届步步高大一轮复习讲义二29doc.docx
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届步步高大一轮复习讲义二29doc
§2.9函数的应用
2014高考会这样考1.综合考查函数的性质;2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本
初等函数的建模问题;3.考查函数的最值.
复习备考要这样做1.讨论函数的性质一定要先考虑定义域;2.充分搜集、应用题目信息,
正确建立函数模型;3.注重函数与不等式、数列、导数等知识的综合.
1.几类函数模型及其增长差异
(1)几类函数模型
函数模型
一次函数模型
反比例函数模型
二次函数模型
指数函数模型
对数函数模型
幂函数模型
(2)三种函数模型的性质函数
y=ax(a>1)
性质
在(0,+∞)上的
单调递增
增减性
增长速度越来越快
随x的增大逐渐表现为
图像的变化
与y轴平行
值的比较存在一个
函数解析式
f(x)=ax+b(a、b为常数,a≠0)
f(x)=kx+b(k,b为常数且k≠0)
f(x)=ax2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0)
f(x)=bax+c
(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
f(x)=blogax+c
(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
n
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
单调递增
单调递增
越来越慢
相对平稳
随x的增大逐渐表现为
随n值变化而
与x轴平行
各有不同
n
x
x0,当x>x0时,有logax 2.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题: 弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模: 将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模: 求解数学模型,得出数学结论; (4)还原: 将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下: [难点正本疑点清源] 1.要注意实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 2.解决函数应用问题重点解决以下问题 (1)阅读理解、整理数据: 通过分析、画图、列表、归类等方法,快速弄清数据之间的关系,数据的单位等等; (2)建立函数模型: 关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数,建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式,注意不要忘记考察函数的定义域; (3)求解函数模型: 主要是研究函数的单调性,求函数的值域、最大(小)值,计算函数的 特殊值等,注意发挥函数图像的作用; (4)回答实际问题结果: 将函数问题的结论还原成实际问题,结果明确表述出来. 1.某物体一天中的温度T(单位: ℃)是时间t(单位: h)的函数: T(t)=t3-3t+60,t=0表示中午12∶00,其后t取正值,则下午3时的温度为________. 答案78℃ 解析T(3)=33-3×3+60=78(℃). 2.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又 知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-201Q2,则总利润L(Q)的最大值是 ________万元. 答案2500 解析L(Q)=40Q-201Q2-10Q-2000 =-201Q2+30Q-2000 =-201(Q-300)2+2500 当Q=300时,L(Q)的最大值为2500万元. 3.(2011湖·北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素, 其含量不断减少, 这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯 137的衰变过程中,其含量M(单位: 太贝克) 与时间t(单位: 年)满足函数关系: M(t)=M02-t,其中M0为t=0 时铯137 的含量.已 30 知t=30时,铯137 含量的变化率是-10ln2(太贝克/年),则M(60)等于( ) ... A.5太贝克 B.75ln2太贝克 C.150ln2太贝克 D.150太贝克 答案 D 解析 ∵M′(t)=- 1 t 30M02-30·ln2, ∴M′(30)=-1×1M0ln2=-10ln2,∴M0=600.302 ∴M(t)=600×2-30t,∴M(60)=600×2-2=150(太贝克). 4.某企业第三年的产量比第一年的产量增长 下结论正确的是 A.x>22% B.x<22% C.x=22% D.x的大小由第一年的产量确定 答案B 44%,若每年的平均增长率相同 (设为 ( x),则以 ) 解析设第一年的产量为a,则a(1+x)2=a(1+44%), ∴x=20%. 5.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货 物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库, 这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在 离车站 ( ) A.5千米处 B.4千米处 C.3千米处 D.2千米处 答案 A 解析 由题意得,y1=k1,y2=k2x,其中x>0,当x=10时,代入两项费用 y1,y2分别是 x 2万元和8万元,可得k1 4 20 4 204 20 4 x, =20,k2=,y1+y2= x +x≥2 ·x=8,当且仅当 x = 5 5 x5 5 即x=5时取等号,故选 A. 题型一 二次函数模型 例1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y= x2 -48x+8000,已知此生产线年产量最大 5 为210吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润? 最大利润是多少? 思维启迪: (1)根据函数模型,建立函数解析式. (2)求函数最值. 解 (1)每吨平均成本为y(万元).x y x 8000 x8000 则x= 5+ x-48≥2 5·x -48=32, x8000 当且仅当5=x,即x=200时取等号. ∴年产量为200吨时,每吨平均成本最低,最低为32万元. (2)设可获得总利润为R(x)万元, 2 则R(x)=40x-y=40x-x5+48x-8000 2 =-x+88x-8000 5 1 2 +1680(0 ≤x≤210) =- 5(x-220) . ∵R(x)在[0,210]上是增函数,∴x=210时, 12 R(x)有最大值为-(210-220)+1680=1660. ∴年产量为210吨时,可获得最大利润1660万元. 探究提高二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时, 一定要注意对称轴与给定区间的关系: 若对称轴在给定的区间内,可在对称轴处取最值,在离对称轴较远的端点处取另一最值;若对称轴不在给定的区间内,最值都在区间的端点处取得. 某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 2 000+20x-0.1x (0 25 万元,则生产者不亏本时 (销售收入不小于 总成本)的最低产量是 () A.100台 B.120台 C.150 台 D.180台 答案 C 解析 设利润为f(x)万元,则 f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2) =0.1x2+5x-3000(0 令f(x)≥0,得x≥150, ∴生产者不亏本时的最低产量是 150台. 题型二指数函数模型 例2诺贝尔奖发放方式为每年一发,把奖金总额平均分成6份,奖励给分别在6项(物理、 化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金 的总金额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息作基金总额,以便保证奖金数逐 年增加.假设基金平均年利率为r=6.24%.资料显示: 1999年诺贝尔奖金发放后基金总 额约为19800万美元.设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额 (1999年记为 f (1),2000年记为f (2),,依次类推). (1) 用f (1)表示f (2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数 f(x)的表达式; (2) 试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“ 2009年度诺贝尔奖各项奖金高达 150万美 元”是否为真,并说明理由. (参考数据: 1.03129=1.32) 思维启迪: 从所给信息中找出关键词,增长率问题可以建立指数函数模型. 解 1 (1)由题意知,f (2)=f (1)(1+6.24%)-f (1)6·.24%=f (1)(1+3.12%), 2 1 f(3)=f (2)(1+6.24%)-2f (2)6·.24% =f (2)(1+3.12%)=f (1)(1+3.12%)2,∴f(x)=19800(1+3.12%)x-1(x∈N*). (2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为 f(10)=19800(1+3.12%)9=26136, 11 故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)6·.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了 62 约14万美元,是假新闻. 探究提高 此类增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型 y=N(1+p)x(其中N 是基础数,p为增长率,x为时间)和幂函数模型 y=a(1+x)n(其中a为基础数,x为增长 率,n为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应 求解. 已知某物体的温度θ(单位: 摄氏度)随时间t(单位: 分钟)的变化规律: θ=m·2t+ 2 1 -t (t≥0,并且m>0). (1)如果m=2,求经过多少时间,物体的温度为 5摄氏度; (2)若物体的温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围.解 (1)若m=2,则θ=2·2t+21-t=22t+21t, t 1 5 t 1 5 当θ=5时,2 + 2t= 2,令2 =x≥1,则x+x =2, 即2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12(舍去),此时t=1. 所以经过1分钟,物体的温度为 5摄氏度. (2)物体的温度总不低于 2摄氏度,即θ≥2恒成立, t 2 1 1 恒成立. 亦m·2 +2≥2恒成立,亦即m≥22- 2 t t 2t 1 2 令 2t=x,则0 2 1 1 由于x-x≤ 4,∴m≥ 2. 因此,当物体的温度总不低于 2摄氏度时,m的取值范围是 1,+∞. 2 题型三 分段函数模型 例3为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本 y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y= 132 x-80x+5040x,x∈[120,144, 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产 12 x-200x+80000,x∈[144,500], 品价值为200元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利? 如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? 思维启迪: 题目中月处理成本与月处理量的关系为分段函数关系,项目获利和月处理量 的关系也是分段函数关系. 解 (1)当x∈[200,300]时,设该项目获利为S, 则S=200x-12x2-200x+80000 1 2 1 2 =- 2x+400x-80000=- 2(x-400) , 所以当x∈[200,300] 时,S<0,因此该单位不会获利. 当x=300时,S取得最大值-5000, 所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损. (2)由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为 1 2 -80x+5040,x∈[120,144. y 3x x= 1 80000 -200,x∈[144,500]. 2x+ x y12 ①当x∈[120,144)时,x=3x-80x+5040 =13(x-120)2+240, y 所以当x=120时,x取得最小值240. ②当x∈[144,500]时, y 1 80000 1 80000 x= 2x+ x -200≥2 2x× x-200 =200, 1 80000 y 当且仅当 2x= x ,即x=400时,x取得最小值200. 因为200<240,所以当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低. 探究提高本题的难点是函数模型是一个分段函数,由于月处理量在不同范围内,处理 的成本对应的函数解析式也不同,故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值,然 后将这些区间内的最值进行比较确定最值. (2011·京北)根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位: 分钟)为f(x)
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