九年级数学总复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训.docx
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九年级数学总复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训
2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练
方差与频率分布
◆知识讲解
1.方差的定义
在一组数据x1,x2,…,xn中,各数据与它们的平均数
的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差.通常用“S2”表示,即S2=
[(x1-
)2+(x2-
)2+…+(xn-
)2].
2.方差的计算
(1)基本公式
S2=
[(x1-
)2+(x2-
)2+…+(xn-
)2]
(2)简化计算公式(Ⅰ)
S2=
[(x12+x22+…+xn2)-n
2],也可写成S2=
(x12+x22+…+xn2)-
2,此公式的记忆方法是:
方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.
(3)简化计算公式(Ⅱ)
S2=
[(x`12+x`22+…+x`n2)-nx
`2].
当一组数据中的数据较大时,可以依照简化平均数的计算方法,将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a,得到一组数据x`1=x1-a,x`2=x2-a,…x`n=xn-a,那么S2=
[(x`12+x`22+…+x`n2)-n
`2],也可写成S2=
(x`12+x`22+…+x`n2)-
`2.记忆方法是:
方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方.
3.标准差的定义和计算
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,用“S”表示,即
S=
=
4.方差和标准差的意义
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大小,我们所研究的权是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况.
方差较大的数据波动较大,方差较小的数据波动较小.
5.频率分布的意义
前面学习的平均数与方差,反映了样本和总体的两个特征:
平均水平和波动大小.但是在许多问题中,只知道这些还不够,还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小,这就需要研究如何对一组数据进行整理,以便得到它的频率分布.
6.研究频率分布的一般步骤及有关概念
(1)研究样本的频率分布的一般步骤:
①计算极差(最大值与最小值的差);②决定组距与组数;③决定分点;④列频率分布表;⑤画出频率分布直方图.
(2)频率分布的有关概念:
①极差:
最大值与最小值的差;
②频数:
落在各个小组内的数据的个数;
③频率:
每一小组的频数与数据总体(样本容量n)的比值叫做这一小组的频率.
(3)几个重要的结论:
①各小组的频数之和等于数据总数;
②各小组的频率之和等于1;
③频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,各小长方形面积之和等于1;
④各小长方形的高与该组频数成正比.
◆例题解析
例1甲、乙两个学习小组各4名学生的数学测验成绩如下(单位:
分)
甲组:
86828785乙组:
85818589
(1)分别计算这两组数据的平均数;
(2)分别计算这两组数据的方差;
(3)哪个学习小组学生的成绩比较整齐?
【分析】应用平均数计算公式和方差的计算公式求平均数和方差.
【解答】
(1)
甲=
(6+2+7+5)+80=85,
乙=
(5+1+5+9)+80=85.
(2)S甲2=
[(86-85)2+(82-85)2+(87-85)2+(85-85)2]=3.5,S乙2
=
[(85-85)2+(81-85)2+(85-85)2+(89-85)2]=8.
(3)∵S乙2>S甲2,∴甲组学习成绩较稳定.
【点评】方差是反映一组数据波动大小的量.
例2为了迎接全市体育中考,某中学对全校初三男生进行了立定跳远项目测试,并从参加测试的500名男生中随机抽取了部分男生的测试成绩(单位:
m,精确到0.01m)作为样本进行分析,绘制了如图所示的频率分布直方图(每组含最低值,不含最高值).已知图中从左到右每个小长方形的高比依次为2:
4:
6:
5:
3,其中1.80~2.00这一小组的频数为8,请根据有关信息解答下列问题:
(1)这次调查的样本容量为______,2.40~2.60这一小组的频率为_____.
(2)请指出样本成绩的中位数落在哪一小组内,并说明理由;
(3)样本中男生立定跳远的人均成绩不低于多少米?
(4)请估计该校初三男生立定跳远成绩在2.00m以上(包括2.00m)的约有多少人?
【分析】样本容量是样本数据,不带单位,确定中位数时,首先将样本数据按大小排序后再求出,然后分析落在哪个小组.
【解答】
(1)由于1.80~2.00小组的频数为8,占总份数中的4份,总份数是20分,故样本容量为:
8÷
=40.2.40~2.60这个小组的频率为3÷20=0.15.
(2)由于样本容量是40,则中位数是第20人和第21人成绩的平均数,而第20人和第21人的成绩均在2.00~2.20这个小组,则中位数落在2.00~2.20这个小组.
(3)因为第一组到第五组人数依次为4人,8人,12人,10人,6人,则可求得样本中男生立定跳远的人均成绩不低于2.03m.
(4)初中男生立定跳远成绩在2.00m以上的约有
×500=350(人).
【点评】频率分布直方图中各小组频率之和为1,掌握它是解题的关键.
◆强化训练
一、填空题
1.(2005,荆门市)已知数据:
1,2,1,0,-1,-2,0,-1,这组数据的方差为______.
2.(2005,宜昌市)甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400g的茶叶,从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒,得到它们的实际质量的方差如下表所示.根据表中数据,可以认为三台包装机中,______包装机包装的茶叶质量稳定.
甲包装机
乙包装机
丙包装机
方差/g2
31.96
7.96
16.32
3.2005年沈阳市春季房交会期间,某公司对参加本次房交会的消费者进行了随机的问卷调查,共发放1000份调查问卷,并全部收回.根据调查问卷,将消费者年收入情况整理后,制成表1;将消费者打算购买住房的面积的情况整理后,制成表2,并作出部分频率分布直方图(如图).
表1被调查的消费者年收入情况
年收入/万元
1.2
1.8
3.0
5.0
10.0
被调查的消费者数/人
200
500
200
70
30
表2被调查的消费者打算购买住房的面积的情况
分组/m2
频数
频率
40.5~60.5
0.04
60.5~80.5
0.12
80.5~100.5
0.36
100.5~120.5
120.5~140.5
0.20
140.5~160.5
0.04
合计
1000
1.00
注:
住房面积取整数
请你根据以上信息,回答下列问题:
(1)根据表1可得,被调查的消费者平均年收入为______万元;被调查的消费者年收入的中位数是______万元;在平均数,中位数这两个数中,更能反映出被调查的消费者年收入的一般水平;
(2)根据表2可得,打算购买100.5~120.5m2房子的人数是_____人;打算购买住房面积不超过100m2的消费者的人数占被调查人数的百分数是____;
(3)在下图中补全这个频率分布直方图.
4.青少年视力水平的下降已经引起全社会的关注,某校为了了解初中毕业年级500名学生的视力情况,从中抽查了一部分学生视力,通过数据处理,得到如下频率分布表和频率分布直方图.
分组
频数
频率
3.95~4.25
2
0.04
4.25~4.55
6
0.12
4.55~4.85
25
4.85~5.15
0.04
5.15~5.45
2
1.00
合计
请你根据给出的图表回答:
(1)填写频率分布表中未完成部分的数据.
(2)在这个问题中,总体是________,样本容量是________.
(3)在频率分布直方图中,梯形ABCD的面积是______.
(4)请你用样本估计总体,可以得到哪些信息(写一条即可):
________.
5.甲,乙两种产品进行对比试验,得知乙产品比甲产品的性能更稳定,如果甲,乙两种产品抽样数据的方差分别是S甲2与S乙2,则它们的方差的大小关系是_______.
6.已知:
一组数据-1,x,1,2,0的平均数是0,这组数据的方差是_____.
7.若样本数据1,2,3,2的平均数是a,中位数是b,众数是c,则数据a,b,c的标准差是_______.
8.若已知一组数据:
x1,x2,…,xn的平均数为x,方差为S2,那么另一组数据:
3x1-2,3x2-2,…,3xn-2的平均数为______,方差为______.
16.(2005,盐城市)如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数,那么这组数据的()
A.平均数和方差都不变B.平均数不变,方差改变
C.平均数改变,方差不变D.平均和方差都改变
18.武汉市教育局在中学开展的“创新素质实践行”中,进行了小论文的评比.各校交论文的时间为5月1日至30日,评委会把各校交的论文的件数按5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图,已知从左到右各长方形的高的比为2:
3:
4:
6:
4:
1,第二组的频数为18.请回答下列问题:
(1)本次活动共有多少篇论文参加评比?
(2)哪组上交的论文数量最多?
有多少篇?
(3)经过评比,第四组和第六组分别有20篇,4篇论文获奖,问这两组哪组获奖率较高?
19.(2008,金华)九(3)班学生参加学校组织的“绿色奥运”知识竞赛活动,老师将对学生的成绩按10分的组距分段,统计每个分数段出现的频数,填入频数分布表,并绘制频数的分布直方图.
九(3)班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布表
分数段/分
49.5~59.5
59.5~69.5
69.5~79.5
79.5~89.5
89.5~99.5
组中值/分
54.5
64.5
74.5
84.5
94.5
频数
a
9
10
14
5
频率
0.050
0.225
0.250
0.350
b
(1)频数分布表中a=_____,b=___;
(2)把频数分布直方图补充完整;
(3)学校设定成绩在69.5分以上的学生将获得一等奖或二等奖,一等奖奖励作业本15本及奖金50元,二等奖奖励作业本10本及奖金30元.已知这部分学生共获得作业本335本,请你求出他们共获得的奖金.
九(3)班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布直方图
2012年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练
平均数、众数和中位数
◆知识讲解
1.定义
平均数:
有n个数x1,x2,…,xn,则
=
(x1+x2+…+xn)叫这n个数的平均数.众数:
是指一组数据中,出现次数最多的数据.中位数:
将一组数据按大小依次排列,把处在最中间的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫这组数据的中位数.
2.平均数的计算方法
(1)定义法;
(2)加权平均法;(3)新数据法:
=
1+a,
是x1,x2,…,xn的平均数,
1是x11=x1-a,x21=x2-a,…,xn1=xn-a的平均数.
3.平均数、众数和中位数的意义
平均数反映了一组数据的集中趋势,是度量一组数据波动大小的基准,是描述一组数据的集中趋势的量.平均数大小与每一个数据都有关;众数只与部分数据有关,中位数与数据的排列位置有关,某些数据的变动与对中位数没有影响.平均数与中位数均唯一,但众数不一定唯一.在实际问题中求得的平均数、众数和中位数都应有相应单位.
◆例题解析
例1某高科技产品开发公司现有员工50名,所有员工的月工资情况如下表:
员工
管理人员
普通工作人员
人员结构
总经理
部门经理
科研人员
销售人员
高级技工
中级技工
勤杂工
员工数/名
1
3
2
3
▃
24
1
每人月工资/元
21000
8400
2025
2200
1800
1600
950
请你根据上述内容,解答下列问题:
(1)该公司“高级技工”有_______名;
(2)所有员工月工资的平均数
为2500元,中位数为______元,众数为_______元.
(3)小张到这家公司应聘普通工作人员,请你回答图6-15中小张的问题,并指出用
(2)中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些;
(4)去掉四个管理人员的工资后,请你计算出其他员工的月平均工资
(结果保留整数),并判断
能否反映该公司员工的月工资实际水平.
【分析】由于工资表中,管理人员的工资与普通工作人员的工资差距较大,因而平均数受极端值的影响较大,不能代表全体员工工资的“平均水平”,因此,依题意,有
(1)该公司“高级技工”有50-(1+3+2+3+24+1)=16(名).
(2)中位数为
=1700(元),众数为1600元.
(3)这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平,用1700元或1600元来介绍更合理些.
(4)
=
≈1713(元),
能反映该公司员工的月工资实际水平.
【点评】平均数、中位数和众数都是一组数据的代表.平均数能充分利用数据提供的信息,但容易受数据中某些极端值的影响.中位数的优点是计算简单,受极端值的影响较大,但充分利用所有数据的信息不够.
例2某学校对初中毕业班经过初步比较后,决定从初三
(1)、(4)、(8)班这三班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班.现对这三个班进行综合素质考评,下表是其五项素质考评的得分表:
(以分为单位,每项满分为10分).
班级
行为规范
学习成绩
校运动会
艺术获奖
劳动卫生
初三
(1)班
10
10
6
10
7
初三(4)班
10
8
8
9
8
初三(8)班
9
10
9
6
9
(1)请问各班五项考评分的平均数、中位数和众数中哪个统计量不能反映三个班的考评结果的差异?
并从中选择一个能反映差异的统计量将这三个班的得分进行排序;
(2)根据你对表中五个项目的重要程度的认识,设定一个各项考评内容的占分比例(比例的各项须满足:
①均为整数;②总和为10;③不全相同).按这个比例对各班的得分重新计算,比较出大小关系,并从中推荐一个得分最高的班级作为市级先进班集体的候选班.
【分析】
(1)分别计算三个班的平均数、中位数和众数,并结合计算分析;
(2)设出各个项目的权,利用加权平均数比较三个班的考评分.
【解答】
(1)设P1,P2,P8顺次为3个班考评分的平均数.
W1,W2,W8顺次为3个班考评分的中位数,
Z1,Z4,Z8顺次为3个班考评分的众数,则
P1=
(10+10+6+10+7)=8.5(分).
P4=
(8+8+8+9+10)=8.6(分).
P8=
(9+10+9+6+9)=8.6(分).
W1=10(分)W4=8(分)W8=9(分).
[Z1=10(分)Z4=8(分)Z8=9(分)].
∴平均数不能反映这3个班的考评结果的差异,而用中位数(或众数)能反映差异,且W1>W8>W4(Z1>Z8>Z4)
(2)给出一种参考答案)选定:
行为规律:
学习成绩:
校运动会:
艺术获奖:
劳动卫生=3:
2:
3:
1:
1,设K,K,K顺次为3个班的考评分,
则K1=0.3×10+0.2×10+0.3×6+0.1×10+0.1×7=8.5,
K4=0.3×10+0.2×8+0.3×8+0.1×9+0.1×8=8.7,
K8=0.3×9+0.2×10+0.3×9+0.1×6+0.1×9=8.9
∴K8>K4>K1,∴推荐初三(8)班为市级先进班集体的候选班.
◆强化训练
一、填空题
1.(2005,江西省)下表是一文具店6~12月份某种铅笔销售情况统计表:
月份
6
7
8
9
10
11
12
铅笔/支
300
200
400
500
300
200
200
观察表中数据可知,众数是_____,中位数是______.
2.(2005,成都)下图是一组数据的折线统计图,这组数据的极差是______,平均数是_______.
3.(2005,常州市)请你根据条形图提供的信息,回答下列问题:
有100名学生参加两次科技知识测试,条形图显示两次测试的分数分布情况.
(1)两次测试最低分在第_____次测试中;
(2)第____次测试较容易;
(3)第一次测试中,中位数在____分数段,第二次测试中,中位数在_____分数段.
4.某公司销售部有五名销售员,2004年平均每人每月的销售额分别是6,8,11,9,8(万元).现公司需增加一名销售员,三人应聘试用三个月,平均每人每月的销售额分别为:
甲是上述数据的平均数,乙是中位数,丙是众数.最后正式录用人中平均月销售额最高的人是_____.
5.如图是连续十周测试甲,乙两名运动员体能训练情况的折线统计图.教练组规定:
体能测试成绩70分以上(包括70分)为合格.
(1)请根据图中所提供的信息填写下表:
平均数
中位数
体能测试成绩合格次数
甲
65
乙
60
(2)请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断:
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙,_______的体能测试成绩较好;
②依据平均数与中位数比较甲和乙,_____的体能测试成绩较好.
(3)依据折线统计图和成绩合格的次数,_______运动员体能训练的效果较好.
6.为了了解业余射击队队员的射击成绩,对某次射击比赛中每一名队员的平均成绩(单位:
环,环数为整数)进行了统计,分别绘制了如下表和频率分布直方图,请你根据统计表和频数分布直方图回答下列问题:
平均成绩
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人
0
1
3
3
4
6
1
0
(1)参加这次射击比赛的队员有_____名;
(2)这次射击比赛平均成绩的中位数落在频率分布直方图的____小组内;
(3)这次射击比赛平均成绩的众数落在频率分布直方图的_____小组内.
7.(2008,烟台)七
(1)班四个绿化小组植树的棵数为:
10,10,x,408,已知这组数据的众数和平均数相等,那么这组数据的中位数是______棵.
8.某餐厅共有7名员工,所有员工的工资情况如表所示(单位:
元):
人员
经理
厨师甲
厨师乙
会计
服务员甲
服务员乙
勤务工
人数
1
1
1
1
1
1
1
工资额
3000
700
500
450
360
340
320
解答下列问题(直接填在横线上):
(1)餐厅所有员工的平均工资是______元;
(3)所有员工工资的中位数是______元;
(3)用平均数还是用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当?
答:
_______.
(4)去掉经理的工资后,其他员工的平均工资是______元,是否也能反应该餐厅员工工资的一般水平?
9.(2008,青岛)某广播电视局欲招聘播音员一名,对A,B两名候选人进行两项素质测试,两人的两次测试成绩如表所示,根据实际需要广播电视局将面试,综合知识测试的得分按3:
2的比例计算两人的总成绩,那么______(填“A”或“B”)被录用.
测试项目
测试成绩
A
B
面试
90
95
综合知识测试
85
80
二、选择题
10.(2008,大连)某鞋店试销一款女鞋,试销期间对不同颜色鞋的销售情况统计如表所示:
颜色
黑色
棕色
白色
红色
销售量/双
60
50
10
15
鞋店经理最关心的是哪种颜色的鞋最畅销,则对鞋店经理最有意义的统计量是()
A.平均数B.众数C.中位数D.方差
11.(2005,黄冈市)设
是x1,x2,x3,x4,…,xn的平均数,
是
x1+
,
x2+
,
x3+
,…
xn+
的平均数,则
与
的关系是()
A.
=
B.
=
+
C.
=
D.
=
(
+
)
12.在青年业余歌手卡拉OK奖赛中,8位评委给某选手所评分数如下表:
评委
1
2
3
4
5
6
7
8
评分
9.8
9.5
9.7
9.9
9.8
9.7
9.4
9.8
计分方法是:
去掉一个最高分,去掉一个最低分,其余分数的平均分作为该选手的最后得分,则该选手最后得分是(精确到0.01分)()
A.9.70B.9.71C.9.72D.9.73
13.(2005,辽宁省)已知一组按大小顺序排列的数据-2,3,4,x,6,9的中位数是5,那么这组数据的众数是()
A.6B.5.5C.5D.4
14.(2005,武汉市)某校在一次学生演讲比赛中,共有7个评委,学生最后得分为去掉一个最高分和一个最低分后的平均分,某学生所得分数为:
9.7,9.6,9.5,9.6,9.7,9.5,9.6,那么这组数据的众数及该学生最后得分分别为()
A.9.6,9.6B.9.5,9.6C.9.6,9.58D.9.6,9.7
三、解答题
15.2008年8月8日,第29届奥运会将在北京举行,现在,奥运会门票已在世界各地开始销售,图6-20是奥运会部分项目的门票价格:
(1)从以上统计图可知,同一项目门票价格相差很大,分别求出篮球项目门票价格的极差和跳水项目门票价格的极差.
(2)求出这6个奥运会项目门票最高价的平均数,中位数和众数.
(3)田径比赛将在国家体育场“鸟巢”进行,“鸟巢”内共有观众座位9.1万个.从安全角度考虑,正式比赛时将留出0.6万个座位.某场田径赛,组委会决定向各奥运赞助商和相关部门赠送1.5万张门票,其余门票全部售出.若售出的门票中最高价门票占10%~15%,其他门票的平均价格是300元,你估计这场比赛售出的门票收入约是多少万元?
请说明理由.
16.小明家去年的旅游、体育、饮食支出分别为3600元,1200元,7200元,今年这三项支出依次比去年增长10%,20%,30%,则小明家今年的总支出比去年增长的百分数是多少?
17.小谢家买了一辆小轿车,小谢连续记录了七天中每天行驶的路程,见下表:
天
一
二
三
四
五
六
七
路程/km
46
39
36
50
54
91
34
请你用统计初步的知识,解答下列问题:
(1)小谢家小轿车每月(按30天计算)要行驶多少千米?
(2)若每行驶100km需汽油8L,汽油每升3.45元,请你求出小谢家一年(按12个月计算)的汽油费用
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