圆和圆的位置关系九年级数学教案模板.docx
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圆和圆的位置关系九年级数学教案模板
圆和圆的位置关系_九年级数学教案_模板
1、教材分析
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
重点:
两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质.它们是本节的主要内容,是圆的重要概念性知识,也是今后研究圆与圆问题的基础知识.
难点:
两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用.由于两圆位置关系有5种类型,特别是相离有外离和内含,相切有外切和内切,学生容易遗漏;而在相交圆的性质应用中,学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.”看成是真命题.
2、教法建议
本节内容需要两个课时.第一课时主要研究圆和圆的位置关系;第二课时相交两圆的性质.
(1)把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体,让学生观察、分析、归纳概括,主动获得知识;
(2)要重视圆的对称美的教学,组织学生欣赏,在激发学生的学习兴趣中,获得知识,提高能力;
(3)在教学中,以分类思想为指导,以数形结合为方法,贯串整个教学过程.
第一课时圆和圆的位置关系
教学目标:
1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法;两圆连心线的性质;
2.通过两圆的位置关系,培养学生的分类能力和数形结合能力;
3.通过演示两圆的位置关系,培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力.
教学重点:
两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系.
教学难点:
两圆位置关系及判定.
(一)复习、引出问题
1.复习:
直线和圆有几种位置关系?
各是怎样定义的?
(教师主导,学生回忆、回答)直线和圆有三种位置关系,即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的
2.引出问题:
平面内两个圆,它们作相对运动,将会产生什么样的位置关系呢?
(二)观察、分类,得出概念
1、让学生观察、分析、比较,分别得出两圆:
外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系,准确给出描述性定义:
(1)外离:
两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(图
(1))
(2)外切:
两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图
(2))
(3)相交:
两个圆有两个公共点,此时叫做这两个圆相交.(图(3))
(4)内切:
两个圆有唯一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4))
(5)内含:
两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例. (图(6))
2、归纳:
(1)两圆外离与内含时,两圆都无公共点.
(2)两圆外切和内切统称两圆相切,即外切和内切的共性是公共点的个数唯一
(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类:
相离(外离和内含);相交;相切(外切和内切).
教师组织学生归纳,并进一步考虑:
从两圆的公共点的个数考虑,无公共点则相离;有一个公共点则相切;有两个公共点则相交.除以上关系外,还有其它关系吗?
可能不可能有三个公共点?
结论:
在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系.
(三)分析、研究
1、相切两圆的性质.
让学生观察连心线与切点的关系,分析、研究,得到相切两圆的连心线的性质:
如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.
这个性质由圆的轴对称性得到,有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明
2、两圆位置关系的数量特征.
设两圆半径分别为R和r.圆心距为d,组织学生研究两圆的五种位置关系,r和d之间有何数量关系.(图形略)
两圆外切d=R+r;
两圆内切d=R-r(R>r);
两圆外离d>R+r;
两圆内含d<R-r(R>r);
两圆相交R-r<d<R+r.
说明:
注重“数形结合”思想的教学.
(四)应用、练习
例1:
如图,⊙O的半径为5厘米,点P是⊙O外一点,OP=8厘米
求:
(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切,小圆⊙P的半径是多少?
(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切,大圆⊙P的半径是多少?
解:
(1)设⊙P与⊙O外切与点A,则
PA=PO-OA
∴PA=3cm.
(2)设⊙P与⊙O内切与点B,则
PB=PO+OB
∴PB=13cm.
例2:
已知:
如图,△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=8,以AC为直径作⊙O,以B为圆心,4为半径作.
求证:
⊙O与⊙B相外切.
证明:
连结BO,∵AC为⊙O的直径,AC=12,
∴⊙O的半径,且O是AC的中点
∴,∵∠C=90°且BC=8,
∴,
∵⊙O的半径,⊙B的半径,
∴BO=,∴⊙O与⊙B相外切.
练习(P138)
(五)小结
知识:
①两圆的五种位置关系:
外离、外切、相交、内切、内含;
②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系;
③两圆相切时切点在连心线上的性质.
能力:
观察、分析、分类、数形结合等能力.
思想方法:
分类思想、数形结合思想.
(六)作业
教材P151中习题A组2,3,4题.
第二课时相交两圆的性质
教学目标
1、掌握相交两圆的性质定理;
2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法;
3、通过例题的分析,培养学生分析问题、解决问题的能力;
4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美.
教学重点
相交两圆的性质及应用.
教学难点
应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线.
教学活动设计
(一)图形的对称美
相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形.相交两圆具有什么性质呢?
(二)观察、猜想、证明
1、观察:
同样相交两圆,也构成对称图形,它是以连心线为对称轴的轴对称图形.
2、猜想:
“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”.
3、证明:
对A层学生让学生写出已知、求证、证明,教师组织;对B、C层在教师引导下完成.
已知:
⊙O1和⊙O2相交于A,B.
求证:
Q1O2是AB的垂直平分线.
分析:
要证明O1O2是AB的垂直平分线,只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等,于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B.
证明:
连结O1A、O1B、O2A、O2B,∵O1A=O1B,
∴O1点在AB的垂直平分线上.
又∵O2A=O2B,∴点O2在AB的垂直平分线上.
因此O1O2是AB的垂直平分线.
也可考虑利用圆的轴对称性加以证明:
∵⊙Ol和⊙O2,是轴对称图形,∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴.
∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上.
∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点,
∴连心线O1O2是AB的垂直平分线.
定理:
相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
注意:
相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦,而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.
(三)应用、反思
例1、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A,B两点,⊙Ol经O2。
求∠OlAB的度数.
分析:
由所学定理可知,O1O2是AB的垂直平分线,
又⊙O1与⊙O2是两个等圆,因此连结O1O2和AO2,AO1,△O1AO2构成等边三角形,同时可以推证⊙Ol和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形,同时还是以AB为对称轴的轴对称图形.从而可由
∠OlAO2=60°,推得∠OlAB=30°.
解:
⊙O1经过O2,⊙O1与⊙O2是两个等圆
∴OlA=O1O2=AO2
∴∠O1AO2=60°,
又AB⊥O1O2
∴∠OlAB=30°.
例2、已知,如图,A是⊙Ol、⊙O2的一个交点,点P是O1O2的中点。
过点A的直线MN垂直于PA,交⊙Ol、⊙O2于M、N。
求证:
AM=AN.
证明:
过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN,垂足为C、D,则OlC∥PA∥O2D,且AC=AM,AD=AN.
∵OlP=O2P,∴AD=AM,∴AM=AN.
例3、已知:
如图,⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点,C为⊙Ol上一点,AC交⊙O2于D,过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F.
求证:
EC∥DF
证明:
连结AB
∵在⊙O2中∠F=∠CAB,
在⊙Ol中∠CAB=∠E,
∴∠F=∠E,∴EC∥DF.
反思:
在解有关相交两圆的问题时,常作出连心线、公共弦,或连结交点与圆心,从而把两圆半径,公共弦长的一半,圆心距集中到一个三角形中,运用三角形有关知识来解,或者结合相交弦定理,圆周角定理综合分析求解.
(四)小结
知识:
相交两圆的性质:
相交两圆的连心线垂直平分公共弦.该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据.
能力与方法:
①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线,使两圆中的角或线段建立联系,为证题创造条件,起到了“桥梁”作用;②圆的对称性的应用.
(五)作业 教材P152习题A组7、8、9题;B组1题.
探究活动
问题1:
已知AB是⊙O的直径,点O1、O2、…、On在线段AB上,分别以O1、O2、…、On为圆心作圆,使⊙O1与⊙O内切,⊙O2与⊙O1外切,⊙O3与⊙O2外切,…,⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切.设⊙O的周长等于C,⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周长分别为C1、C2、…、Cn.
(1)当n=2时,判断Cl+C2与C的大小关系;
(2)当n=3时,判断Cl+C2+C3与C的大小关系;
(3)当n取大于3的任一自然数时,Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样?
证明你的结论.
提示:
假设⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r2、…、rn,通过周长计算,比较可得
(1)Cl+C2=C;
(2)Cl+C2+C3=C;(3)Cl十C2十…十Cn=C.
问题2:
有八个同等大小的圆形,其中七个有阴影的圆形都固定不动,第八个圆形,紧贴另外七个无滑动地滚动,当它绕完这些固定不动的圆形一周,本身将旋转了多少转?
提示:
1、实验:
用硬币作初步实验;结果硬币一共转了4转.
2、分析:
当你把动圆无滑动地沿着圆周长的直线上滚动时,这个动圆是转转,但是,这个动圆是沿着弧线滚动,那么方才的说法就不正确了.在我们这个题目中,那动圆绕着相当于它的圆周长的的弧线旋转的时候,一共走过的不是转;而是转,因此,它绕过六个这样的弧形的时,就转了转
一次函数【目的要求】1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。
2、使学生能够根据实际问题中的条件,确定一次函数与正比例函数的解析式。
【教学重点、难点】一次函数以及正比例函数的解析式【教学过程】一、复习提问:
1、什么是函数?
2、函数有哪几种表示方法?
3、举出几个函数的例子。
二、新课讲解:
可以选用提问时学生举出的例子,也可以直接采用教科书中的四个函数的例子。
然后让学生观察这些例子(实际上均是一次函数的解析式),y=x,s=3t等。
观察时,可以按下列问题引导学生思考:
(1)这些式子表示的是什么关系?
(在学生明确这些式子表示函数关系后,可指出,这是函数。
)
(2)这些函数中的自变量是什么?
函数是什么?
(在学生分清后,可指出,式子中等号左边的y与s是函数,等号右边是一个代数式,其中的字母x与t是自变量。
) (3)在这些函数式中,表示函数的自变量的式子,分别是关于自变量的什么式呢?
(这题牵扯到有关整式的基本概念,表示函数的自变量的式子也就是等号右边的式子,都是关于自变量的一次式。
) (4)x的一次式的一般形式是什么?
(结合一元一次方程的有关知识,可以知道,x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。
) 由以上的层层设问,最后给出一次函数的定义。
一般地,如果y=kx+b(k,b是常数,k≠0)那么,y叫做x的一次函数。
对这个定义,要注意:
(1)x是变量,k,b是常数;
(2)k≠0(当k=0时,式子变形成y=b的形式。
b是x的0次式,y=b叫做常数函数,这点,不一定向学生讲述。
) 由一次函数出发,当常数b=0时,一次函数kx+b(k≠0)就成为:
y=kx(k是常数,k≠0)我们把这样的函数叫正比例函数。
在讲述正比例函数时,首先,要注意适当复习小学学过的正比例关系,小学数学是这样陈述的:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
写成式子是 (一定) 需指出,小学因为没有学过负数,实际的例子都是k>0的例子,对于正比例函数,k也为负数。
其次,要注意引导学生找出一次函数与正比例函数之间的关系:
正比例函数是特殊的一次函数。
三、课堂练习:
课本后练习第1题.四、答疑(老师在下面巡视,学生提问题)五、小结1) 什么是一次函数?
它的解析式是什么?
2) 正比例函数呢?
六、课后作业课本后习题1、2两题
教学内容:
人见教版初一代数4.4一元一次方程的应用(例5)
[目的要求]:
1.使学生能分析问题中的相等关系,会列出一元一次方程,解简单的调配问题的应用题;
2.使学生能从应用题所求的两个未知数中选设一个,通过列方程求得这个未知数的值后,再利用它与另一个未知数以及某些已知数的关系,求得另一个未知数的值。
[重点]设未知数,列方程
[教学过程]
(一)板书课题,揭示教学目标
同学们,本节课我们继续学习“4.4一元一次方程的应用”(板书),教学目标是学会选设未知数,正确的列出一元一次方程,解有关调配问题的应用题。
调配问题应用广泛,类型多,有一定的难度,但我相信,只要同学们积极动脑,认真学习,就一定能够学好它。
(二)自学前的指导
1.明确自学内容、方法、要求。
先请同学们认真看课本225页到226页例6以前的内容,理解例5的相等关系,注意例5是怎样设未知数列方程的。
5分钟后比谁能正确地解与例5类似的应用题。
2.出示思考题:
1)在甲处劳动的有28人,在乙处劳动的有10人,现另调10人去支援,使在甲处的人数为乙处的三倍,应调往甲乙两处个多少人?
2)P228第1题;
3)P229第2题;
4)P229第3题;
(三)学生自学
1.学生自学,教师巡视,了解学生的疑难问题。
2.检查自学效果。
1)请4名学生板演4道思考题,其余学生在各自座位上做。
2)教师巡查。
(将学生中出现的问题用黄色粉笔板书在黑板上对应处,供讲评时用)
(四)点播、矫正
1.评判、矫正
1)同时评判四个学生将未知数设得对不对。
[如果全对,则引导学生在设未知数时注意:
在两个未知数中选一个设为X后,不要忘记用含X的代数式表示另一个未知数。
]
[如果有错误,老师引导学生矫正。
]
估计存在的问题:
第3题,设两池原来各有水X吨;
第4题:
设每一部分的面积为xm2。
2)同时评判四位同学列的方程对不对。
[如果全对,则:
a.引导学生说出各题的等量关系。
b.评价由其它设法所列出的方程;
c.如何列表分析。
]
[如果有错误,则引导更正。
]
3)同时评判四位学生解方程的结果及答得对不对。
[如果全对,则强调:
求出x后,不要忘记起另一个未知数的代数式的值。
]
[如果有错误,则引导更正。
]
2.小结。
列方程解应用题的关键是认真审题,推敲关键字句,找出相等关系,进而正确的列出方程。
(五)课堂作业
1)布置作业内容,P223习题4.4
(2)A组第3、6题;
2)学生做作业,教师巡视。
3)批改已完成的学生作业。
1、教材分析
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
重点:
切线长定理及其应用.因切线长定理再次体现了圆的轴对称性,它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据,它属于工具知识,经常应用,因此它是本节的重点.
难点:
与切线长定理有关的证明和计算问题.如120页练习题中第3题,它不仅应用切线长定理,还用到解方程组的知识,是代数与几何的综合题,学生往往不能很好的把知识连贯起来.
2、教法建议
本节内容需要一个课时.
(1)在教学中,组织学生自主观察、猜想、证明,并深刻剖析切线长定理的基本图形;对重要的结论及时总结;
(2)在教学中,以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线,开展在教师组织下,以学生为主体,活动式教学.
教学目标
1.理解切线长的概念,掌握切线长定理;
2.通过对例题的分析,培养学生分析总结问题的习惯,提高学生综合运用知识解题的能力,培养数形结合的思想.
3.通过对定理的猜想和证明,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,树立科学的学习态度.
教学重点:
切线长定理是教学重点
教学难点:
切线长定理的灵活运用是教学难点
教学过程()设计:
(一)观察、猜想、证明,形成定理
1、切线长的概念.
如图,P是⊙O外一点,PA,PB是⊙O的两条切线,我们把线段PA,PB叫做点P到⊙O的切线长.
引导学生理解:
切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.
2、观察
利用电脑变动点P的位置,观察图形的特征和各量之间的关系.
3、猜想
引导学生直观判断,猜想图中PA是否等于PB.PA=PB.
4、证明猜想,形成定理.
猜想是否正确。
需要证明.
组织学生分析证明方法.关键是作出辅助线OA,OB,要证明PA=PB.
想一想:
根据图形,你还可以得到什么结论?
∠OPA=∠OPB(如图)等.
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
5、归纳:
把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质
6、切线长定理的基本图形研究
如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点.直线OP交⊙O于点D,E,交AP于C
(1)写出图中所有的垂直关系;
(2)写出图中所有的全等三角形;
(3)写出图中所有的相似三角形;
(4)写出图中所有的等腰三角形.
说明:
对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键,它是灵活应用知识的基础.
(二)应用、归纳、反思
例1、已知:
如图,P为⊙O外一点,PA,PB为⊙O的切线,
A和B是切点,BC是直径.
求证:
AC∥OP.
分析:
从条件想,由P是⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,A,B是切点可得PA=PB,∠APO=∠BPO,又由条件BC是直径,可得OB=OC,由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等.于是想到可能作辅助线AB.
从结论想,要证AC∥OP,如果连结AB交OP于O,转化为证CA⊥AB,OP⊥AB,或从OD为△ABC的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来证,可获得多种证法.
证法一.如图.连结AB.
PA,PB分别切⊙O于A,B
∴PA=PB∠APO=∠BPO
∴OP⊥AB
又∵BC为⊙O直径
∴AC⊥AB
∴AC∥OP(学生板书)
证法二.连结AB,交OP于D
PA,PB分别切⊙O于A、B
∴PA=PB∠APO=∠BPO
∴AD=BD
又∵BO=DO
∴OD是△ABC的中位线
∴AC∥OP
证法三.连结AB,设OP与AB弧交于点E
PA,PB分别切⊙O于A、B
∴PA=PB
∴OP⊥AB
∴=
∴∠C=∠POB
∴AC∥OP
反思:
教师引导学生比较以上证法,激发学生的学习兴趣,培养学生灵活应用知识的能力.
例2、圆的外切四边形的两组对边的和相等.
(分析和解题略)
反思:
(1)例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质,请学生记住结论.
(2)圆内接四边形的性质:
对角互补.
P120练习:
练习1 填空
如图,已知⊙O的半径为3厘米,PO=6厘米,PA,PB分别切⊙O于A,B,则PA=_______,∠APB=________
练习2 已知:
在△ABC中,BC=14厘米,AC=9厘米,AB=13厘米,它的内切圆分别和BC,AC,AB切于点D,E,F,求AF,AD和CE的长.
分析:
设各切线长AF,BD和CE分别为x厘米,y厘米,z厘米.后列出关于x,y,z的方程组,解方程组便可求出结果.
(解略)
反思:
解这个题时,除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外,还要用到解方程组的知识,是一道综合性较强的计算题.通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力.
(三)小结
1、提出问题学生归纳
(1)这节课学习的具体内容;
(2)学习用的数学思想方法;
(3)应注意哪些概念之间的区别?
2、归纳基本图形的结论
3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.
(四)作业
教材P131习题7.4A组1.
(1),2,3,4.B组1题.
探究活动
图中找错
你能找出(图1)与(图2)的错误所在吗?
在图2中,P1A为⊙O1和⊙O3的切线、P1B为⊙O1和⊙O2的切线、P2C为⊙O2和⊙O3的切线.
提示:
在图1中,连结PC、PD,则PC、PD都是圆的直径,从圆上一点只能作一条直径,所以此图是一张错图,点O应在圆上.
在图2中,设P1A=P1B=a,P2B=P2C=b,P3A=P3C=c,则有
a=P1A=P1P3+P3A=P1P3+c ①
c=P3C=P2P3+P3A=P2P3+b ②
a=P1B=P1P2+P2B=P1P2+b ③
将②代人①式得
a=P1P3+(P2P3+b)=P1P3+P2P3+b,
∴a-b=P1P3+P2P3
由③得a-b=P1P2得
∴P1P2=P2P3+P1P3
∴P1、P2、P3应重合,故图2是错误的.
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