高三文科解析几何练习题一.docx

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高三文科解析几何练习题一

高三文科数学解析几何练习题

（一）

、选择题（每小题有且仅有一个结论正确）

1.已知直线l过圆x2＋（y－3）2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是）

A．

4．已知圆C：

（x－3）2＋（y－4）2＝1和两点A（－m，0），B（m，0）（m>0）．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（）

A．7B．6C．5D．4

x＋y－7≤0，

5.已知圆C：

（x－a）＋（y－b）＝1，平面区域Ω：

x－y＋3≥0，若圆心C∈Ω，且圆Cy≥0.

与x轴相切，则a2＋b2的最大值为（）A．5B．29C．37D．49

6．若圆C1：

x2＋y2＝1与圆C2：

x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝（）

A．21B．19C．9D．－11

7、设点M（x0，1），若在圆O：

x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）

A.[－1，1]B.－21，21C.[－2，2]D.－22，22

8、设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则|PA|＋|PB|的取值范围是（）

A．[5，25]B．[10，25]C．[10，45]D．[25，45]

x2y23

9、已知椭圆C：

xa2＋by2＝1（a>b>0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为（）

2222222

xyx2xyxy

A、x3＋y2＝1B、x3＋y2＝1C、1x2＋y8＝1D、1x2＋y4＝1

22

10、设F1，F2分别为双曲线xa2－yb2＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P

使得（|PF1|－|PF2|）2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为（）

A.2B.15C．4D.17

二、填空题：

11、在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆（x－2）2＋（y＋1）2＝4截得的弦长为．

12、直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．

13、圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为_．

14、已知直线xya0与圆心为C的圆x2y22x4y40相交于A，B两点，且ACBC，则实数a的值为.

22

15、已知椭圆C：

x9＋y4＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝．

三、解答题：

22

16、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆x2＋y2＝1（a>b>0）的左、

ab

右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.

（1）若点C的坐标为34，31，且BF2＝2，求椭圆的方程；

（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．

17、已知椭圆C：

x2＋2y2＝4.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

18、如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规

划要求：

新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界以M为圆心（M在线段OA上），并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于

4点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO＝3.

3

19、圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图1-5所示）．

（1）求点P的坐标；

（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：

y＝x＋3交于A，B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．

20、已知椭圆C：

xa2＋yb2＝1（a>b>0）的左焦点为F（－2，0），离心率为36.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．

高三文科数学解析几何练习题

（一）参考答案

一、选择题1-5：

DBDBC6-10：

CABAD

2422

二、11、7.55512、313、（x－2）2＋（y－1）2＝414、0或615、12

22

三、16、如图1-5所示，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆x2＋y2＝1（a>b>0）ab的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.

（1）若点C的坐标为43，13，且BF2＝2，求椭圆的方程；

（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．17．解：

设椭圆的焦距为2c,则F1（－c,0）,F2（c,0）．

（1）因为B（0,b）,所以BF2＝b2＋c2＝a.又BF2＝2，

161

故a＝2.因为点C43，13在椭圆上，所以a92＋b92＝1，

2

解得b2＝1.故所求椭圆的方程为x2＋y2＝1.

（2）因为B（0,b）,F2（c,0）在直线AB上，

所以直线AB的方程为xc＋yb＝1.

222

所以点A的坐标为a22＋acc2，b（ac2＋－ca2）.

a＋ca＋c

222

又AC垂直于x轴，可得点C的坐标为22ac2，22.

a＋ca＋c

17、已知椭圆C：

x2＋2y2＝4.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

22

19．解：

（1）由题意，椭圆C的标准方程为x4＋y2＝1.

所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝2.故椭圆C的离心率e＝c＝2.

a2

（2）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x0，y0），

其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以O→A·O→B＝0，

又x02＋2y20＝4，

即tx0＋2y0＝0，解得t＝－2xy0.

所以|AB|2＝（x0－t）2＋（y0－2）2＝

x0＋2xy0＋（y0－2）2＝x02＋y02＋4xy20＋4

x0x0

24－x022（4－x20）x2082

2x0

＝x02＋2＋x2＋4＝20＋x2＋4（0

2x02x0

因为x0＋82≥4（0

2x0

故线段AB长度的最小值为22.

18、如图1-6所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：

新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方

4

向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO＝3.

3

即4x＋3y－680＝0.

由于圆M与直线BC相切，故点M（0,d）到直线BC的距离是r，|3d－680|680－3d

r－d≥80，

r－（60－d）≥80，

即r＝42＋32

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以

因为OA＝60，OC＝170，

所以OF＝OCtan∠FCO＝680，CF＝OC＝850，从而AF＝OF－OA＝500.

3cos∠FCO33

4

因为OA⊥OC,所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝4.又因为AB⊥BC，

5

（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝rm，OM＝dm（0≤d≤60）．

因为OA⊥OC,所以sin∠CFO＝cos∠FCO.

所以当OM＝10m时，圆形保护区的面积最大．

19、圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图1-5所示）．

（1）求点P的坐标；

（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：

y＝x＋3交于A，B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．

20．解：

（1）设切点坐标为（x0，y0）（x0>0，y0>0），

则切线斜率为－yx，切线方程为y－y0＝－yx（x－x0），即x0x＋y0y＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为x4，0，0，y4，

其围成的三角形的面积S＝1·4·4＝8.由x02＋y02＝4≥2x0y0

2x0y0x0y0

知当且仅当x0＝y0＝2时x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P为（2，2）．22

（2）设C的标准方程为xa2＋yb2＝1（a>b>0），点A（x1，y1），B（x2，y2）．由点P在C上

22

知a22＋b22＝1，并由

x2＋y2＝，

a2＋b2＝1，得b2x2＋43x＋6－2b2＝0.

y＝x＋3，x1＋x2＝－4b23，

又x1，x2是方程的根，所以2由y1＝x1＋3，y2＝x2＋3，

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．20．解：

（1）由已知可得，c＝6，c＝2，所以a＝6.

a3

22

又由a2＝b2＋c2，得b＝2，所以椭圆C的方程是x6＋y2＝1.

m－0

（2）设T点的坐标为（－3，m），则直线TF的斜率kTF＝－3－（－2）＝－m.

1

当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝1，直线PQ的方程是x＝my－2.

m

当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．

x＝my－2，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得x2y26＋2＝1，

消去x，得（m2＋3）y2－4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8（m2＋3）>0.

4m－2－12

所以y1＋y2＝2＋3，y1y2＝2＋3，x1＋x2＝m（y1＋y2）－4＝2＋3.

m＋3m＋3m＋3

因为四边形OPTQ是平行四边形，所以O→P＝Q→T，即（x1，y1）＝（－3－x2，m－y2）．－12

x1＋x2＝2＝－3，

m＋3

所以解得m＝±1.

y1＋y2＝m42＋m3＝m.

1

此时，四边形OPTQ的面积S四边形OPTQ＝2S△OPQ＝2×2·|OF|·|y1－y2|

4m2－2

＝2m42＋m3－4·m－2＋3＝23.