考研数学二真题及答案第512套.docx
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考研数学二真题及答案第512套
2017年考研数学二真题及答案
一.填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
⎧⎪(cosx)x-2,
(1)已知f(x)=⎨
⎪⎩a,
x≠0,
x=0
在x=0处连续,则a=
(2)设y=ln,则y''=
(3)⎰
+∞
dx=
dx
(4)⎰0
=.
x2+4x+8
(5)已知向量组α1=(1,2,-1,1),α2=(2,0,t,0),α3=(0,-4,5,-2)的秩为2,则t=
二.选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
b
(1)设x→0时,etanx-ex与xn是同阶无穷小,则n为__________
(A)1(B)2(C)3(D)4
(2)设在区间[a,b]上f(x)>0,f'(x)<0,f''(x)>0,记S1
=⎰af(x)dx,S2=
f(b)(b-a),
S3=2[f(a)+f(b)](b-a),则__________
(A)S1 (C)S3 (3)已知函数y= f(x)对一切x满足xf''(x)+3x[f'(x)]2=1-e-x,若f'(x)=0(x ≠0), 00 则__________ (A)f(x0)是f(x)的极大值 (B)f(x0)是f(x)的极小值 (C)(x0,f(x0))是曲线y= f(x)的拐点 (D)f(x0)不是f(x)的极值,(x0,f(x0))也不是曲线y= f(x)的拐点 ⎰ (4)设F(x)=x+2πesintsintdt,则F(x)__________ x (A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数 ⎧2-x, x≤0 ⎧x2, x<0 (5)设g(x)=íx+2,x>0,f(x)=í-x, 则g[f(x)]为__________ x≥0 ⎩⎩ ⎧2+x2, x<0 ⎧2-x2, x<0 (A)⎨2-x, x≥0(B)⎨2+x, x≥0 ⎧2-x2, x<0 ⎧2+x2, x<0 (C)⎨2-x, x≥0(D)⎨2+x, x≥0 三.(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1)求极限lim x→-∞ . ⎧x=arctantdy (2) ⎩ 设y=y(x)由⎨2y-ty2+et=5所确定,求dx. (3)计算⎰e2x(tanx+1)2dx. (4)求微分方程(3x2+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy=0的通解. (5)已知y=xex+e2x,y=xex+e-x,y =xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次微分方程 123 的三个解,求此微分方程. ⎡11-1⎤ (6) ⎢⎥ 已知A=⎢011⎥,且A2-AB=E,其中E是三阶单位矩阵,求矩阵B. ⎢⎣00-1⎦⎥ 四.(本题满分8分.) ⎧2x1+λx2-x3=1 λ取何值时,方程组⎪λx-x+x=2 无解,有惟一解或有无穷多解? 并在有无穷 ⎨123 ⎪4x+5x-5x =-1 ⎩ 多解时写出方程组的通解. 五.(本题满分8分) 123 设曲线L的极坐标方程为r=r(θ),M(r,θ)为L上任一点,M0(2,0)为L上一定点, 若极径OM0.OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0,M两点间弧长值的一半,求曲线L的方程. 六.(本题满分8分) 设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足xf'(x)= f(x)+ 3ax2(a为常数),又曲线y= 2 f(x)与x=1,y=0所围成的图形S的面积值为2,求函数 y=f(x),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小. 七.(本题满分8分.) 已知函数f(x)连续,且limf(x)=2,设ϕ(x)=⎰1f(xt)dt,求ϕ'(x),并讨论ϕ'(x)的 连续性. 八.(本题满分8分) x→0x0 ππ 就k的不同取值情况,确定方程x- 的结论. sinx=k在开区间(0,)内根的个数,并证明你 22 参考答案 一.填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) -1 (1)【答案】: e2 由于f(x)在x=0处连续,故 lnf(x)ln(cosx)x-2 x-2lncosx f(0)=limf(x)=lime=lime =lime x→0 lncosx x→0 lncosx x→0 1(-sinx) x→0 2lim 洛必达 2 limcosx =lime x→0 lim- x sinx =ex→0x -1 =ex→02x =ex→0 2xcosx=e 2 (2)【答案】: - 2 题目考察复合函数在某点处的高阶导数,按照复合函数求导法则具体计算如下: 2 y=1⎡⎣ln(1-x)-ln(1+x2)⎤⎦, y'=1(-1- 2x)=-1 -x, 21-x 1+x2 2(1-x)1+x2 y''=-1 -1-x2 ''=-3. 2(1-x)2 (1+x2)2 yx=02 (3)【答案】: arcsin + C或2arcsin 2 + C 2 题目考察不定积分的计算,分别采用凑微分的方法计算如下: 方法1: 原式=⎰dx d(x-2) =⎰2 1-(x-2)2 2 x-2 =arcsin+C. 2 方法2: 原式=⎰=2⎰ π d =2⎰ =2arcsin+C. 2 (4) 【答案】: 8 题目考察广义积分的计算,采用凑微分的方法,结合基本微分公式表计算如下: d(x+2) = +∞dx 原式 1+∞2 = ⎰04+(x+2)2 1+∞ 2⎰0 1 1+(x+2)2 2 πππ =arctan =(-)=. 2 (5)【答案】: 3 02248 方法1: 利用初等变换. 以α1,α2,α3为行构成3⨯4矩阵,对其作初等变换: ⎡α1⎤⎡12 -11⎤⎡12 -11⎤ =⎢α ⎥=⎢⎥[2]+[1]⨯(-2)⎢ -+-⎥ A⎢2⎥⎢20t 0⎥→ ⎢04t 22⎥ ⎢⎣α3⎥⎦ ⎢⎣0 -45 -2⎥⎦ ⎢⎣0 -45 -2⎥⎦ ⎡12-11⎤ [3]+[2]⨯(-1)⎢⎥ →⎢0-4t+2-2⎥, ⎣⎢003-t0⎥⎦ ⎡α1⎤ ⎢⎥ 因为r(A)=r⎢α2⎥=2,所以3-t=0,t=3. ⎢⎣α3⎥⎦ 方法2: 利用秩的定义. ⎡α1⎤ ⎢⎥ 由于r⎢α2⎥=r(A)=2,则矩阵A中任一三阶子行列式应等于零. ⎢⎣α3⎥⎦ ⎡α1⎤⎡12-11⎤ ⎢α⎥=⎢20t0⎥, ⎢2⎥⎢⎥ 应有 ⎢⎣α3⎥⎦ ⎢⎣0 -45 -2⎥⎦ 12-112-112-1 20t =0-4 t+2=0 -4t+2=0, 0-450-45003-t 解得t=3. 方法3: 利用线性相关性. 因为r(α,α α)=r(A)=2,故α,α α线性相关,⇔以αT,αT,αT组成的线性齐次方 123 123 123 程组αTx+αTx+αTx =BX=0有非零解,因 112233 ⎡120⎤ ⎢20-4⎥ B=⎡⎣αT,αT,αT⎤⎦=⎢⎥ 123⎢-1t5⎥ ⎢⎥ ⎣10-2⎦ ⎛1⎫ [2]+[1]⨯(-2) [2]⨯ç-⎪ ⎡120⎤⎝4⎭⎡120⎤ [3]+[1]⎢-4-4⎥[3]+[2]⨯(-t-2)⎢011⎥ [4]+[1]⨯(-1)⎢0⎥[4]+[2]⨯(-2)⎢⎥ →⎢0t+25⎥→⎢00-t+3⎥, ⎢0-2-2⎥⎢000⎥ ⎣⎦⎣⎦ 故BX=0有非零解⇔t=3. 二.选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)【答案】: (C) 题目考察无穷小量的性质和无穷小量的比较,采用洛必达法则计算如下: lim x→0 etanx-ex xn =limexx→0 ⋅etanx-x-1 xn =tanx-x洛必达 sec2-1tan2xn=3 x21 lim x→0xn etanx-ex与x3同阶,故应选(C). (2)【答案】: (D) =lim x→0 nxn-1 =lim x→0 nxn-1 =lim=, x→03x23 方法1: 用几何意义.由f(x)>0,f'(x)<0,f''(x)>0可知,曲线y= f(x)是 上半平面的一段下降的凹弧,y=f(x)的图形大致如右图.y S1= ⎰af(x)dx是曲边梯形ABCD的面积; S2=f(b)(b-a)是矩形ABCE的面积; 1EC S3=2[f(a)+f(b)](b-a)是梯形ABCD的面积.由图可见S2 abx O 方法2: 观察法.因为是要选择对任何满足条件的f(x)都成立的结果,故可以取满足条件的 1 特定的f(x)来观察结果是什么.例如取f(x)= x∈[1,2],则 x2 S1=⎰1x2dx=2,S2=4,S3=8⇒S2 【评注】本题也可用分析方法证明如下: b 由积分中值定理,至少存在一个点ξ,使⎰af(x)dx= f(ξ)(b-a),a<ξ f'(x)<0,所以f(x)是单调递减的,故f(ξ)> f(b),从而 b S1=⎰af(x)dx=f(ξ)(b-a)>f(b)(b-a)=S2. 1x 为证S3>S1,令ϕ(x)=2[f(x)+f(a)](x-a)-⎰a f(t)dt,则ϕ(a)=0, ϕ'(x)=1f'(x)(x-a)+1(f(x)+f(a))-f(x)22 =1f'(x)(x-a)-1(f(x)-f(a))22 =1f'(x)(x-a)-1f'(η)(x-a)(a<η =1(f'(x)-f'(η))(x-a),2 由于f''(x)>0,所以f'(x)是单调递增的,故f'(x)>f'(η),ϕ'(x)>0,即ϕ(x)在[a,b]上 单调递增的.由于ϕ(a)=0,所以ϕ(x)>0,x∈[a,b],从而 1b ϕ(b)=2[f(b)+f(a)](b-a)-⎰a 即S3>S1.因此,S2 f(t)dt>0, 如果题目改为证明题,则应该用评注所讲的办法去证,而不能用图证. (3)【答案】: (B) 题目考察函数的极值点与拐点问题,分析如下: 由f'(x)=0知x=x为f(x)的驻点.把x=x代入恒等式xf''(x)=1-e-x0,即 00000 --x0 f(x)= .由于分子.分母同号,故f''(x)>,因此驻点 =为极小值点.应选 00xx0 0 (B). (4)【答案】: (A) 由于函数esintsint是以2π为周期的函数,所以, F(x)=⎰x+2πesintsintdt=⎰2πesintsintdt, F(x)的值与x无关.不选D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关). ⎰ 估计2πesintsintdt的值有多种方法. 0 方法1: 划分esintsint取值正.负的区间. F(x)=⎰2πesintsintdt=⎰πesintsintdt+⎰2πesintsintdt =πesintsintdt+πe-sinu(-sinu)du 00 =π(esint-e-sint)sintdt 0 当0 方法2: 用分部积分法. F(x)=2πesintsintdt=-2πesintdcost 00 =-esintcost2π+2πcostdesint 00 ⎰⎰ =-e0(1-1)+2πesintcost2dt=2πesintcost2dt>0. 00 故应选(A). 【评注】本题的方法1十分有代表性. 被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时,则常将积分区间划分成若干个,使每一个区间内,被积函数保持确定的符号,然后再作适当的变量变换,使几个积分的积分上下限相同,然后只要估计被积函数的正.负即可. (5)【答案】: (D) 题目考察函数的复合问题,分清内层函数的定义域与值域,要注意内层函数的值域又构成了外层函数的定义域. 当x<0时,f(x)=x2>0,则g[f(x)]=f(x)+2=x2+2; 当x≥0时,f(x)=-x≤0,则g[f(x)]=2-f(x)=2-(-x)=2+x. ⎧x2+2, 故g[f(x)]=⎨ ⎩2+x, x<0 x≥0 因此应选(D). 三.(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) ∞ (1) 【分析】这是∞型的极限,可以设法约去分子.分母中极限为∞的因子,从而转化为确定 型的极限.于是分子.分母同除 .在计算过程中应注意x趋于负无穷. 分子.分母同除 注意 =-x(x<0),则 原式=lim x→-∞ ==1. 1 (2)题目考察参数方程所确定的函数的微分法. x y'=yt',x'=1, xt'1+t t2 yt'可由第二个方程两边对t求导得到: tt 2y'-2tyy'-y2+et=0, 解得y'= y2-et .由此,有 '(1+t2)(y2-et) t2(1-ty) yx2(1-ty) (3)题目考察,不定积分的换元与分部积分法,难度不大,具体计算如下: 原式=⎰e2x(sec2x+2tanx)dx=⎰e2xsec2xdx+2⎰e2xtanxdx 分部 =⎰e2xdtanx+⎰tanxde2x=e2xtanx+C. (4)题目考察齐次微分方程的通解,分别利用齐次方程的求解方法和凑全微分方法计算如下: 方法1: 所给方程是齐次方程. 令y=xu,则dy=xdu+udx,代入原方程得 3(1+u-u2)dx+x(1-2u)du=0, 分离变量得 1-2u1+u-u2 du=- 3dx, x d(1+u-u2)1 积分得⎰ 1+u-u2 =-3⎰xdx, 即1+u-u2=Cx-3. 以u=y代入得通解x2+xy-y2=C. xx 方法2: 用凑全微分的方法求解.由于 (3x2+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy =3x2dx+(yd(x2)+x2dy)-(y2dx+xd(y2)) =d(x3)+d(x2y)-d(xy2) =d(x3+x2y-xy2), 故通解为: x3+x2y-xy2=C. (5)y-y=e-x与y-y=e2x-e-x都是相应齐次方程的解,(y-y)+(y-y) 13121312 =e2x也是相应齐次方程的解,e-x与e2x是两个线性无关的相应齐次方程的解;而 2 y-e-x=xex是非齐次方程的解.下面求该微分方程: 方法1: 由e-x,e2x是齐次解,知r=-1,r =2是特征方程的两个根,特征方程为 12 (r+1)(r-2)=0,即r2-r-2=0, 相应的齐次微分方程为: y''-y'-2y=0. 设所求非齐次方程为: y''-y'-2y=f(x),把非齐次解xex代入,便得 f(x)=(xex)''-(xex)'-2(xex)=(1-2x)ex. 所求方程为: y''-y'-2y=(1-2x)ex. 12 方法2: 由于通解为: y=ce-x+ce2x+xex,求出 y'=-ce-x+2ce2x+(x+1)ex,y''=ce-x+4ce2x+(x+2)ex, 1212 并消去c,c,便得微分方程y''-y'-2y=(1-2x)ex. 12 ⎡021⎤ ⎢⎥ (6)【答案】: ⎢000⎥ ⎢⎣000⎥⎦ 由题设条件A2-AB=E,把A提出来得A(A-B)=E,因为 11-1 A=011=-1≠0, 00-1 由此知道A是满秩的,所以A可逆,两边左乘A-1,从而有A-B=A-1,B=A-A-1. (或A2-AB=E,AB=A2-E,A可逆,两边左乘A-1,得B=A-1(A2-E)=A-A-1). 用矩阵的初等变换求A-1. ⎡11-1100⎤[1]+[3]⨯(-1)⎡11010-1⎤ ⎢⎥[2]+[3]⎢⎥ [AE]=⎢011010⎥→⎢010011⎥ ⎢⎣00 -1001⎥⎦ ⎢⎣00 -1001⎥⎦ [1]+[2]⨯(-1)⎡1001-1 -2⎤ [3]⨯(-1) ⎢⎥=⎡ -1⎤ →⎢010011⎥ ⎣EA⎦ ⎢⎣00100-1⎦⎥ ⎡1-1-2⎤ ⎢⎥ 得A-1=⎢011⎥, ⎢⎣00-1⎦⎥ ⎡11-1⎤⎡1-1-2⎤⎡021⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 从而得B=A-A-1=⎢011⎥-⎢011⎥=⎢000⎥. 四.(本题满分8分.) ⎢⎣0
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