学年高中数学第一章立体几何初步1简单几何体学案北师大版必修2.docx

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学年高中数学第一章立体几何初步1简单几何体学案北师大版必修2

§1　简单几何体

学习目标

　1.理解旋转体与多面体的概念.2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征.3.掌握棱柱、棱锥、棱台的基本性质．

知识点一　旋转体与多面体

旋转体

一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体

多面体

把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体

知识点二　常见的旋转体及概念

思考1　以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥吗？

答案　不是．以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥的一半，不是整个圆锥．

思考2　能否由圆锥得到圆台？

答案　用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到．

梳理　

名称

图形及表示

定义

相关概念

球

记作：

球O

球面：

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球体：

球面所围成的几何体叫作球体，简称球

球心：

半圆的圆心．球的半径：

连接球心和球面上任意一点的线段．球的直径：

连接球面上两点并且过球心的线段

圆柱

记作：

圆柱OO′

以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱

高：

在旋转轴上这条边的长度．底面：

垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面．

侧面：

不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面．

母线：

不垂直于旋转轴的边，无论转到什么位置都叫作侧面的母线

圆锥

记作：

圆锥OO′

以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥

圆台

记作：

圆台OO′

以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆台

特别提醒：

（1）经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面．

（2）圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于圆锥的顶点，圆台的母线延长后相交于一点．

知识点三　常见的多面体及相关概念

思考　观察下列多面体，试指明其类别．

答案　

（1）五棱柱；

（2）四棱锥；（3）三棱台．

梳理　

（1）棱柱

①定义要点：

（ⅰ）两个面互相平行；

（ⅱ）其余各面都是四边形；

（ⅲ）每相邻两个四边形的公共边都互相平行．

②相关概念：

底面：

两个互相平行的面．

侧面：

除底面外的其余各面．

侧棱：

相邻两个侧面的公共边．

顶点：

底面多边形与侧面的公共顶点．

③记法：

如三棱柱ABC－A1B1C1.

④分类及特殊棱柱：

（ⅰ）按底面多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱、…….

（ⅱ）直棱柱：

侧棱垂直于底面的棱柱．

（ⅲ）正棱柱：

底面是正多边形的直棱柱．

（2）棱锥

①定义要点：

（ⅰ）有一个面是多边形；

（ⅱ）其余各面是三角形；

（ⅲ）这些三角形有一个公共顶点．

②相关概念：

底面：

除去棱锥的侧面余下的那个多边形．

侧面：

除底面外的其余三角形面．

侧棱：

相邻两个侧面的公共边．

顶点：

侧面的公共顶点．

③记法：

如三棱锥S－ABC.

④分类及特殊棱锥：

（ⅰ）按底面多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥、……，

（ⅱ）正棱锥：

底面是正多边形，且各侧面全等的棱锥．

（3）棱台

①定义要点：

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分．

②相关概念：

上底面：

原棱锥的截面．

下底面：

原棱锥的底面．

侧棱：

相邻的侧面的公共边．

顶点：

侧面与底面的公共顶点．

③记法：

如三棱台ABC－A1B1C1.

④分类及特殊棱台：

（ⅰ）按底面多边形的边数分，有三棱台、四棱台、五棱台、……，

（ⅱ）正棱台：

由正棱锥截得的棱台．

1．棱柱的侧面都是平行四边形．（　√　）

2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．（　×　）

3．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．（　×　）

4．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．（　×　）

类型一　旋转体的概念

例1　下列说法正确的是________．（填序号）

①以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；

④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．

考点　简单几何体的结构特征

题点　简单旋转体的结构特征

答案　③④

解析　①以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③④正确．

反思与感悟　

（1）判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成．

②明确旋转轴是哪条直线．

（2）简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．

跟踪训练1　下列说法：

①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；

②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；

③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；

④球的半径是球心与球面上任意一点的连线段．

其中正确的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

考点　简单几何体的结构特征

题点　简单旋转体的结构特征

答案　C

解析　②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.

类型二　多面体及其简单应用

例2　

（1）下列关于多面体的说法正确的个数为________．

①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；

②棱台的侧面一定不会是平行四边形；

③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；

④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；

⑤棱柱的每一个面都不会是三角形．

考点　简单几何体的结构特征

题点　多面体的结构特征

答案　3

解析　①中两个四棱柱放在一起，如下图所示，能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱．故①错；

②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确；

根据棱锥的概念知，③正确；

根据棱台的概念知，④正确；

棱柱的底面可以是三角形，故⑤错．

正确的个数为3.

（2）如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.

①这个长方体是棱柱吗？

如果是，是几棱柱？

为什么？

②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？

如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由．

考点　简单几何体

题点　简单几何体结构判断

解　①长方体是棱柱，是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义．

②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M－CC1N；另一部分有两个平行的平面ABMA1与DCND1，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱ABMA1－DCND1.

引申探究

若用一个平面去截本例

（2）中的四棱柱，能截出三棱锥吗？

解　如图，几何体B－A1B1C1就是三棱锥．

反思与感悟　

（1）棱柱的识别方法

①两个面互相平行．

②其余各面都是四边形．

③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．

（2）棱锥的识别方法

①有一个面是多边形．

②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．

③棱锥仅有一个顶点，它是各侧面的公共顶点．

④对几类特殊棱锥的认识

（ⅰ）三棱锥是面数最少的多面体，又称四面体．它的每一个面都可以作为底面．

（ⅱ）各棱都相等的三棱锥称为正四面体．

（ⅲ）正棱锥有以下性质：

侧面是全等的等腰三角形，顶点与底面正多边形中心的连线与底面垂直．

（3）棱台的识别方法

①上、下底面互相平行．

②各侧棱延长交于一点．

跟踪训练2　下列说法正确的是（　　）

A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台

B．两底面平行，并且各侧棱也互相平行的几何体是棱柱

C．棱锥的侧面可以是四边形

D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

考点　简单几何体

题点　简单几何体结构应用

答案　B

解析　A中所有侧棱不一定交于一点，故A不正确；B正确；C中棱锥的侧面一定是三角形，故C不正确；D中棱柱的侧面也可能平行，故D不正确．

1．下列几何体中棱柱有（　　）

A．5个B．4个

C．3个D．2个

考点　简单几何体

题点　简单几何体结构判断

答案　D

解析　由棱柱的定义知，①③为棱柱．

2．关于下列几何体，说法正确的是（　　）

A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥

C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台

考点　简单几何体

题点　简单几何体结构判断

答案　D

解析　由旋转体的结构特征知，D正确．

3．下面有关棱台说法中，正确的是（　　）

A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台

B．棱台的所有侧面都是梯形

C．棱台的侧棱长必相等

D．棱台的上下底面可能不是相似图形

考点　棱台的结构特征

题点　棱台的结构特征的应用

答案　B

解析　由棱台的结构特征知，B正确．

4．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转一周所得的几何体是（　　）

A．圆台B．圆锥

C．圆柱D．球

考点　简单旋转体的结构特征

题点　旋转体的结构特征

答案　B

解析　中线AD⊥BC，左右两侧对称，旋转体为圆锥．

5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为

，则这个圆锥的母线长为________．

考点　圆锥的结构特征

题点　与圆锥有关的运算

答案　2

解析　如图所示，

设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知，圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝

AB2，∴

＝

AB2，∴AB＝2.

故圆锥的母线长为2.

1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．

2．棱柱、棱锥、棱台定义的关注点

（1）棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：

①有两个平面（底面）互相平行；

②其余各面（侧面）每相邻两个面的公共边（侧棱）都互相平行．

（2）棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：

①有一个面（底面）是多边形；

②其余各面（侧面）是有一个公共顶点的三角形．

（3）用一水平平面截棱锥可得到棱台．

一、选择题

1．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为（　　）

A．四棱柱B．四棱锥

C．三棱柱D．三棱锥

考点　简单几何体

题点　简单几何体结构判断

答案　D

解析　四个面都是三角形的几何体只能是三棱锥．

2．如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是（　　）

A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．三棱台

考点　棱锥的结构特征

题点　棱锥的概念

答案　B

解析　由题图知，剩余的部分是四棱锥A′－BCC′B′.

3．过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是（　　）

A．有且只有一个B．一个或无穷多个

C．无数个D．以上均不正确

考点　简单几何体的结构特征

题点　简单转体的结构特征

答案　B

解析　当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆．

4．下列说法正确的是（　　）

A．圆锥的母线长等于底面圆直径

B．圆柱的母线与轴垂直

C．圆台的母线与轴平行

D．球的直径必过球心

考点　简单几何体的结构特征

题点　简单转体的结构特征

答案　D

解析　圆锥的母线长与底面圆的直径不一定相等，故A错；圆柱的母线与轴平行，故B错；圆台的母线与轴不平行，故C错；球的直径必过球心，故选D.

5．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是（　　）

A．1∶2B．1∶4C．2∶1D．4∶1

考点　棱台的结构特征

题点　与棱台有关的运算

答案　B

解析　由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B.

6．五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有（　　）

A．20B．15C．12D．10

考点　棱柱的结构特征

题点　与棱柱有关的运算

答案　D

解析　如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：

AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10（条）．

7．如图所示，正四棱锥S－ABCD的所有棱长都为a，过不相邻的两条棱SA，SC作截面SAC，则截面的面积为（　　）

A.

a2B．a2C.

a2D.

a2

考点　棱锥的结构特征

题点　与棱锥有关的运算

答案　C

解析　根据正棱锥的性质知，底面ABCD是正方形，故AC＝

a.在等腰三角形SAC中，SA＝SC＝a，又∵AC＝

a，∴∠ASC＝90°，即S△SAC＝

a2.

8．如图阴影部分所示的平面图形绕轴旋转180°所形成的几何体为（　　）

A．一个球体

B．一个球体中间挖去一个圆柱

C．一个圆柱

D．一个球体中间挖去一个长方体

考点　

题点　

答案　B

解析　外面圆旋转形成球体，中间矩形旋转形成一个圆柱．故选B.

二、填空题

9．下列说法正确的是________．（填序号）

①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；

②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；

③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；

④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；

⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥．

考点　棱锥的结构特征

题点　棱锥概念的应用

答案　⑤

解析　由正棱锥的定义可知，①②③均不正确；而④不能保证这些全等的等腰三角形的腰长都作为侧棱长，故不正确；只有⑤符合正棱锥的定义，故正确．

10．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．

考点　棱台的结构特征

题点　棱台概念的应用

答案　3

解析　如图，分割为A1－ABC，B－A1CC1，C1－A1B1B，3个棱锥．

11．在半径为13的球面上有A，B，C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．

考点　球的结构特征

题点　与球有关的运算

答案　12

解析　由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r＝

＝5，所以d＝

＝12.

三、解答题

12．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，正方体的一个面在圆锥的底面上，与这个面相对的面的四个顶点在圆锥的侧面上，求此正方体的棱长．

考点　圆锥的结构特征

题点　与圆锥有关的运算

解　作出圆锥的一个纵截面如图所示，

其中AB，AC为母线，BC为底面圆直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线，设正方体的棱长为x，

则DG＝EF＝x，DE＝GF＝

x，依题意，得

△ABC∽△ADE，

∴

＝

，∴x＝

.

13．试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干连接后构成以下简单几何体，并用适当的符号表示出来．

（1）只有一个面是等边三角形的三棱锥；

（2）四个面都是等边三角形的三棱锥；

（3）三棱柱．

考点　棱锥的结构特征

题点　棱锥的结构特征的应用

解　

（1）如图所示，三棱锥A1－AB1D1（答案不唯一）．

（2）如图所示，三棱锥B1－ACD1（答案不唯一）．

（3）如图所示，三棱柱A1B1D1－ABD（答案不唯一）．

四、探究与拓展

14．给出下列说法：

（1）圆柱的底面是圆面；

（2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；（3）圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；（4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．（填序号）

考点　简单几何体

题点　简单几何体结构应用

答案　

（1）

（2）

解析　

（1）正确，圆柱的底面是圆面；

（2）正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；

（3）不正确，圆台的任意两条母线延长一定相交于一点；

（4）不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．

15．如图所示，正三棱锥S－ABC的侧棱长为1，∠ASB＝40°，点M和点N分别是棱SB和SC上的点，求△AMN的周长的最小值．

考点　圆锥的结构特征

题点　与圆锥有关的运算

解　沿侧棱SA将正三棱锥S－ABC的侧面展开，得到三棱锥S－ABC的侧面展开图，如图所示．

连接AA′，当M，N分别为AA′与SB，SC的交点时，△AMN的周长最小，即AA′的长度．

∵SA＝SA′，∠ASB＝∠BSC＝∠CSA′＝40°，

∴∠ASA′＝120°.∴∠SAA′＝∠SA′A＝30°.

作SF⊥AA′于点F，∵SA＝1，

∴AF＝A′F＝

SA＝

，

∴AA′＝

，

即△AMN的周长的最小值为

.