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最新高等数学下答案12精品版
2020年高等数学下答案12精品版
第十二章微分方程
§1微分方程的基本概念
1、由方程x2-xy+y2=C所确定的函数是方程()的解。
A.(x-2y)y'=2-xyB.(x-2y)y'=2x-yC.(x-2)dx=(2-xy)dyD.(x-2y)dx=(2x-y)dy
2、曲线族y=Cx+C2(C为任意常数)所满足的微分方程()
A.y=xy'+y'2B.y=Cx+y'2C.xy'+y'2=CD.y'=xy'+y'2
3如函数满足初始条件:
y=(C1+C2x)e2x,y|x=0=0,y'|x=π=1,则C1,C2的值为()
A.C1=0,C2=1B.C1=1,C2=0C.C1=π,C2=0D.C1=0,C2=π
4.微分方程y'=«SkipRecordIf...»写成以y为自变量,x为函数的形式为()
A.«SkipRecordIf...»B.«SkipRecordIf...»C.x'=2x-yD.y'=2x-y
5.已知某初值问题的解为y=C1sin(x-C2)y|x=π=1,y'|x=π=0,确定C1,C2
解:
y=C1sin(x-C2),y'=C1cos(x-C2)
代入y|x=π=1,y'|x=π=0得C1=1,C2=2kπ+«SkipRecordIf...»
6.设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动。
物体B从点
(-1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹满足的微分方程,并写出初始条件。
解:
设在时刻t,物体B位于(x,y)处,则
«SkipRecordIf...»
整理可得:
«SkipRecordIf...»
而«SkipRecordIf...»
有«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
其中s表示B的运动轨迹的曲线的弧长。
将
代入
得:
«SkipRecordIf...»
初始条件:
y(-1)=0,y'(-1)=1
§2可分离变量的微分方程
1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是()
A.可分离变量的微分方程B.一阶微分方程的对称形式。
C.不是微分方程D.不能变成«SkipRecordIf...»
2、方程xy'-ylny=0的通解为()
Ay=exB.y=CexC.y=ecxD.y=ex+C
3、方程满足初始条件:
y'=e2x-y,y|x=0=0的特解为()
A.ey=e2x+1B.«SkipRecordIf...»C.y=lne2x+1-ln2D.ey=«SkipRecordIf...»e2x+C
4、已知y=y(x)在任一点x处的增量«SkipRecordIf...»,且当∆x→0时,α是∆x
的高阶无穷小,y(0)=π,则y
(1)=()
A.2πB.πC.«SkipRecordIf...»D.«SkipRecordIf...»
5、求特解cosxsinydy=cosysinxdx,y|x=0=«SkipRecordIf...»
解:
分离变量为tanydy=tanxdx
即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC
cosy=ccosx
代入初始条件:
y|x=0=«SkipRecordIf...»得:
«SkipRecordIf...»
特解为:
«SkipRecordIf...»cosy=cosx
6、求微分方程«SkipRecordIf...»满足y(0)=π的特解。
解:
由«SkipRecordIf...»得:
«SkipRecordIf...»
积分得:
«SkipRecordIf...»
代入初始条件:
y(0)=π,得C=-2
7、求微分方程«SkipRecordIf...»满足y(0)=0的特解
8、子弹以速度v0=400m/s打进厚度为h=20cm的墙壁,穿透墙壁后速度为100m/s飞出。
假定墙壁对于子弹的阻力和子弹运动速度平方成正比,求子弹穿透墙壁所用的时间。
解:
设在时间t=0时,子弹打进墙壁v(t)表示子弹在t时刻速度。
子弹在墙壁中的运动所受阻力kv2(k为常数)由牛顿第二定律得:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»又v(0)=v0=400.解得C=«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
可设子弹穿透墙壁所用时间为T,且墙壁后h=20cm,知«SkipRecordIf...»
即:
«SkipRecordIf...»
e0.2k=400kT+1(*)
由题设知:
子弹在时刻T时,飞出墙壁,且速度为100m/s,即
«SkipRecordIf...»,得400kT=3,代入(*)得:
k=10ln2,即
«SkipRecordIf...»
§3齐次方程
1.(x2+y2)dx-xydy=0,其通解为()
A.y2=x2(2ln|x|+C)B.y=x(2ln|x|+C)
C.y2=2x2ln|x|+CD.y=2xln|x|+C
2.«SkipRecordIf...»,y|x=1=2,则特解为()
A.y2=2x2(lnx+C)B.y2=2x2(lnx+2)
C.y=2xlnx+CD.y=2xlnx+2
3.«SkipRecordIf...»的通解为()
A.x=2y+CB.«SkipRecordIf...»C.«SkipRecordIf...»D.以上都不对
4、求y'x2+xy=y2满足y|x=1=1的特解。
解:
«SkipRecordIf...»,则
«SkipRecordIf...»解得:
«SkipRecordIf...»
5、求微分方程(x2+2xy-y2)dx-(y2+2xy-x2)dy=0满足初始条件y|x=1=1的特解
解:
«SkipRecordIf...»
可得«SkipRecordIf...»
解得:
lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u2)
即x(1+u2)=C(1+u),代入初始条件y|x=1=1得特解x2+y2=x+y
6、求初值问题«SkipRecordIf...»的解
解:
原方程化为«SkipRecordIf...»
令y=xu这里可得:
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
将y|x=1=0代入的特解为«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»
7、求曲线,使其上任一点到原点的距离等于该点的切线在x轴上的截距
解:
设曲线上任一点P(x,y),曲线:
y=y(x),则由题意知:
Y-y=y'(X-x)
又«SkipRecordIf...»
得«SkipRecordIf...»
整理得:
«SkipRecordIf...»
解得:
«SkipRecordIf...»
得通解«SkipRecordIf...»
六、求«SkipRecordIf...»的解。
解:
令u=x+2y,则u'=1+2y'
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
2u-lnu=4x+C
2(x+2y)-ln(2+2y)=4x+C
§4一阶线性微分方程
1、微分方程(y2+1)dx=y(y-2x)dy的通解是()
A.«SkipRecordIf...»B.«SkipRecordIf...»
C.«SkipRecordIf...»D.«SkipRecordIf...»
2、微分方程xy'+2y=xlnx满足y
(1)=«SkipRecordIf...»的解为()
A.«SkipRecordIf...»B.«SkipRecordIf...»
C.«SkipRecordIf...»D.«SkipRecordIf...»
3、y'+y=y2(cosx-sinx)的通解为()
A.y=Cex-sinxB.«SkipRecordIf...»=Cex-sinx
C.Cyex-ysinx=CD.y=ex-sinx+C
4、求通解«SkipRecordIf...»
解:
«SkipRecordIf...»,令«SkipRecordIf...»得«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
即«SkipRecordIf...»
2.xdy-ydx=y2eydy
解:
整理得«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
5、求通解xdy-ydx=y2eydy
解:
整理得«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
6、求初值问题«SkipRecordIf...»的解y(x),其中a是常数,f(x)是连续函数
解:
«SkipRecordIf...»
7、求微分方程y'cosy-cosxsin2y=siny的解。
(提示令z=siny)
解:
设z=siny,则方程化为z'-z=z2cosx,是伯努利方程
令u=z-1得u'+u=-cosx
«SkipRecordIf...»
从而得«SkipRecordIf...»
8、设环境保持恒定温度20︒C,有一个物体在10秒内从温度100︒C降到60︒C,问此物体从100︒C降到25︒C需要多少时间?
(提示:
物体冷却速度与该物体和环境温度之差成正比)
解:
设物体在时刻t的温度为u(t),则«SkipRecordIf...»
u'+ku=20k解得«SkipRecordIf...»,需40秒。
9、已知连续函数f(x)满足方程«SkipRecordIf...»,求f(x)
解:
原方程两边对x求导数f'(x)=3f(x)+2e2x
f'(x)-3f(x)=2e2x解得:
f(x)=Ce3x-2e2x又f(0)=1,所以C=3
f(x)=3e3x-2e2x
§5全微分方程
1.下面方程中不是全微分方程的是()
A.(3x2+6xy2)+(6x2y+4y2)dy=0
B.eydx+(xey-2y)dy=0
C.(xcosy+cosx)y'-ysinx+siny=0
D.y(x-2y)dx-x2dy=0
2、设曲线积分«SkipRecordIf...»与路径无关,其中f(x)具有一阶
连续导数,且f(0)=0,则f(x)等于()
A.«SkipRecordIf...»B.«SkipRecordIf...»C.«SkipRecordIf...»D.«SkipRecordIf...»
3、设函数ϕ(x)具有二阶连续导数,且ϕ(0)=ϕ'(0)=0,并已知yϕ(x)dx+(sinx-
ϕ'(x))dy=0是一个全微分方程,则ϕ(x)=()
A.«SkipRecordIf...»B.«SkipRecordIf...»C.x2exD.«SkipRecordIf...»
4、若ϕ(x)是连续函数,且ϕ(0)=1,并设曲线积分«SkipRecordIf...»
与路径无关,则A=()
A.«SkipRecordIf...»B.«SkipRecordIf...»C.«SkipRecordIf...»D.«SkipRecordIf...»
5、判别下列方程的类型并求其通解
(1)(a2-2xy-y2)dx-(x+y)2dy=0
解:
是全微分方程«SkipRecordIf...»
通解为«SkipRecordIf...»
(2)(1+e2θ)dρ+2ρe2θdθ=0
解:
是全微分方程d(ρ+ρe2θ)=0
通解为ρ+ρe2θ=C
6、若f(x)可导,f(0)=1,对任意简单闭曲线L,«SkipRecordIf...»,
求«SkipRecordIf...»
解:
对任意闭曲线L有«SkipRecordIf...»,知«SkipRecordIf...»
由此得f'(x)-2x=f(x)
解得:
f(x)=Cex-2x-2,再代入初始条件可得C=3。
于是f(x)=3ex-2x-2
«SkipRecordIf...»
7、若ϕ(x)是连续函数,且ϕ(0)=1,并设曲线积分«SkipRecordIf...»与路径无关,求A
解:
曲线积分与路径无关«SkipRecordIf...»,得ϕ'(x)=-ϕ(x)tanx
解得ϕ(x)=Ccosx,又因为ϕ(0)=1得C=1所以ϕ(x)=cosx
«SkipRecordIf...»
§6可降阶的高阶微分方程
1、yy"+y'2=0满足初始条件y|x=0=1,y'|x=0=«SkipRecordIf...»的特解为()
A.y2=x+CB.«SkipRecordIf...»C.«SkipRecordIf...»D.y2=C1x+C2
2、方程xy"=y'lny'的通解为()
A.«SkipRecordIf...»B.«SkipRecordIf...»
C.«SkipRecordIf...»D.以上都不对
3、
(1)求y"=y'+x的通解
解:
令y'=p得p'-p=xp=-x-1+C1ex«SkipRecordIf...»
(2)求xy"+y'=0的通解
解:
令y'=p,则xp'+p=0
«SkipRecordIf...»得«SkipRecordIf...»y=C1lnx+C2
4、求下列方程所满足初始条件的特解
(1)yy"+(y')2=0,y(0)=1,y'(0)=«SkipRecordIf...»
解:
由yy"+(y')2=0得(y'y)'=0,y'y=C1
又y(0)=1,y'(0)=«SkipRecordIf...»得C1=«SkipRecordIf...»y2=x+C2代入初始条件得C2=1,y2=x+1
(2)y3y"+y'=0
解:
令y'=p,则xp'+p=0解得«SkipRecordIf...»y=C1lnx+C2
5、求y2y"+1=0的积分曲线方程,使其通过点«SkipRecordIf...»且在该点处切线的斜率为2
解:
y2y"+1=0,y|x=0=«SkipRecordIf...»,y'|x=0=2
令y'=p,«SkipRecordIf...»,方程化为«SkipRecordIf...»
解得:
«SkipRecordIf...»,由y|x=0=«SkipRecordIf...»,y'|x=0=2得C1=0
«SkipRecordIf...»解得«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
6、设在x>-1时所定义的可微函数y(x)满足«SkipRecordIf...»,及
y(0)=1,求y'(x)
解:
原方程化为(x+1)(y'(x)+y(x))=«SkipRecordIf...»
令y'(x)=p则有«SkipRecordIf...»
解得:
ln|p|=-(x+ln|x+1|)+C由y'(0)=-y(0)=-1,p|x=0=-1得C=0
«SkipRecordIf...»
§7高阶线性微分方程
1、证明:
«SkipRecordIf...»是方程y"-3y'+2y=e5x的通解
2、已知二阶线性非齐次方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的特解为y1=x,y2=ex,y3=e2x,试求
方程满足初始条件y(0)=1,y'(0)=3的特解。
解:
由线性微分方程解的理论,非齐次微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)任两解之差是对应齐次方程y"+p(x)y'+q(x)y=0的解。
得齐次方程的两个解:
ex-x,e2x-x,且线性无关。
于是齐次方程的通解Y=C1(ex-x)+C2(e2x-x).
非齐次方程的通解是y=x+C1(ex-x)+C2(e2x-x).
由y(0)=1,y'(0)=3代入得:
C1=-1,C2=2
所以特解为y=2e2x-ex
§8常系数齐次线性微分方程
1、设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1,C2为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解,则该方程为()
A.y"+2y'+y=0B.y"-2y'+2y=0C.y"-2y'=0D.y"+y=0
2、设y1=excos2x,y2=exsin2x都是方程y"+py'+qy=0的解,则()
A.p=2,q=5,B.p=-2,q=5C.p=-3,q=2D.p=2,q=2
3、设常系数线性齐次方程特征方程根r1,2=-1,r3,4=±i,则此方程通解为()
A.y=(C1+C2x)e-x+C3cosx+C4sinxB.y=C1e-x+C2cosx+C3sinx
C.y=C1e-x+C2cosx+C3xsinxD.C1e-x+(C2+x)cosx+C3sinx
4、求下列微分方程的通解
(1)y"-4y'+13y=0
解:
r2-4r+13=0⇒r1,2=2±3i
y=e2x(C1cos3x+C2sin3x)
(2)y"+25y=0解:
r2+25=0⇒r=±5i
y=C1cos5x+C2sin5x
(3)«SkipRecordIf...»
解:
r2+2r+1=0⇒r1,2=-1
y=(C1+C2t)e-t
(4)y(4)-2y'"+5y"=0
解:
r4-2r3+5r2=0⇒r1,2=0,r3,4=1±2i
y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x)
5、求下列初值问题的特解
y"+(λ1+λ2)y'+λ1λ2y=0(λ1≠λ2且为实数)满足y(0)=0,y'(0)=1
解:
r2+(λ1+λ2)r+λ1λ2=0⇒r1=λ1r2=λ2
通解为«SkipRecordIf...»
由y(0)=0,y'(0)=1
得:
«SkipRecordIf...»
6、一单位质点受一力的作用沿x轴作直线运动,该力与M点到原点O的距离成正比(比例系数为4),介质的阻力与运动速度成正比(比例系数为3),求该质点的运动规律,设开始时质点静止并且距原点1cm
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
§9常系数非齐次线性微分方程
1.、方程y"+16y=sin(4x+a)(a为常数)的特解形式为y*=()
A.Acos4x+Bsin4xB.x(Acos4x+Bsin4x)
C.Acos4x-Bsin4xD.x2(Acos4x-Bsin4x)
2.、设函数y1,y2,y3都是线性非齐次方程y"+p(x)y'+q(x)=f(x)的特解,则函数y=(1-C1-C2)y1+C1y2+C2y3()(C1,C2为任意常数)
A.是所给方程通解B.不是方程的解
C.是所给方程的特解D.可能是方程的通解,但一定不是其特解。
3、方程y"-2y'=xe2x的特解具有形式()
A.y*=Axe2xB.y*=(Ax+B)e2xC.y*=x(Ax+B)e2xD.y*=x2(Ax+B)e2x
4.求解微分方程y"+2y'+2y=e-xsinx
解:
对应的齐次方程:
y"+2y'+2y=0
特征方程r2+2r+2=0⇒r1,2=-1≠i
齐次方程通解为:
Y=e-x(C1cosx+C2sinx)
由于λ±ωi=-1±i是特征方程的根,设y*=xe-x(Acosx+Bsinx)代入原方程得:
A=«SkipRecordIf...»,B=0
即y*=«SkipRecordIf...»xe-xcosx
原方程通解为y=Y+y*=e-x(C1cosx+C2sinx)«SkipRecordIf...»xe-xcosx
5.求解初值问题y"+9y=cosx,«SkipRecordIf...»
解:
由y"+9y=0得:
r1,2=±3i
所以齐次方程通解是:
Y=C1cos3x+C2sin3x
由于λ±ωi=i不是特征方程的根,设y*=Acosx+Bsinx代入原方程得:
A=«SkipRecordIf...»,B=0,即Y=«SkipRecordIf...»cosx
通解为y=C1cos3x+C2sin3x+«SkipRecordIf...»cosx
由初始条件得特解«SkipRecordIf...»
6.求特解:
y"-y=4xex,y|x=0=0,y'|x=0=1
解:
r2-1=0⇒r1,2=±1,所以y"-y=0的通解为Y=C1ex+C2e-x
因λ=1是特征方程的单根,设y*=xex(Ax+B)是原方程的一个特解,代入原方程得:
A=1,B=-1即y*=ex(x2-x)
原方程的通解为:
y=C1ex+C2e-x+ex(x2-x)
代入初始条件得:
C1=1,C2=-1
所求特解为:
y=ex(x2-x+1)-e-x
7.求y"-4y=e2x的通解
8、证明:
«SkipRecordIf...»是方程y"-9y=9的解,但不是其通解,C1,C2为任意常
数
证明:
«SkipRecordIf...»代入方程使方程成立,是方程的解。
又因为«SkipRecordIf...»只有一个常数。
所以不是方程的通解。
9、证明方程y"+y=f(x)(其中f(x)连续)的通解为y=C1cosx+C2sinx+«SkipRecordIf...»,C1,C2为常数
证明:
有λ2+1=0⇒λ=±1.故齐方程通解为Y=C1cosx+C2sinx
记«SkipRecordIf...»
则«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
所以y*"+y*=f(x),即y*是其一个特解。
由解的结构定理:
y==Y+y*=C1cosx+C2sinx+«SkipRecordIf...»
10、设«SkipRecordIf...»,其中f(x)有连续的二阶导数,并且满足:
«SkipRecordIf...»,试求函数f(x)(f(x)=«SkipRecordIf...»)
第十二章自测题
一、选择题(3⨯6=18分)
1.方程(x+1)(y2+1)dx+y2x2dy=0是()
A.线性非齐次方程B.可分离变量方程
C.线性齐次方程D.伯努利方程
2.微分方程xdy-ydx
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