高考全国I卷理科数学试题含答案.docx
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高考全国I卷理科数学试题含答案
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将白己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位H±o
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题R对应题日的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦T净后,再选涂梵他答案标号。
冋答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在木试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
L若z=l+i,则k2-2z∣=
A.0B.1C.√2D・2
2.设^A={x∖x24<0},B-{x∣2r÷α<0},WA^B-{x∖-2≤κ<∖},则旷
A.-4B∙-2C.2D.4
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之•,它的形状可视为•个正四棱锭•以该卩q核锥的高为边长的正
方形而枳等于该四棱维一个侧而三角形的面枳,则几侧面三角形底边上的髙与底而正方形的边长的比值
为
4.
已知/为抛物线Cy=2砂(p>0)上•点,点/到C的焦点的距离为12,到)轴的距离为9,则严
5∙某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度X(单位:
OC)的关系,在20个不同的温度
条件卜•进行种子发芽实验•由实验数据(兀丿)(心12….20)得到卜•而的散点图:
100%
由此散点图,在10。
C至40。
C之间,下而四个回归方程类型中最适宜作为发芽率丿和温度X的回归方程
类型的是
A.y≈a^bx
6.pA¾∕(χ)=√-2,√的图像亦点(1∙/⑴)处的切线方程为
7.设函数/(x)=cos(ωx+-)在[-兀,兀]的图像大致如卜•图,则7U)的垠小止周期为6
8.(.r+^-)(x+>05的展开式中QJ的系数为
X
A・5
B.IO
C.
15
D.20
9∙己知αe(0,π)t
M.3cos2α一Scosa=
=5»则Sina
=
A.逅
B.Z
C.
1
D.迈
3
3
3
9
10.已知4氏C为球O的球面上的三个点.OQ为Z∖∕BC的外接圆.KOOI的面积为4兀・
AB=BC=AC=OO^则球O的表面积为
A∙64πB.48πC∙36πD∙32π
H.efelΘ2V∕:
X2+y2-2x-2y-2=0,直线/:
2λ+>∙+2=0,P为/上的动点,过点P作OM的切
线P久PB■切点为当IpMl・|肋I最小时,直线•购的方程为
A.2x-y-l=0B.2x+y-1=O
C∙2兀一y+l=OD.2x+j^+L=0
12.若T十Iog2a=4r+2Iog4b,则
A.a>lbB.a<2bC・αD・a 二、填空题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。 2a: +/-2≤0, 13.若X,y满足约束条件^-y-l>O,则Z=^y的最大值为 j+1> 14.设α0为单位向量.且1«+⅛I≡L则 X2V2 15.己知F为双曲线C: --⅛=l(α>O,⅛>O)的右焦点「4为C的右顶点,B为C上的点•且BF垂直于丈 a0 轴•若的斜率为3.则C的离心率为. 16.如图.在三棱锥PYBC的平面展开图中.AC=↑.AB=AD=E朋丄AC.AB丄月DZCJE=30% 则COSZFCB= 3.解答题: 共70分。 解答应写岀文字说明、证明过程或演算步IlL第17〜21超为必杏題.毋T1Λ題否生都必须作答。 第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (-)必考题: 共60分。 17.(12分〉 设{/}是公比不为1的等比数列.4为a-勺的等差中项・ (I)求陆}的公比; (2)若λ1=I.求数列卩气}的前"项和・ 18. (12分) 如图.D为圆推的顶点,o是圆锥底面的匮心,Jr为底面直径.A£=AD.ZxMC是底面的内接正三角形.P为DO上一点,Po巫DO. 6 (1)证明: M丄平面円C; 〈2)求二面角B-PC-E的余弦值. 19.(12分) 甲.乙、丙三位同学进行羽毛球比赛•约定赛制如下: 每场比赛的胜者与轮空者进行 累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空, 下一场比赛.负者下一场轮空.胃至有一人被淘汰'当一人被淘汰后,剰余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜.比赛结束. 经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空•设每场比赛双方获胜的概率都为 (1)求甲连胜四场的槪率; (2)求需要进行第五场比赛的紙率; (3)求丙最终获胜的概率. 20.(12分) 已知乩B分别为椭圆E: 4+/=1(Ql)的左、右顶点,G为E的上顶点.AGGB=S^P为直 线r=6上的动点•刊与E的另一交点为C・PB与E的另一交点为D∙ (1)求E的方程; (2)证明: 直线CD过定点. 21・(12分) 已知函数/(x)=et+αr2-X・ (1)当"1时,讨论/(.V)的单调性; (2)当20时,/(x)>∣x3+l,求d的取值范围 2 (二)选考题;共IO分・谓考生在第22、23題中任选一题作笞.如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4—4: 坐标系与参数方程](10分) Ar=CoSI 在直角坐标系XOF中∙曲线G的参数方程为"A为参数)•以坐标原点为极点∙X轴正半轴为 y=Sint 极轴建立极坐标系.曲线Q的极坐标方程为COS^-16pSin^+3=0. (1)当人T时,G是什么曲线? <2)当A=4时,求G与G的公共点的直角坐标. 23.[选修4—5: 不等式选讲](10分) 己知函数/(x)=∣3x+l∣-2∣x-l∣. (1)画岀y=∕(χ)的图像; <2)求不等式/(χ)>∕(x÷D的解集• 绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 1.D 2.B 3・C 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 9.A 10.A ILD 12∙B 二、填空题 13.1 14.√3 15.2 16.-丄 4 一、选拦題 三、解答题 17•解: (1)设阿}的公比为9,由题设得2a1=Cr2+σp即2ax=axq^aλq2 所以g'+g-2=0,解得g=l(舍去),q=-2 故U,}的公比为一2・ (2)设&I为初碍}的前n项和•由 (1)及题设可得,α,=(-2Γ1所以 Sn=l+2χ(-2)+∙∙∙+"χ(-2)~1• -28*=-2+2X(-2)2+…+(〃一I)X(-2)n^1+刃×(-2)∖ 可得35;=1+(-2)+(-2)'+…+(-2)(-2)” -n×(-2)∖ (3卄1)(-2)" 9 PA=PB=PC= 又PA^PCZ=Ae^故刃丄Pe 所以Fd丄平面PBC (2)以。 为坐标原点•西的方向为丁轴正方向∙I旋I为 单位长,建立如图所示的空间亘角坐标系O-RW・ 所以乔(¥,斗0),a瘵 OJJ 所以二面角B-PC-E的余弦值为出 5 19.解: <1)中连胜四场的概率心• 16 (2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束,共有三种情况: 甲连胜四场的概率为丄: 16 乙连胜四场的概率为2; Io 丙上场后连胜三场的概率为 O 所以需要进行第五场比赛的概率为1-丄-丄W・ 161684 (3)丙最终获胜•有两神情况: 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为? . O 比赛五场结束且丙最终我胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况: 胜胜 负胜•胜负空胜.负空胜胜,概率分别为丄,1. 16OO 因此丙杲终获胜的概率为7+77+7+7=TT• o16Ko10 20.解: (1)由题设得/(y∙O).B〈G0),G(0,1). 则JG=(^l)∙GB=(a.一1)•由走•面=8得λ2-1=8,即α=3. 2 所以E的方程为令十宀. (2)设C(助・yi),D3・旳),P(6・/). 若£工0,设直线CD的方程为x=”E・由题意可知-35<3. 由于直线刊的方程为尸彳3∙3>,所以yl=*3+3). 直线PB的方程为.v=f(x-3),所以s=t(x2-3) 可得3χ(λ⅛-3)=y23+3). 由于手+衣=1,故#=_g+3「_3),可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3), 即(27+m2)yxy2+m(n+3Xvl÷y2)+(∕ι+3)=0.® 代入①式得(27+加2χ√-9)-2w∕(π+3)wπ÷(w+3)2(w3+9)二0・ ■.3 解得zr=-3(含去),∏=~ 若件0,则直线CD的方程为尸0,过点(£・0). 3 综上,直线CD过定点(亍0)・ 21.解: (1)当α=104,∕Cv)=eκ÷√-x,则f9(x)=ey+2x-l. 0)单调递减.在 故当Xe(Y),0)时,Γ(x)<0;⅛x∈(0.+00)时,Γ(x)X)∙所IV(X)在( (0,+oo)单调递増• (2)fix)≥→3+l等价于(→3-αv2+x+l)e^x≤1.乙厶 设函数=(**-卅+.v+l)e^x(x≥O)・贝IJ gr(.r)=-(-X5-OV$+X+I--X2+IaX-l)e^x 22 =-—.v(x2一(2α+3)x+4λ+2]er 2 (i)若如1勺,即则当皿(0,2)时,g,(x)>O.所以g(x〉在(0,2)单调递增,而g(0)=1,故当XE(0,2)时,g<.v)>1»不合题意. (ii)若0<2α÷-l<2,即一丄VOV丄,则当χG(0,2λ÷1)U(2,+oo)H寸,g,(x)<0i当*(2M1,2)时■g↑x)>0. 2— 所以玖“)在(0,2M1),(2,+8)单调递减,在(2α÷l,2)单调递增•由于g(0)=l,所以g(x)≤l当且仅当 7-e2 g (2)=(7-^-2<∖•即必——・ 4 7-e21 所以当时.^ 42 (i】i)若2λ÷1≥2,即α≥∣,则5(x)≤(→3+Λ+l)e-∖ 由于0W匸学丄)•故由(Ii)可得(钗+x+l)e1<1. 422 故当W时,^X)≤1. 7_@2 综上∙d的取值范围是[―^-.÷∞)・ 4 X=COMA 22・解: (1)当RI时.GH•'消去参数f得√+∕=1.故曲线G是圆心为坐标原点.半径为1的J=Slnty 圆. t cos*^t ■4'消去参数f得G的直角坐标方程为√^÷√^=1. SIn人 G的直角坐标方程为4x-16y+3=0. Tx+5∕7=h 4x-16v+3=0 -x-3,x≤-j, 23.解: (I)由题设知/Xx)=<5λ: -l,-g x÷3.x>1. ,-/(0的图像如图所示. (2)函数V=f(χ)的图像向左平移1个单位长度后得到函^y=/(χ+D的图像. ∕1 I VK IL / \ / \ 7 V=/⑴的图像与J=f(xJ1)的图像的交点坐标为・ 66 由图像可知当且仅当χ<-7时,=的图像在y=∕(χ+i)的图像上方, 6 7 故不等式j∖x)>jχx+l)的解集为(-叫-勺・ 6 全国I淮理科数学试题寥考答案第5页(共5页)
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