几何图形中的最值问题.docx
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几何图形中的最值问题.docx
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几何图形中的最值问题
几何图形中的最值问题
引言:
最值问题可以分为最大值和最小值。
在初中包含三个方面的问题:
1.函数:
①二次函数有最大值和最小值;②一次函数中有取值围时有最大值和最小值。
2.不等式:
①如x≤7,最大值是7;②如x≥5,最小值是5.
3.几何图形:
①两点之间线段线段最短。
②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短,③在三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
一、最小值问题
例1.如图4,已知正方形的边长是8,M在DC上,且DM=2,N为线段AC上的一动点,求DN+MN的最小值。
解:
作点D关于AC的对称点D/,则点D/与点B重合,连BM,交AC于N,连DN,则DN+MN最短,且DN+MN=BM。
∵CD=BC=8,DM=2,∴MC=6,
在Rt△BCM中,BM=
=10,
∴DN+MN的最小值是10。
例2,已知,MN是⊙O直径上,MN=2,点A在⊙O上,∠AMN=300,B是弧AN的中点,P是MN上的一动点,则PA+PB的最小值是
解:
作A点关于MN的对称点A/,连A/B,交MN于P,则PA+PB最短。
连OB,OA/,
∵∠AMN=300,B是弧AN的中点,
∴∠BOA/=300,根据对称性可知
∴∠NOA/=600,∴∠MOA/=900,
在Rt△A/BO中,OA/=OB=1,
∴A/B=
即PA+PB=
例3.如图6,已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x上确定一点P,使点P到D、E两点的距离之和最小,并求出最小值。
解:
作点E关于直线y=x的对称点M,
连MD交直线y=x于P,连PE,
则PE+PD最短;即PE+PD=MD。
∵E(-1,-4),∴M(-4,-1),
过M作MN∥x轴的直线交过D作DN∥y轴的直线于N,
则MN⊥ND,又∵D(1,-3),则N(1,-1),
在Rt△MND中,MN=5,ND=2,∴MD=
=
。
∴最小值是
。
练习
1.(20123分)如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为▲cm.
[答案]15。
[解]如图,圆柱形玻璃杯展开(沿点A竖直剖开)后侧面是一个长18宽12的矩形,作点A关于杯上沿MN的对称点B,连接BC交MN于点P,
连接BM,过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知
AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,且AP=BP。
由已知和矩形的性质,得DC=9,BD=12。
在Rt△BCD中,由勾股定理得
。
∴AP+PC=BP+PC=BC=15,
即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
2.正方形ABCD边长是4,∠DAC的平分线交CD与点E,点P,Q分别是AD,AE上的动点(两动点不重合),则PQ+DQ的最小值是
解:
过点D作DF⊥AC,垂足为F,
则DF即为PQ+DQ的最小值.
∵正方形ABCD的边长是4,
∴AD=4,∠DAC=45°,
在直角△ADF中,∠AFD=90°,∠DAF=45°,AD=4,
∴DF=AD•sin45°=4×
=2
故答案为2
3.(2009•)如图,在锐角△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是______.
解:
过B作关于AD的对称点B/,则B/在AC上,
且AB=AB/=4,MB=MB/,B/MN最短,即为B/H最短。
在Rt△AHB/中,
∠B/AH=45°,AB/=4,
∴B/H=4,
∴BM+MN的最小值是4.
4.如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为,
解:
∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,
∵∠A=120°,∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°,
作点P关于直线BD的对称点P′,连接P/Q,PC,
则P/Q的长即为PK+QK的最小值,由图可知,
当点Q与点C重合,CP/⊥AB时PK+QK的值最小,
在Rt△BCP/中,∵BC=AB=2,∠B=60°,
∴CP/=BC•sinB=2×=.
5.(2012)如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为[]
A.130°B.120°C.110°D.100°
解:
作A关于BC和ED的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值.作DA延长线AH,
∵∠EAB=120°,
∴∠HAA′=60°,
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°,
∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″
=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°,
故选:
B.
6.(2011•贵港)如图所示,在边长为2的正△ABC中,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,点P为线段EF上一个动点,连接BP、GP,则△BPG的周长的最小值是
解:
要使△PBG的周长最小,而BG=1一定,
只要使BP+PG最短即可,
连接AG交EF于M,
∵等边△ABC,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,
∴AG⊥BC,EF∥BC,
∴AG⊥EF,AM=MG,
∴A、G关于EF对称,
即当P和E重合时,此时BP+PG最小,即△PBG的周长最小,
AP=PG,BP=BE,
最小值是:
PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3.
故答案为:
3.
7.(第二阶段十三)在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A的坐标是(9,0),tan∠BOA=
,点C的坐标为(2,0),点P为斜边OB上的一个动点,则PA+PC的最小值为
解:
作A关于OB的对称点D,连接CD交OB于P,
连接AP,过D作DN⊥OA于N,则此时PA+PC的值最小,
∵Rt△OAB的顶点A的坐标为(9,0),∴OA=9,
∵tan∠BOA=
∴AB=3
,∠B=60°,
∴∠AOB=30°,∴OB=2AB=6
由三角形面积公式得:
S△OAB=
×OA×AB=
×OB×AM,
即9×3
=6
AM,
∴AM=
,∴AD=2×
=9,
∵∠AMB=90°,∠B=60°,∴∠BAM=30°,
∵∠BAO=90°,∴∠OAM=60°,
∵DN⊥OA,∴∠NDA=30°,∴AN=
AD=
,由勾股定理得:
DN=
=
=
,
∵C(2,0),∴CN=9――2
=
,
在Rt△DNC中,由勾股定理得:
DC=
=
=
即PA+PC的最小值是
,
8.(2013)如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为(3,
),点C的坐标为(
,0),点P为斜边OB上的一动点,则△PAC周长的最小值为( )
解:
作A关于OB的对称点D,连接CD交OB于P,连接AP,过D作DN⊥OA于N,
则此时PA+PC的值最小,
∵DP=PA,∴PA+PC=PD+PC=CD,
∵B(3,),
∴AB=,OA=3,∠B=60°,由勾股定理得:
OB=2,
由三角形面积公式得:
×OA×AB=×OB×AM,
∴AM=,∴AD=2×=3,
∵∠AMB=90°,∠B=60°,∴∠BAM=30°,
∵∠BAO=90°,∴∠OAM=60°,
∵DN⊥OA,∴∠NDA=30°,
∴AN=AD=,由勾股定理得:
DN=,
∵C(,0),∴CN=3﹣﹣=1,
在Rt△DNC中,由勾股定理得:
DC==,
即△PAC周长的最小值为
+,
9.(2013•模拟.仿真一)在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(20,0)(20,10)。
在线段AC、AB上各有一动点M、N,则当BM+MN为最小值时,点M的坐标是()
解:
如图,作点B关于AC的对称点B′,过点B′作B′N⊥OB于N,B′N交AC于M,则B′N=B′M+MN=BM+MN,B′N的长就是BM+MN的最小值.连接OB′,交DC于P.
∵四边形ABCD是矩形,∴DC∥AB,
∴∠BAC=∠PCA,
∵点B关于AC的对称点是B′,∴∠PAC=∠BAC,
∴∠PAC=∠PCA,∴PA=PC.
令PA=x,则PC=x,PD=20-x.
在Rt△ADP中,∵PA2=PD2+AD2,
∴x2=(20-x)2+102,∴x=12.5.
∵cos∠B′ON=cos∠OPD,∴ON:
OB′=DP:
OP,
∴ON:
20=7.5:
12.5,∴ON=12.
∵tan∠MON=tan∠OCD,∴MN:
ON=OD:
CD,
∴MN:
12=10:
20,∴MN=6.
∴点M的坐标是(12,6).故答案为(12,6).
10.如图,在矩形ABCD中,AB=20,BC=10,在AC、AB上各取一点M、N,使得BM+MN有最小值,求最小值。
解:
如图,作点B关于直线AC的对称点B′,交AC与E,连接B′M,
过B′作B′G⊥AB于G,交AC于F,
由对称性可知,B′M+MN=BM+MN≥B′G,
当且仅当M与F、点N与G重合时,等号成立,AC=10
,
∵点B与点B′关于AC对称,∴BE⊥AC,
∴S△ABC=
AC•BE=
AB•BC,
得BE=4
,BB′=2BE=8
因∠B′BG+∠CBE=∠ACB+∠CBE=90°,
则∠B′BG=∠ACB,
又∠B′GB=∠ABC=90°,
得△B′GB∽△ABC,
B′G=16,故BM+MN的最小值是16cm.
故答案为:
16cm.
11.如图,已知正方形ABCD的边长为10,点P是对角线BD上的一个动点,M、N分别是BC、CD边上的中点,则PM+PN的最小值是
解:
作点N关于BD的对称点N′,交AD与N/,连接N/M,则N/M=AB最短。
故答案为:
MN/=10cm
12.(仿真六)如图,正方形ABCD的边长为2,E是BC中点.P是BD上的一个动点(P与B、D不重合)
(1)求证:
△APB≌△CPB;
(2)设折线EPC的长为y,求y的最小值,并说明点P此时的位置.
解:
AE=
BD=2
可证BP=
BD,∴BP=
距B点
。
13.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠C=900,BC=2
,B是三角形的角的平分线,点E、F是BD和BC上的动点,则CE+EF的最小值
解:
作C关于BD的对称点C/,过C/作C/F⊥BC于F,则CE+EF的最小值是C/F。
C/F∥AC,∴
∴
∴C/F=2,CE+EF的最小值是2.
14.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=DC=4,BC=8,N中BC上,CN=2,E是BC的中点,M是AC上的一个动点,则EM+MN的最小值
解:
作N点关于AC的对称点N’,连接N’E交AC于M
∴∠DAC=∠ACB,∠DAC=∠DCA,∴∠ACB=∠DCA,
∴点N关于AC对称点N′在CD上,CN=CN′=2,
又∵DC=4,
∴EN’为梯形的中位线,
∴EN′=
(AD+BC)=6,
∴EM+MN最小值为:
EN′=6.
16.已知等腰梯形ABCD,AD∥BC,AB=DC,AC平分∠BCD,BA⊥AC,若AC=4
P、M、N分别是AC、AD、DC上的任意一点,则PM+PN的最小值
解:
作点N关于AC的对称点N/,过N/作BC的垂线交AD于M,MN/交AC于点P,则MN最短是夹在AD与BC间的垂线段最短。
可知∠B=600,在Rt△ABC中,AC=4
,则AB=4.
在Rt△ABH中,AH=sin600×4=
×4=2
.即PM+PN的最小值是2
。
二,最大值问题
知识点:
求
的最大值;①A,B在直线l的同侧.②A,B在直线l的两侧.
1.两点A,B在直线MN外的同侧,点A到MN的距离AC=8,点B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN上运动,则
的最大值是。
解:
延长AB交L于点P′,
∵P/A-P/B=AB,由三角形三边关系可知AB>|PA-PB|,AB>|PA-PB|,
∴当点P运动到P′点时,|PA-PB|最大,
∵BD=5,CD=4,AC=8,
过点B作BE⊥AC,则BE=CD=4,AE=AC-BD=8-5=3,
∴AB2=AE2+BE2=16+9=25.∴AB=5.
∴|PA-PB|=5为最大.故答案为:
5.
2.已知在△ABC中,AB=3,AC=2,以BC为边的△BCP是等边△,求AB的最大值和最小值。
解:
将△PAC绕P点逆时针旋转600得到△PBA/,则AA/=AP
A/B=AC,∠APA/=600,可得到等边三角形AA/P.
∴AB=3,AC=A/B=2,则AA/:
∴AB-A/B≤AA/≤AB+A/B
即1≤AA/≤5,故AP的最大值是5,最小值是1.
3.如图,正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点(可与B点或C点重合),分别过B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别是B′、C′、D′,则BB′+CC′+DD′的最大值为22,最小值为
解:
连接AC、DP,S正方形ABCD=1×1=1,由勾股定理得:
AC=
∵AB=1,∴1≤AP≤
S△DPC=S△APC=
AP×CC′,
1=S正方形ABCD=S△ABP+S△ADP+S△DPC=
·AP(BB′+DD′+CC′),
∴
·AP=1/BB′+DD′+CC′
∵1≤AP≤
即
≤AP≤
,
∴
≤1/BB′+DD′+CC′≤
(如
≤
≤
)
∴
≤BB′+CC′+DD′≤2,
故答案为:
2,
3
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