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高等数学(向量代数—>无穷级数)知识点
向量与空间几何
向量:
向量表示((a^b));向量运算(向量积);向量的方向和投影
空间方程:
曲面方程(旋转曲面和垂直柱面);直线方程(参数方程和投影方程)
平面方程:
点法式(法向量)、一般式、截距式;平面夹角和距离
直线方程:
一般式、对称式(方向向量)、参数式;直线夹角;平面交线(法向量积)
切平面和切线:
切线与法平面;切平面与法线
多元函数微分学
多元函数极限:
趋近方式,等阶代换
偏微分和全微分:
高阶微分(连续则可等);复合函数求导(Jacobi行列式);
多元函数极值:
偏导数判定;拉格朗日乘数法(条件极值)
重积分
二重积分:
直角坐标和极坐标;对称性;换元法
三重积分:
直角坐标、柱坐标和球坐标;对称性
重积分的应用:
曲面面积;质心;转动惯量;引力
曲线与曲面积分
曲线积分:
弧长积分;坐标曲线积分(参数方程);格林公式
面积积分:
对面积积分;坐标面积积分;高斯公式
无穷级数
级数收敛:
通项极限
正项级数:
调和级数;比较法和比较极限法;根值法;极限法;绝对收敛和条件收敛
幂级数:
收敛半径和收敛域;和函数;麦克劳林级数(二次展开)
Fourier级数:
傅里叶系数(高次三角函数积分);奇偶延拓;正弦和余弦级数;一般周期
的傅里叶级数
矢量分析与场论(空间场基础)
方向导数与梯度
方向导数:
向量参数式;偏导数;方向余弦
梯度(grad):
方向导数的最值;梯度方向;物理意义(热导方向与电场方向)
格林公式:
曲线积分—>二重积分;曲线方向与曲面方向
全微分原函数:
场的还原;折线积分
通量与散度
高斯公式:
闭合曲面—>三重积分;曲面外侧定向;曲面补齐;向量表达(通量)
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散度(div):
通量的体积元微分;物理意义(有源场(电场))
环流量与旋度
斯托克斯公式:
闭合曲线—>曲面积分;向量积定向;行列式表达;向量表达;物理意义(环
通量)
旋度(rot):
行列式斯托克斯公式;物理意义(有旋场(磁场))
第八章向量与解析几何
向量代数
定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示
向量有大小、有方向.记作a或AB
aaiajak(a,a,a)
xyzxyz
aprja,aprja,aprja
xxyyzz
模向量a的模记作aa222
aaa
xyz
和差
cabaxbx,ayby,azbz
cabca-b
单位向量a0,则ea
a
a
e
a
(ax,ay,az)
222
aaa
xyz
方向余弦
设a与x,y,z轴的夹角分别为,,,
则方向余弦分别为cos,cos,cos
xaz
aa
y
cos
,cos,cos
aaa
e(cos,cos,cos)
a
222
cos+coscos1
点乘(数量积)
ababcos,为向量a与b的夹
角
a
b
axbabab
xyyzz
叉乘(向量积)
cab
ijk
cabsin
abaaa
为向量a与b的夹角
x
向量c与a,b都垂直
bbb
xyz
y
z
定理与公式
垂直abab0abaxbxaybyazbz0
平行a//bab0a//b
aa
a
yz
x
bbb
xyz
交角余弦两向量夹角余弦
cos
a
a
b
b
cos
ababab
xxyyzz
222222
aaabbb
xyzxyz
投影
向量a在非零向量b上的投影
prjaacos(ab)
b
ab
b
prja
b
ababab
xxyyzz
222
bbb
xyz
平面直线
法向量n{A,B,C}点M0(x,y,z)方向向量T{m,n,p}点M0(x0,y0,z0)
000
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方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征
一般式AxByCzD0一般式
A
1
A
2
x
x
B
1
B
2
y
y
C
C
1
2
z
z
D
D
1
2
0
0
点法式A(x0)B(yy)C(zz)0点向式
x
00
xx0yy0zz0
mnp
xxyyzz
111
x
x
0
mt
三点式
xxyyzz
212121
0y
参数式
y
0
nt
xxyyzz
313131
z
z
0
pt
xyz
截距式1
abc
两点式
xxyyzz
000
xxyyzz
101010
面面垂直A1ABBCC0线线垂直m1m2n1n2p1p20
21212
面面平行
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
C
2
线线平行
m
1
m
2
n
1
n
2
p
1
p
2
线面垂直
A
m
B
n
C
p
线面平行AmBnCp0
点面距离面面距离
M0(x0,y0,z0)AxByCzD0AxByCzD10AxByCzD20
d
Ax
0
By
2
A
0
B
2
Cz
0
C
2
D
d
DD
12
222
ABC
面面夹角线线夹角线面夹角
nn2{A2,B2,C2}s1{m1,n1,p1}s{,,}s{m,n,p}n{A,B,C}
1{A1,B1,C1}
2mnp
222
cos
2
A
1
|A1ABBCC|
21212
2
B
1
2
C
1
2
A
2
2
B
2
2
C
2
cos
2
m
1
mm
12
2
n
1
nn
12
2
p
1
p
1
2
m
2
p
2
2
2
n
2
2
p
sin
2
A
B
Am
2
C
2
Bn
Cp
2
m
2
n
2
p
x(t)
,
y(t)
,
切向量
切“线”方程:
x
x
y
y
z
z
0
)
0
0
(t)(t)(t0
00
空
间
曲
z(t)
,
(t)
T((t0),(t0),(t0))
法平“面”方程:
(t)(xx)(t)(yy)(t)(zz
0
00000
)0
线
切“线”方程:
x
x
0
y
y
0
z
z
0
:
y(x)
切向量
1(
x)(x
0
0
)
z(x)T(1,(x),(x))
法平“面”方程:
(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0
空
间
曲
面
F(x,y,z)0
法向量
n(F(x,y,z),
x000
F(x,y,z),
y000
切平“面”方程:
F(x,y,z)(xx)F(x,y,z)(yy)
x0000x0000
F(x,y,z)(zz)0
x0000
法“线“方程:
:
F(x,y,z))
z000
F
x
x
x
y
y
z
z
0
0
0
(x,y,z)F(x,y,z)F(x0,y0,z0
000y000z
)
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n(f(x,y),
x00
切平“面”方程:
f(x,y),1)
y00
fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0
或
zf(x,y)
法“线“方程:
n(f(x,y),
xx0yyzz
x00
00
f(x,y),1)
y00
f(
x
x
0
y)
0
f
y
(x,
0
y)
0
1
第十章重积分
重积分
积分类型计算方法典型例题
(1)利用直角坐标系
X—型
f(x,y)dxdy
b
a
dx
2
(
1
(
x)
x)
f
(
x,
y)dy
P141—例1、例3D
二重积分
Ifx,
yd
Y—型
(2)利用极坐标系
D
f(x,y)dxdy
d
c
dy
(
y)
2
(
1
y)
f
(
x,
y)dx
D
使用原则
(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段);
平面薄片的质
(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含
22
(xy),为实数)
量
质量=面密度
P147—例5
面积
f(cos,sin)dd
D
()2
df(cos,sin)d
()1
0202(3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当D关于y轴对称时,(关于x轴对称时,有类似结论)
0f(x,y)对于x是奇函数,
即f(x,y)f(x,y)
P141—例2
应用该性质更方便
I2f(x,y)dxdyf(x,y)对于x是偶函数,
D
1
即f(x,y)f(x,y)
D是D的右半部分
1
计算步骤及注意事项
1.画出积分区域
2.选择坐标系标准:
域边界应尽量多为坐标轴,被积函数
关于坐标变量易分离
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3.确定积分次序原则:
积分区域分块少,累次积分好算为妙
4.确定积分限方法:
图示法先积一条线,后扫积分域
5.计算要简便注意:
充分利用对称性,奇偶性
投影法
(1)利用直角坐标
截面法
P159—例1
投影
f(x,y,z)dV
b
a
dx
y(
x)
2
y(x)
1
dy
z(x,y)
2
z(x,y)
1
f
(
x,
y,
z)dz
P160—例2
xrcos
(2)利用柱面坐标yrsin
zz
三重积分
相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标
I
适用范围:
P161—例3
f(x,y,z)dv
○1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单;如旋转体
○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如
2222
f(xy)f(xz)
空间立体物的
br()
2
f(x,y,z)dVdzdf(cos,sin,z)d
ar()
1
质量xcosrsincos
(3)利用球面坐标ysinrsinsin
zrcos质量=密度
面积
dvr2sindrdd
P165—10-
(1)
适用范围:
○1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如,球体,锥体.
○2被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如,
222
f(xyz)
(,)
2222
Iddf(sincos,sinsin,cos)sind
(,)111
(4)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
第十一章曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分
积分类型计算方法典型例题
参数法(转化为定积分)
第一类曲线积分
22
(1)L:
y(x)If((t),(t))'(t)'(t)dt
If(x,y)ds
L
曲形构件的质量
(2)
x(t)
L:
(t)
y(t)
I
b
a
f(x,y(x))1
2
y'
(
x)dx
P189-例1
P190-3
xr()cos
质量=线密度
(3)rr()()L:
yr()sin
弧长
22
If(r()cos,r()sin)r()r'()
d
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(1)参数法(转化为定积分)
x(t)
L:
(t单调地从到)
y(t)
P196-例1、例2、
例3、例4
PdxQdy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt
L
(2)利用格林公式(转化为二重积分)
条件:
①L封闭,分段光滑,有向(左手法则围成平面区域D)
②P,Q具有一阶连续偏导数
QP
结论:
PdxQdy()dxdy
L
xy
D
平面第二类曲线
满足条件直接应用
P205-例4
P214-5
(1)(4)
积分
应用:
有瑕点,挖洞
不是封闭曲线,添加辅助线
IPdxQdy
L
(3)利用路径无关定理(特殊路径法)
等价条件:
①
QP
xy
②PdxQdy0
L
③
PdxQdy与路径无关,与起点、终点有关
L
P211-例5、例6、
例7
④PdxQdy具有原函数u(x,y)
变力沿曲线所做
的功
(特殊路径法,偏积分法,凑微分法)
(4)两类曲线积分的联系
L
PdxQdyPQds
L
I(coscos)
(1)参数法(转化为定积分)
PdxQdyRdz{P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)空间第二类曲线
积分R[(t),(t),(t)](t)}dt
(2)利用斯托克斯公式(转化第二类曲面积分)
条件:
①L封闭,分段光滑,有向
②P,Q,R具有一阶连续偏导数
IPdxQdyRdz
L
P240-例1
PdxQdyRdz
L
变力沿曲线所做
结论:
(
R
y
Q
z
)dydz
(
P
z
R
x
)
dzdx
(
Q
x
p
y
)dxdy
的功
满足条件直接应用应用:
不是封闭曲线,添加辅助线
投影法
第一类曲面积分
:
投影到面zz(x,y)xoy
If(x,y,z)dv
If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y))1
曲面薄片的质量
D
xy
2
z
x
2
zdxdy
y
P217-例1、例2
质量=面密度
类似的还有投影到yoz面和zox面的公式
面积
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(1)投影法
○1Pdydzp(xy,zyzdydz
(),,)
D
yz
:
zz(x,y),为的法向量与x轴的夹角
前侧取“+”,cos0;后侧取“”,cos0
○2Qdzdxpxyxzzdzdx
(,(,),)
D
yz
P226-例2
第二类曲面积分
:
yy(x,z),为的法向量与y轴的夹角
右侧取“+”,cos0;左侧取“”,cos0
○3QdxdyQxy,zxydxdy
(,(,))
D
yz
:
xx(y,z),为的法向量与x轴的夹角
IPdydzQdzdxR
上侧取“+”,cos0;下侧取“”,cos0
(2)高斯公式右手法则取定的侧
条件:
①封闭,分片光滑,是所围空间闭区域的外侧
流体流向曲面一
②P,Q,R具有一阶连续偏导数
侧的流量
PQR
结论:
PdydzQdzdzRdxdy()
xyz
P231-例1、例2
满足条件直接应用应用:
不是封闭曲面,添加辅助面
(3)两类曲面积分之间的联系
PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dS
P228-例3zz
转换投影法:
()()
dydzdxdydzdxdxdy
xy
所有类型的积分:
○1定义:
四步法——分割、代替、求和、取极限;
○2性质:
对积分的范围具有可加性,具有线性性;
○3对坐标的积分,积分区域对称与被积函数的奇偶性。
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第十二章级数
○1若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛
○2两个收敛级数的和差仍收敛
注:
一敛、一散之和必发散;两散和、差必发散.
用收敛定义,
lims存在
n
n
○3去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性
一
○4若级数收敛则对这级数的项任意加括号后所成
般
的级数仍收敛,且其和不变。
项
常数项级数的基本性质
推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数
级
数
也发散注:
收敛级数去括号后未必收敛.
常
数
项
级
交错
级数
常数项级数的基本性质
○
5lim0
(必要条件)如果级数收敛则
u
n
n0
莱布尼茨判别法若unun1且limn0
u,则
n
n1
(1)
n1u收敛
n
数
u和vn都是正项级数,且unvn.若vn收敛,则
n
比较判别法
u也收敛;若un发散,则vn也发散.
n
正
项
级
数
比较判别法
的极限形式
u
u和
v都是正项级数,且liml,则
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