提高;假设拉杆的直径为D时,拉杆和梁内的最大正应力分别达到各自的容许应力,拉杆和梁的材料都将得到合理的使用,此时梁上的荷载为q=15.7kN/m,拉杆内的轴力为,由强度条件,当D=19.4mm时,结构的容许荷载为q=15.7kN/m,例题4:
T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的许用拉应力为t=30MPa,许用压应力为c=160MPa.已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz=763cm4,y1=52mm,校核梁的强度.,解:
最大正弯矩在截面C上,最大负弯矩在截面B上,B截面,C截面,M图,梁满足强度要求,例题5由n片薄片组成的梁,当每片间的摩擦力甚小时,每一薄片就独立弯曲,近似地认为每片上承担的外力等于求最大正应力。
解:
每一薄片中的最大正应力,z,若用刚度足够的螺栓将薄片联紧,杆就会象整体梁一样弯曲,最大正应力等于,5-4梁的切应力及强度条件(Shearstressesinbeamsandstrengthcondition),b,矩型截面的宽度.,整个横截面对中性轴的惯性矩.,横截面上需求剪应力处(距中性轴为y)的水平线以下(或以上)部分的面积A*对中性轴的静矩.,1、矩形截面梁,一、梁的切应力,矩形截而梁横截面上剪应力有以下特点:
(a)横截面上各点处的剪应力方向都与剪力Q的方向一致。
(b)梁横截面上距中性轴等距离处各点的剪应力数值都相等。
(c)矩形截面梁横截面上的剪应力的大小沿着梁的高度按抛物线规律分布,在截面上、下边缘处的剪应力为零,而在中性轴上的剪应力值最大,,沿截面高度的变化由静矩与y之间的关系确定.,式中,A=bh为矩形截面的面积.,假设求应力的点到中性轴的距离为y.,研究方法与矩形截面同,切应力的计算公式亦为,b,2、工字形截面梁,b0腹板的厚度,距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A对中性轴的静矩.,(a)腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化;,(b)最大切应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大切应力.,tmin,tmax,假设:
(a)沿宽度k-k上各点处的切应力均汇交于O点;,(b)各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等.,在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.,3、圆形截面梁,最大切应力发生在中性轴上,图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为,环的平均半径为r0,由于r0故可假设,(a)横截面上切应力的大小沿壁厚无变化;,(b)切应力的方向与圆周相切.,4、圆环形截面梁,式中A=2r0为环形截面的面积,横截面上最大的切应力发生中性轴上,其值为,z,y,r0,二、强度条件,三、需要校核切应力的几种特殊情况,max,细长梁的控制因素通常是弯曲正应力。
满足弯曲正应力强度条件的梁,一般说都能满足剪应力的强度条件。
只有在下述一些情况下,要进行梁的弯曲剪应力强度校核:
(1)梁的跨度较短,或在支座附近作用较大的载荷,以致梁的弯矩较小,而剪力很大;
(2)铆接或焊接的工字梁,如腹板较薄而截面高度很大,以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值,这时,对腹板应进行剪应力校核;(3)经焊接、铸接或胶合而成的梁,对焊缝、铆钉或胶合面等,一般要进行剪切计算。
(4)各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差,要校核切应力.,在梁的强度计算中,通常是按正应力强度条件选择截面尺寸和形状,再按剪应力强度条件进行校核。
例题5一简易起重设备如图所示.起重量(包含电葫芦自重)F=30kN.跨长l=5m.吊车大梁AB由20a工字钢制成.其许用弯曲正应力=170MPa,许用弯曲切应力=100MPa,试校核梁的强度.,解:
此吊车梁可简化为简支梁,力F在梁中间位置时有最大正应力.,(a)正应力强度校核,由型钢表查得20a工字钢的,所以梁的最大正应力为,(b)切应力强度校核,在计算最大切应力时,应取荷载F在紧靠任一支座例如支座A处所示,因为此时该支座的支反力最大,而梁的最大切应力也就最大.,查型钢表中,20a号工字钢,有,d=7mm,据此校核梁的切应力强度,以上两方面的强度条件都满足,所以此梁是安全的.,例题6简支梁AB如图所示.l2m,a0.2m.梁上的载荷为q=10kN/m,F200kN.材料的许用应力为=160MPa,100MPa,试选择工字钢型号.,解:
(1)计算支反力做内力图.,
(2)根据最大弯矩选择工字钢型号,查型钢表,选用22a工字钢,其Wz309cm3,(3)校核梁的切应力,腹板厚度d=0.75cm,由剪力图知最大剪力为210kN,查表得,max超过t很多,应重新选择更大的截面.现已25b工字钢进行试算,所以应选用型号为25b的工字钢.,5-5提高梁强度的主要措施(Measurestostrengthenthestrengthofbeams),一、降低梁的最大弯矩值,1.合理地布置梁的荷载,按强度要求设计梁时,主要是依据梁的正应力强度条件,2.合理地设置支座位置,当两端支座分别向跨中移动a=0.207l时,最大弯矩减小.,二、增大Wz,1.合理选择截面形状,在面积相等的情况下,选择抗弯模量大的截面,工字形截面与框形截面类似.,2.合理的放置,2.对于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等对中性轴不对称的截面且将翼缘置于受拉侧.,三、根据材料特性选择截面形状,1.对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面.,要使y1/y2接近下列关系:
最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力,四、采用等强度梁,梁各横截面上的最大正应力都相等,并均达到材料的许用应力,则称为等强度梁.,例如,宽度b保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁,若设计成等强度梁,则其高度随截面位置的变化规律h(x),可按正应力强度条件求得.,梁任一横截面上最大正应力为,求得,但靠近支座处,应按切应力强度条件确定截面的最小高度,求得,F,l/2,l/2,按上确定的梁的外形,就是厂房建筑中常用的鱼腹梁.,作业:
P1107.77.87.97.107.13,
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