柳州市届新高三摸底考试理科数学试题答案解析与点睛19页.docx
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柳州市届新高三摸底考试理科数学试题答案解析与点睛19页
柳州市2020届新高三摸底考试理科数学试题
理科数学试题
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把正确的选项填在答题卡上)
1.若复数满足,则复数的虚部为()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
分析:
先根据复数除法法则得复数,再根据复数虚部概念得结果.
详解:
因为,所以,
因此复数的虚部为,选B.
点睛:
本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如.其次要熟悉复数相关基本概念,如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
2.已知集合,则AB=()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过不等式的解法求出集合A,然后求解交集即可.
【详解】由已知得,
所以,
故选B.
【点睛】本题考查二次不等式的求法,交集的定义及运算,属于基础题.
3.已知函数,则()
A.-1B.0C.1D.2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用分段函数,通过函数的周期性,转化求解函数值即可.
【详解】函数f(x)=,则f(﹣3)=f(﹣3+2)=f(﹣1)=f(﹣1+2)=f
(1)=log21=0.
故选B.
【点睛】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力.
4.若向量,满足,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
∵,∴⋅()=0,即2+⋅=0,∴⋅=−1.
∴cos<,>==−.
∴<,>=.
故选C.
5.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,a2+a4+a6=12,则S7=( )
A.20B.28C.36D.4
【答案】B
【解析】
【分析】
由等差数列的性质计算.
【详解】由题意,,∴.
故选B.
【点睛】本题考查等差数列性质,灵活运用等差数列的性质可以很快速地求解等差数列的问题.
在等差数列中,正整数满足,则,特别地若,则;.
6.一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 ( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
试题分析:
该几何体为一个侧面与底面垂直,底面为正方形的四棱锥(如图所示),其中底面边长为,侧面平面,点在底面的射影为,所以,所以,,,,底面边长为,所以最长的棱长为,故选C.
考点:
简单几何体的三视图.
7.运行如图所示的程序框图,为常数,若输出的k的值为2,则m=()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图,逐步执行,即可得出结果.
【详解】运行该程序,
第一次循环,;
第二次循环,;
第三次循环,,此时要输出的值,则,解得.
故选B.
【点睛】本题主要考查程序框图,分析框图作用,逐步执行即可,属于常考题型.
8.现有甲,乙,丙,丁,戊5位同学站成一列,若甲不在右端,且甲与乙不相邻的不同站法共有( )
A.60种B.36种C.48种D.54种
【答案】D
【解析】
【分析】
先排甲,然后排乙,最后排丙、丁、戊,由此计算出不同的站法数.
【详解】甲排号位,乙可以排号位,故方法数有种.甲排号位,乙可以排号位,故方法数有种.甲排号位,乙可以排号位,故方法数有种.甲排号位,乙可以排号位,故方法数有种.故总的方法数有种.故选D.
甲1
2
3
4
5
1
甲2
3
4
5
1
2
甲3
4
5
1
2
3
甲4
5
【点睛】本小题主要考查有限制条件的排列组合问题,考查分类讨论的数学思想方法,属于基础题.
9.已知双曲线,双曲线的焦点在轴上,它的渐近线与双曲线的相同,则双曲线的离心率为()
A.B.2C.D.1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的方程,求得其渐近线方程,再根据双曲线的焦点在轴上,它的渐近线与双曲线的相同求解.
【详解】因为双曲线,
所以,
所以渐近线方程为:
.
因为双曲线的焦点在轴上,它的渐近线与双曲线的相同,
所以,
所以.
故选:
A
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
10.函数的部分图象如图所示,则的值为()
A.B.C.D.-1
【答案】D
【解析】
【分析】
由振幅得到,根据相邻零点和最小值点,求得周期,得到,再代入最小值点求得,得到函数,然后求的值.
【详解】由图可得,最小正周期为,
所以,
所以,
,
,
又因为,
所以,
所以.
所以.
故选:
D
【点睛】本题主要考查三角函数图象和性质,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.
11.已知正三角形的三个顶点都在球心为、半径为3的球面上,且三棱锥的高为2,点是线段的中点,过点作球的截面,则截面面积的最小值为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
如图,设正三角形的边长为,中心为,由题设可知,则,即,又由实际意义可知以为圆心为半径的圆的截面的面积最小,其最小值为,应选答案A.
点睛:
解答本题的关键是充分借助题设条件,先正三角形的边长,进而求出该三角形的外接圆的半径,借助球心距、截面圆的半径、球半径之间的关系求出等边三角形的边长,依据实际意义求出截面面积的最小值.
12.已知函数的定义域为,,对任意的满足.当时,不等式的解集为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令,求导可得单调递增,且,故不等式的解集为的解集.
【详解】令,则,可得在上单调递增,
所以由可得
因为,
所以不等式等价于
所以
又因为
所以
故选A
【点睛】本题考查利用导函数以及三角函数解不等式问题,解题的关键是构造出新函数,属于偏难题目.
第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.设实数满足,则的最大值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
先由约束条件作出可行域,再由目标函数表示直线在轴截距的相反数,结合图像即可求出结果.
【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,
观察可知,当直线过点时,有最大值.联立,解得,则.
【点睛】本题主要考查简单的线性规划,通常需要由约束条件作出可行域,根据目标函数的几何意义求解,属于常考题型.
14.的展开式中的常数项为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得的展开式的通项公式,再令x的次数为零求解.
【详解】的展开式的通项公式为:
,
令,
解得,
所以中展开式中的常数项为.
故答案为:
【点睛】本题主要考查二项式定理通项公式,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
15.在中,,BC边上的高等于,则______________.
【答案】.
【解析】
【分析】
设边上的高为,则,求出,.再利用余弦定理求出.
【详解】设边上的高为,则,
所以,.
由余弦定理,知.
故答案为
【点睛】本题主要考查余弦定理,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.
16.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于、两点,则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
设出、坐标,利用焦半径公式求出,可得,结合,求出、的坐标,然后求其比值.
【详解】解:
设,,
直线的方程为
由抛物线的焦点弦公式,,
∴,
联立直线与抛物线的方程即,
消去y得,,
故,
联立方程组,
解得,,
则,
故答案为.
【点睛】本题考查直线的倾斜角,抛物线的简单性质,考查学生分析问题解决问题的能力,属于基础题.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.并将答案写在答题卡相对应题号的空白处)
17.在中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,设,,.
(1)求b的值;
(2)求的面积.
【答案】
(1);
(2)
【解析】
【分析】
(1)由余弦定理直接求b的值即可.
(2)先由求出,再根据三角形的面积公式求解.
【详解】
(1)∵a=4,c=3,cosB=.
∴由余弦定理可得b===.
故b的值.
(2)∵cosB=,B为三角形的内角,
∴sinB===,
又a=4,c=3,
∴S△ABC=acsinB==.
【点睛】本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式,解题时可根据相应的公式求解即可,但要注意计算的准确性,这是在解答类似问题中常出现的错误.
18.设是公比为正数的等比数列,若,且,,8成等差数列.
求的通项公式;
设,求证:
数列的前n项和.
【答案】
(1);
(2)见解析.
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为q,通过,,8成等差数列,求出公比,然后求解的通项公式.
求出,利用裂项相消法求解数列的和,即可说明数列的前n项和为.
【详解】设等比数列的公比为q,
,,8成等差数列
即,
即,解得或舍去,
所以的通项为
由上知,
,
.
.
所以.
【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:
(1);
(2);(3);(4);此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.
19.“红灯停,绿灯行”,这是我们每个人都应该也必须遵守的交通规则.凑齐一拨人就过马路﹣﹣不看交通信号灯、随意穿行交叉路口的“中国式过马路”不仅不文明而且存在很大的交通安全隐患.一座城市是否存在“中国式过马路”是衡量这座城市文明程度的重要指标.某调查机构为了了解路人对“中国式过马路”的态度,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:
男性
女性
合计
反感
10
不反感
8
合计
30
已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.
(1)请将上面列联表补充完整(在答题卷上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此列联表数据判断是否有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关?
(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一项活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列及其数学期望.
附:
,其中n=a+b+c+d
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】
(1)见解析;
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)补充列联表,计算的观测值,根据结论判断即可;
(2)分别计算X=0,1,2对应的概率,列出X的分布列求出数学期望即可.
【详解】
(1)列联表补充如下:
男性
女性
合计
反感
10
6
16
不反感
6
8
14
合计
16
14
30
根据列联表中数据由公式计算得:
的观测值=≈1.158<3.841,
故没有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关,
(2)X的可能取值为0,1,2,
,,,
∴X的分布列是:
X
0
1
2
P
∴E(X)=0×+1×+2×.
【点睛】本题考查了列联表,考查分布列和数学期望,是一道综合
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