北京课改版数学九上第21章《圆》上word单元测试.docx

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北京课改版数学九上第21章《圆》上word单元测试

第21章圆（上）单元测试

一.单选题（共10题；共30分）

1.如图,⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（    ）

A. 2                                           

B. 3                                           

C. 4                                           

D. 5

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则其外接圆的半径为（ ）

A. 15                                          B. 7.5                                          C. 6                                          D. 3

3.已知P是⊙O内一点，⊙O的半径为15，P点到圆心O的距离为9，则通过P点且长度是整数的弦的条数是（    ）

A. 5                                          

B. 7                                          

C. 10                                          

D. 12

4.如图，BD为⊙O的直径，∠A=30°，则∠CBD的度数为（　　）

A. 30°                                       B. 45°                                       C. 60°                                       D. 80°

5.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，那么点P与⊙O的位置关系是（  ）

A. 点P在⊙O上                      

B. 点P在⊙O内                      

C. 点P在⊙O外                      

D. 无法确定

6.如图，线段AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，如果∠BOC=70°，那么∠BAD等于（　　）

A. 20°                                       B. 30°                                       C. 35°                                       D. 70°

7.已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（　　）

A. 17cm                               

B. 7cm                               

C. 12cm                               

D. 17cm或7cm

8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°，则∠BAD的度数是（　　）

A. 30°                                      

B. 60°                                      

C. 80°                                      

D. 120°

9.如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（  ）

A. 30°                                       B. 40°                                       C. 50°                                       D. 60°

10.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（  ）

A. 50°                                     

B. 80°                                     

C. 100°                                     

D. 130°

二.填空题（共8题；共28分）

11.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠D=68°，则∠ABC等于 ________．

​

12.如图，⊙O的半径是10cm，弦AB的长是12cm，OC是⊙O的半径且OC⊥AB，垂足为D，则CD= ________cm.

13.如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD= ________．

14.已知⊙O的半径为6cm，

（1）OB=6cm，则点B在 ________；

（2）若OB=7.5cm，则点B在 ________．

15.已知等边三角形的边长是4，则它的一边上的高是 ________，外接圆半径是 ________．

16.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°．若点E在AD∧上，则∠E=________ °．

17.（2016•河池）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，∠ABC=50°，则∠BDC的大小是________．

18.半径为5的⊙O中最大的弦长为________．

三.解答题（共6题；共42分）

19.如图，Rt△ABC中，∠C=90°、∠BAC=30°，在AC边上取点O画圆使⊙O经过A、B两点，延长BC交⊙O于D；求证：

A、B、D是⊙O的三等分点．

20.已知AB=4cm，作半径为3cm的圆，使它经过A、B两点，这样的圆能作多少个？

如果半径为2cm呢？

21.已知：

如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．

22.如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与A、B重合），连AP，BP，过C作CM∥BP交PA的延长线于点M，

（1）求证：

△PCM为等边三角形；

（2）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．

23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是

上的一个动点，连接AP，求AP的最小值．

24.⊙O的半径为17cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm．求AB和CD之间的距离．

答案解析

一.单选题

1.【答案】A

【考点】垂径定理的应用

【解析】

【分析】OM最长边应是半径长，根据垂线段最短，可得弦心距最短，分别求出后即可判断．

【解答】①M与A或B重合时OM最长，等于半径5；

②∵半径为5，弦AB=8

∴∠OMA=90°，OA=5，AM=4

∴OM最短为

=3，

∴3≤OM≤5，

因此OM不可能为2．

故选A．

【点评】解决本题的关键是：

知道OM最长应是半径长，最短应是点O到AB的距离长．然后根据范围来确定不可能的值

2.【答案】B

【考点】圆周角定理

【解析】【解答】解：

如图，

∵∠C=90°，

∴AB2=AC2+BC2，而AC=9，BC=12，

∴AB=

=15．

又∵AB是Rt△ABC的外接圆的直径，

∴其外接圆的半径为7.5．

故选B．

【分析】直角三角形的斜边是它的外接圆的直径，通过勾股定理求出AB即可．本题主要考查圆周角定理及其推论，即90度的圆周角所对的弦是直径．解题的关键是熟练运用勾股定理进行计算．

3.【答案】D

【考点】垂径定理

【解析】【分析】在圆中过点P最长的弦是过的P的直径，最短的弦是过点P且垂直于OP的弦，知道最长和最短的弦长后，通过P点，长度是整数的弦的条数就能确定．

【解答】在⊙O中，半径是15，点P到圆心的距离为9，则过点P最长的弦是过点P的直径，长度为30．

过点P最短的弦是垂直于OP的弦，这条弦长为24．

最长的弦有一条，最短的弦有一条，而弦长分别是25，26，27，28，29的弦有两条，

所以过P点，长度是整数的弦一共有1+2×5+1=12条．

故选D．

【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，根据P点在圆内，过点P最长和最短的弦长，可以确定弦长是整数的弦的条数．

4.【答案】C

【考点】圆周角定理

【解析】【分析】由BD为⊙O的直径，可证∠BCD=90°，又由圆周角定理知，∠D=∠A=30°，即可求∠CBD．

【解答】∵BD为⊙O的直径，

∴∠BCD=90°，

∴∠D=∠A=30°，

∴∠CBD=90°-∠D=60°．

故选C．

【点评】本题利用了直径所对的圆周角是直角和圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

5.【答案】C

【考点】点与圆的位置关系

【解析】【分析】根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）即可求解．

∵OP=7＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．

故选C．

6.【答案】C

【考点】圆周角定理

【解析】【解答】解：

∵弦CD⊥直径AB，

∴

=

，

∴∠BAD=

∠BOC=

×70°=35°．

故选C．

【分析】先根据垂径定理得到

=

​，然后根据圆周角定理得∠BAD=

∠BOC=35°．

7.【答案】D

【考点】垂径定理

【解析】【解答】解：

①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，

∵AB=24cm，CD=10cm，

∴AE=12cm，CF=5cm，

∵OA=OC=13cm，

∴EO=5cm，OF=12cm，

∴EF=12﹣5=7cm；

②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，

∵AB=24cm，CD=10cm，

∴AE=12cm，CF=5cm，

∵OA=OC=13cm，

∴EO=5cm，OF=12cm，

∴EF=OF+OE=17cm．

∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．

故选D．

【分析】分两种情况进行讨论：

①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．

8.【答案】B

【考点】圆内接四边形的性质

【解析】【解答】解：

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°，

∴∠BAD=180°﹣120°=60°．

故选B．

【分析】直接根据圆内接四边形的性质即可得出结论．

9.【答案】C

【考点】圆周角定理

【解析】【解答】解：

∵∠AOB与∠ACB都对

，且∠AOB=100°，

∴∠ACB=

∠AOB=50°，

故选C

【分析】根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可．

10.【答案】D

【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质

【解析】【解答】解：

∵∠BOD=100°，∴∠BAD=100°÷2=50°，

∴∠BCD=180°﹣∠BAD

=180°﹣50°

=130°

故选：

D．

【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．

二.填空题

11.【答案】22°

【考点】圆周角定理

【解析】【解答】解：

∵∠D=68°，

∴∠A=68°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，

∴∠CBA=180°﹣90°﹣68°=22°．

故答案为：

22°．

【分析】首先根据圆周角定理可得∠A=68°，∠BCA=90°，再根据三角形内角和定理可得∠ABC的度数．

12.【答案】2

【考点】垂径定理

【解析】【解答】解：

∵⊙O的半径是10cm，弦AB的长是12cm，OC是⊙O的半径且OC⊥AB，垂足为D，

∴OA=OC=10cm，AD=12AB=12×12=6cm，

∵在Rt△AOD中，OA=10cm，AD=6cm，

​

∴CD=OC﹣OD=10﹣8=2cm．

故答案为：

2．

【分析】先根据垂径定理求出AD的长，在Rt△AOD中由勾股定理求出OD的长，进而可得出结论．

13.【答案】32°

【考点】圆周角定理

【解析】【解答】解：

连接OD．

∵AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，

∴∠AOD=2∠ABD=116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；

又∵∠BOD=180°﹣∠AOD，∠BOD=2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；

∴∠BCD=32°；

另法：

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∵∠ABD=58°，

∴∠A=90°﹣58°=32°，

∵∠BCD和∠A都是BD所对圆周角，

∴∠BCD=32°．

故答案为：

32°．

【分析】根据圆周角定理求得∠AOD=2∠ABD=116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）、∠BOD=2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；根据平角是180°知∠BOD=180°﹣∠AOD，故∠BCD=32°．

14.【答案】⊙O上；⊙O外

【考点】点与圆的位置关系

【解析】【解答】解：

设⊙O的半径为r；

（1）∵OB=6cm=r，

即d=r，

∴点B在⊙O上；

故答案为：

⊙O上；

（2）∵OB=7.5cm＞r，

即d＞r，

∴点B在⊙O外．

故答案为：

⊙O外．

【分析】设⊙O的半径为r．

（1）由题意得出d=r，即可得出结论；

（2）由题意得出d＞r，即可得出结论．

15.【答案】23；433

【考点】三角形的外接圆与外心

【解析】【解答】解：

如图所示，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，AB=4，

∴AD=AB•sin60°=4×32=23，

∵等边三角形的外心与重心重合，

∴OA=23AD=23×23=433．

故答案为：

23，433．

【分析】根据题意画出图形，根据锐角三角函数的定义可得出AD的长，再根据三角形重心的性质即可得出结论．

16.【答案】125

【考点】圆内接四边形的性质

【解析】【解答】解：

∵∠C+∠BAD=180°，

∴∠BAD=180°﹣110°=70°，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∴∠ABD=12（180°﹣70°）=55°，

∵四边形ABDE为圆的内接四边形，

∴∠E+∠ABD=180°，

∴∠E=180°﹣55°=125°．

故答案为125．

【分析】先根据圆内接四边形的性质计算出∠BAD=180°﹣∠C=70°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABD=55°，然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数．

17.【答案】40°

【考点】圆周角定理

【解析】【解答】解：

∵∠ABC=50°，∴ADC^的度数为100°，

∵AB为直径，

∴BC^的度数为80°，

∴∠BDC=12×80°=40°，

故答案为：

40°．

【分析】根据∠ABC=50°求出ADC^的度数为100°，求出BC^的度数为80°，即可求出答案．

18.【答案】10

【考点】圆的认识

【解析】【解答】解：

半径为5的⊙O的直径为10，则半径为5的⊙O中最大的弦是直径，其长度是10．故答案是：

10．

【分析】直径是圆中最大的弦．

三.解答题

19.【答案】证明：

∵∠ACB=90°，

即AC⊥BD，

∴DC=BC，

∴AD=AB，

∵∠BAC=30°，

∴∠ABC=60°，

∴△ADB是等边三角形，

∴AD=AB=BD，

∴AD∧=AB∧=BD∧，

即A、B、D是⊙O的三等分点．

【考点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】根据垂径定理求出DC=BC，由线段垂直平分线的性质得出AD=AB，证出△ADB是等边三角形，由圆心角、弧、弦的关系得出AD∧=AB∧=BD∧即可．

20.【答案】解：

（1）这样的圆能画2个．如图1：

作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆，

则⊙O1和⊙O2为所求；

（2）这样的圆能画1个．如图2：

作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以2cm为半径作圆，

则⊙0为所求；

【考点】圆的认识

【解析】【分析】

（1）先作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆即可；

（2）先作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以2cm为半径作圆即可；

21.【答案】证明：

连接ME、MD，

∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，

∴ME=MD=MC=MB=

​BC，

∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．

【考点】圆的认识

【解析】【分析】分别连接ME、MF，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得到ME=MD=MC=MB，可证得结论．

22.【答案】解：

（1）证明：

作PH⊥CM于H，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠APC=∠ABC=60°，

∠BAC=∠BPC=60°，

∵CM∥BP，

∴∠BPC=∠PCM=60°，

∴△PCM为等边三角形；

（2）∵△ABC是等边三角形，△PCM为等边三角形，

∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA，

∴∠BCP=∠ACM，

在△BCP和△ACM中，

，

∴△BCP≌△ACM（SAS），

∴PB=AM，

∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，

在Rt△PMH中，∠MPH=30°，

∴PH=

，

∴S梯形PBCM=

（PB+CM）×PH=

×（2+3）×

=

．

​

【考点】三角形的外接圆与外心

【解析】【分析】

（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM为等边三角形；

（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．

23.【答案】解：

找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，

可见，AP1+EP1＞AE，

即AP2是AP的最小值，

∵AE=22+12=5，P2E=1，

∴AP2=5​﹣1．

【考点】点与圆的位置关系

【解析】【分析】找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可．

24.【答案】解：

过圆心O作OE⊥AB，OF⊥CD，连接OB，OD．在Rt△OBE中，OE=

=

=8cm，

在Rt△ODF中，OF=

=

=15cm．

①如图1，当弦AB、CD在圆心O的同侧：

EF=OF﹣OE=15﹣8=7cm；

②如图2，当弦AB、CD在圆心O的两侧：

EF=OF+OE=15+8=23cm．

综上：

AB和CD之间的距离为7cm或23cm．

【考点】垂径定理

【解析】【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，如图，连结OA、OC，由AB∥CD，根据平行线的性质得OF⊥CD，再根据勾股定理得CF=

CD=8，AE=

AB=15，然后根据勾股定理计算出OE和OF，再求它们的差或和即可．