MatLAB在主成分分析中的应用.docx

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MatLAB在主成分分析中的应用

§10.利用Matlab编程实现主成分分析

1.概述

Matlab语言是当今国际上科学界（尤其是自动控制领域）最具影响力、也是最有活力的软件。

它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。

它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、与其他程序和语言的便捷接口的功能。

Matlab语言在各国高校与研究单位起着重大的作用。

主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。

1.1主成分分析计算步骤

计算相关系数矩阵

（1）

在（3.5.3）式中，rij（i，j=1，2，…，p）为原变量的xi与xj之间的相关系数，其计算公式为

（2）

因为R是实对称矩阵（即rij=rji），所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。

计算特征值与特征向量

首先解特征方程

，通常用雅可比法（Jacobi）求出特征值

，并使其按大小顺序排列，即

；然后分别求出对应于特征值

的特征向量

。

这里要求

=1，即

，其中

表示向量

的第j个分量。

计算主成分贡献率及累计贡献率

主成分

的贡献率为

累计贡献率为

一般取累计贡献率达85—95%的特征值

所对应的第一、第二，…，第m（m≤p）个主成分。

计算主成分载荷

其计算公式为

（3）

得到各主成分的载荷以后，还可以按照（3.5.2）式进一步计算，得到各主成分的得分

（4）

2.程序结构及函数作用

在软件Matlab中实现主成分分析可以采取两种方式实现：

一是通过编程来实现；二是直接调用Matlab种自带程序实现。

下面主要主要介绍利用Matlab的矩阵计算功能编程实现主成分分析。

2.1程序结构

主函数

子函数

2.2函数作用

Cwstd.m——用总和标准化法标准化矩阵

Cwfac.m——计算相关系数矩阵；计算特征值和特征向量；对主成分进行排序；计算各特征值贡献率；挑选主成分（累计贡献率大于85%），输出主成分个数；计算主成分载荷

Cwscore.m——计算各主成分得分、综合得分并排序

Cwprint.m——读入数据文件；调用以上三个函数并输出结果

3.源程序

3.1cwstd.m

%cwstd.m,用总和标准化法标准化矩阵

functionstd=cwstd（vector）

cwsum=sum（vector,1）;%对列求和

[a,b]=size（vector）;%矩阵大小,a为行数,b为列数

fori=1:

a

forj=1:

b

std（i,j）=vector（i,j）/cwsum（j）;

end

end

3.2cwfac.m

%cwfac.m

functionresult=cwfac（vector）;

fprintf（'相关系数矩阵:

\n'）

std=CORRCOEF（vector）%计算相关系数矩阵

fprintf（'特征向量（vec）及特征值（val）：

\n'）

[vec,val]=eig（std）%求特征值（val）及特征向量（vec）

newval=diag（val）;

[y,i]=sort（newval）;%对特征根进行排序，y为排序结果，i为索引

fprintf（'特征根排序：

\n'）

forz=1:

length（y）

newy（z）=y（length（y）+1-z）;

end

fprintf（'%g\n',newy）

rate=y/sum（y）;

fprintf（'\n贡献率：

\n'）

newrate=newy/sum（newy）

sumrate=0;

newi=[];

fork=length（y）:

-1:

1

sumrate=sumrate+rate（k）;

newi（length（y）+1-k）=i（k）;

ifsumrate>0.85break;

end

end%记下累积贡献率大85%的特征值的序号放入newi中

fprintf（'主成分数：

%g\n\n',length（newi））;

fprintf（'主成分载荷：

\n'）

forp=1:

length（newi）

forq=1:

length（y）

result（q,p）=sqrt（newval（newi（p）））*vec（q,newi（p））;

end

end%计算载荷

disp（result）

3.3cwscore.m

%cwscore.m,计算得分

functionscore=cwscore（vector1,vector2）;

sco=vector1*vector2;

csum=sum（sco,2）;

[newcsum,i]=sort（-1*csum）;

[newi,j]=sort（i）;

fprintf（'计算得分：

\n'）

score=[sco,csum,j]

%得分矩阵：

sco为各主成分得分；csum为综合得分；j为排序结果

3.4cwprint.m

%cwprint.m

functionprint=cwprint（filename,a,b）;

%filename为文本文件文件名，a为矩阵行数（样本数），b为矩阵列数（变量指标数）

fid=fopen（filename,'r'）

vector=fscanf（fid,'%g',[ab]）;

fprintf（'标准化结果如下：

\n'）

v1=cwstd（vector）

result=cwfac（v1）;

cwscore（v1,result）;

4.程序测试

4.1原始数据

中国大陆35个大城市某年的10项社会经济统计指标数据见下表。

城市

名称

年底

总人口

（万人）

非农业

人口比（%）

农业

总产值

（万元）

工业

总产值

（万元）

客运总量

（万人）

货运总量

（万吨）

地方财政

预算内收入（万元）

城乡居民年底储蓄余额

（万元）

在岗职工人数（万人）

在岗职工工资总额

（万元）

北京

1249.90

0.5978

1843427

19999706

20323

45562

2790863

26806646

410.80

5773301

天津

910.17

0.5809

1501136

22645502

3259

26317

1128073

11301931

202.68

2254343

石家庄

875.40

0.2332

2918680

6885768

2929

1911

352348

7095875

95.60

758877

太原

299.92

0.6563

236038

2737750

1937

11895

203277

3943100

88.65

654023

呼和浩特

207.78

0.4412

365343

816452

2351

2623

105783

1396588

42.11

309337

沈阳

677.08

0.6299

1295418

5826733

7782

15412

567919

9016998

135.45

1152811

大连

545.31

0.4946

1879739

8426385

10780

19187

709227

7556796

94.15

965922

长春

691.23

0.4068

1853210

5966343

4810

9532

357096

4803744

102.63

884447

哈尔滨

927.09

0.4627

2663855

4186123

6720

7520

481443

6450020

172.79

1309151

上海

1313.12

0.7384

2069019

54529098

6406

44485

4318500

25971200

336.84

5605445

南京

537.44

0.5341

989199

13072737

14269

11193

664299

5680472

113.81

1357861

杭州

616.05

0.3556

1414737

12000796

17883

11684

449593

7425967

96.90

1180947

宁波

538.41

0.2547

1428235

10622866

22215

10298

501723

5246350

62.15

824034

合肥

429.95

0.3184

628764

2514125

4893

1517

233628

1622931

47.27

369577

福州

583.13

0.2733

2152288

6555351

8851

7190

467524

5030220

69.59

680607

厦门

128.99

0.4865

333374

5751124

3728

2570

418758

2108331

46.93

657484

南昌

424.20

0.3988

688289

2305881

3674

3189

167714

2640460

62.08

479,555

济南

557.63

0.4085

1486302

6285882

5915

11775

460690

4126970

83.31

756696

青岛

702.97

0.3693

2382320

11492036

13408

17038

658435

4978045

103.52

961704

郑州

615.36

0.3424

677425

5287601

10433

6768

387252

5135338

84.66

696848

武汉

740.20

0.5869

1211291

7506085

9793

15442

604658

5748055

149.20

1314766

长沙

582.47

0.3107

1146367

3098179

8706

5718

323660

3461244

69.57

596986

广州

685.00

0.6214

1600738

23348139

22007

23854

1761499

20401811

182.81

3047594

深圳

119.85

0.7931

299662

20368295

8754

4274

1847908

9519900

91.26

1890338

南宁

285.87

0.4064

720486

1149691

5130

3293

149700

2190918

45.09

371809

海口

54.38

0.8354

44815

717461

5345

2356

115174

1626800

19.01

198138

重庆

3072.34

0.2067

4168780

8585525

52441

25124

898,912

9090969

223.73

1606804

成都

1003.56

0.335

1935590

5894289

40140

19632

561189

7479684

132.89

1200671

贵阳

321.50

0.4557

362061

2247934

15703

4143

197908

1787748

55.28

419681

昆明

473.39

0.3865

793356

3605729

5604

12042

524216

4127900

88.11

842321

西安

674.50

0.4094

739905

3665942

10311

9766

408896

5863980

114.01

885169

兰州

287.59

0.5445

259444

2940884

1832

4749

169540

2641568

65.83

550890

西宁

133.95

0.5227

65848

711310

1746

1469

49134

855051

27.21

219251

银川

95.38

0.5709

171603

661226

2106

1193

74758

814103

23.72

178621

乌鲁木齐

158.92

0.8244

78513

1847241

2668

9041

254870

2365508

55.27

517622

4.2运行结果

>>cwprint（'cwbook.txt',35,10）

fid=

6

数据标准化结果如下：

v1=

0.05810.03560.04350.06800.05570.11120.11940.11840.10830.1392

0.04230.03460.03540.07700.00890.06420.04830.04990.05340.0544

0.04070.01390.06880.02340.00800.00470.01510.03140.02520.0183

0.01390.03910.00560.00930.00530.02900.00870.01740.02340.0158

0.00970.02630.00860.00280.00640.00640.00450.00620.01110.0075

0.03150.03750.03050.01980.02130.03760.02430.03980.03570.0278

0.02530.02950.04430.02860.02950.04680.03040.03340.02480.0233

0.03210.02420.04370.02030.01320.02330.01530.02120.02700.0213

0.04310.02760.06280.01420.01840.01840.02060.02850.04550.0316

0.06100.04400.04880.18530.01760.10860.18480.11480.08880.1352

0.02500.03180.02330.04440.03910.02730.02840.02510.03000.0327

0.02860.02120.03340.04080.04900.02850.01920.03280.02550.0285

0.02500.01520.03370.03610.06090.02510.02150.02320.01640.0199

0.02000.01900.01480.00850.01340.00370.01000.00720.01250.0089

0.02710.01630.05080.02230.02430.01750.02000.02220.01830.0164

0.00600.02900.00790.01950.01020.00630.01790.00930.01240.0159

0.01970.02370.01620.00780.01010.00780.00720.01170.01640.0116

0.02590.02430.03500.02140.01620.02870.01970.01820.02200.0182

0.03270.02200.05620.03910.03670.04160.02820.02200.02730.0232

0.02860.02040.01600.01800.02860.01650.01660.02270.02230.0168

0.03440.03490.02860.02550.02680.03770.02590.02540.03930.0317

0.02710.01850.02700.01050.02390.01400.01390.01530.01830.0144

0.03180.03700.03770.07930.06030.05820.07540.09010.04820.0735

0.00560.04720.00710.06920.02400.01040.07910.04210.02400.0456

0.01330.02420.01700.00390.01410.00800.00640.00970.01190.0090

0.00250.04970.00110.00240.01460.00570.00490.00720.00500.0048

0.14280.01230.09830.02920.14370.06130.03850.04020.05900.0387

0.04660.01990.04560.02000.11000.04790.02400.03310.03500.0290

0.01490.02710.00850.00760.04300.01010.00850.00790.01460.0101

0.02200.02300.01870.01230.01540.02940.02240.01820.02320.0203

0.03130.02440.01740.01250.02830.02380.01750.02590.03000.0213

0.01340.03240.00610.01000.00500.01160.00730.01170.01730.0133

0.00620.03110.00160.00240.00480.00360.00210.00380.00720.0053

0.00440.03400.00400.00220.00580.00290.00320.00360.00630.0043

0.00740.04910.00190.00630.00730.02210.01090.01050.01460.0125

相关系数矩阵:

std=

1.0000-0.34440.84250.36030.73900.62150.40390.49670.67610.4689

-0.34441.0000-0.47500.3096-0.35390.19710.35710.26000.15700.3090

0.8425-0.47501.00000.33580.58910.50560.32360.44560.55750.3742

0.36030.30960.33581.00000.15070.76640.94120.84800.73200.8614

0.7390-0.35390.58910.15071.00000.42940.19710.31820.38930.2595

0.62150.19710.50560.76640.42941.00000.83160.89660.93020.9027

0.40390.35710.32360.94120.19710.83161.00000.92330.83760.9527

0.49670.26000.44560.84800.31820.89660.92331.00000.92010.9731

0.67610.15700.55750.73200.38930.93020.83760.92011.00000.9396

0.46890.30900.37420.86140.25950.90270.95270.97310.93961.0000

特征向量（vec）：

vec=

-0.13670.2282-0.26280.19390.6371-0.21630.3176-0.1312-0.41910.2758

-0.0329-0.02170.00090.0446-0.1447-0.44370.4058-0.55620.54870.0593

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