选修2-213导数在研究函数中的应用_精品文档.ppt
- 文档编号:2573979
- 上传时间:2022-11-02
- 格式:PPT
- 页数:56
- 大小:1.15MB
选修2-213导数在研究函数中的应用_精品文档.ppt
《选修2-213导数在研究函数中的应用_精品文档.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《选修2-213导数在研究函数中的应用_精品文档.ppt(56页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
导数在研究函数中的应用,1.3.1函数的单调性与导数,问题1:
函数单调性的定义是什么?
1.一般地,对于给定区间上的函数f(x),如果对于这个个区间内任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么f(x)在这个区间上是减函数.,2、由定义证明函数的单调性的一般步骤:
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值,且x1x2;
(2)作差f(x1)f(x2),并变形;(3)判断差的符号,从而得函数的单调性。
问题2:
如何判断或证明其在定义域内的单调性?
问题情境,上述证明中实质上体现了下述问题:
问题:
导数大于0(或小于0)与函数单调增(减)是否有密切的关系呢?
x1-x20f(x1)f(x2)0,x1-x20f(x1)f(x2)0,f(x)单调增,f(x)单调减,下面我们通过函数y=x24x3的图象来考察一下:
观察函数y=x24x3的图象:
2,.,.,.,.,.,.,.,K0,K=0,K0,思考:
从图像中你发现了什么?
1.函数的导数与函数的单调性的关系:
增函数,减函数,正,负,0,0,o,x,y,a,b,c,d,推广到一般情况,结论:
设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内f(x)0,那么y=f(x)为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f(x)0,那么y=f(x)为这个区间内的减函数.,
(1)函数y=f(x)在区间I内单调增f(x)0,思考:
下列命题正确吗?
(用I表示某个区间),
(2)在区间I内f(x)0函数y=f(x)在I内单调增,
(1)函数y=f(x)在区间I内单调增f(x)0,不能,不能,例题分析,例1
(1)确定函数f(x)=x24x+3在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.,
(2)确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.,解:
f(x)=(2x36x2+7)=6x212x,令6x212x0,解得x2或x0,当x(,0)时,f(x)0,f(x)是增函数.当x(2,+)时,f(x)0,f(x)是增函数.,令6x212x0,解得0x2.当x(0,2)时,f(x)0,f(x)是减函数.,解题小结:
如何用导数判断单调性、求单调区间?
用导数法确定函数的单调性时的步骤是:
注:
单调区间不以“并集”出现。
(2)求出函数f(x)的导函数,(3)在定义域内求解不等式f(x)0,求得其解集,再根据解集写出单调递增区间,(4)在定义域内求解不等式f(x)0,求得其解集,再根据解集写出单调递减区间,
(1)确定函数f(x)的定义域,思考:
如何用导数证明函数在某个区间上的单调性呢?
例2试确定函数f(x)=+sinx,x0,2的单调减区间.,例3求证函数f(x)=x+(0,1)为单调减函数.,感受与理解,1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-,-1)(D)(-,-1),(1,+),2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为(),则a的取值范围为()(A)a0(B)11(D)0a1,3、当x(-2,1)时,f(x)=2x3+3x2-12x+1是()单调递增函数单调递减函数(C)部分单调增,部分单调减(D)单调性不能确定,A,A,B,4.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间上是增函数()A(/2,3/2)B(2,3)C(3/2,5/2)D(,2),5确定下列函数的单调区间
(1)y=x39x2+24x
(2)y=xx3(3)y=ex-x+1,D,课堂小结,
(1)这节课你懂了什么知识?
(2)用你所学知识能解决哪些类型的问题?
(3)解题中有失误吗,什么地方值得你注意?
1.3.2利用导数研究函数的极值,f(x)0,f(x)0,1.定义:
一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数,如果在这个区间内f(x)0,那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f(x)0,那么函数y=f(x)为这个区间内的减函数.,一、复习回顾:
如果在某个区间内恒有,则为常数函数.,2.求函数单调区间的一般步骤,求函数的定义域;,求函数的导数f(x);,解不等式f(x)0得f(x)的单调递增区间;解不等式f(x)0得f(x)的单调递减区间.,关注用导数本质及其几何意义解决问题,3.思考:
观察下图,当t=t0时距地面的高度最大,那么函数h(t)在此点的导数是多少呢?
此点附近的图象有什么特点?
相应地,导数的符号有什么变化规律?
二、新课讲解函数的极值:
1.观察:
右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,从图象我们可以看出什么?
函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大,我们说f(0)是函数的一个极大值;函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小,我们说f
(2)是函数的一个极小值。
已知函数y=f(x),设x0是定义域(a,b)内任一点
(1)如果对x0附近的所有点x,都有f(x0)f(x),则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值.记作:
y极大=f(x0),2.函数极值的定义,
(2)如果对x0附近的所有点x,都有f(x0)f(x),则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.记作:
y极小=f(x0),极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点.,3.思考:
观察下述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.,
(1)极值是一个局部概念
(2)极值点是自变量的值,极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值不是唯一的.(4)函数的极大值与极小值之间无法确定大小;,(5)函数的极值点一定在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。
思考:
极值与最值的区别?
4.极值的几点说明,(6)当可导函数f(x)在某区间上有有限极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.,5.函数的极值与导数的关系,
(1)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧f/(x)0右侧f/(x)0,那么f(x0)是极大值(左正右负),
(2)如果f/(x0)=0,并且在x0附近的左侧f/(x)0,那么f(x0)是极小值(左负右正),从曲线的切线角度看,如果曲线在极值点处有切线,那么曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点处切线的斜率左侧为正,右侧为负;曲线在极小值点处切线的斜率左侧为负,右侧为正.,结合导数的几何意义思考,探索思考:
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.,思考:
y=x3在x=0处的导数?
三、例题精讲:
例1.,解:
令,解得x1=-2,x2=2.,当x变化时,y的变化情况如下表:
因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大=28/3;当x=2时有极小值,并且,y极小=-4/3.,
(1)确定函数的定义域
(2)求导函数f(x);(3)求解方程f(x)=0;(4)检查f(x)在方程f(x)=0的根的左右的符号,并根据符号确定极大值与极小值.,小结:
用导数法求解函数极值的步骤:
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.,例2:
求函数的极值.,解:
函数的定义域为,令,解得x1=-a,x2=a(a0).,当x变化时,f(x)的变化情况如下表:
练习:
求函数的极值.,解:
令=0,解得x1=-1,x2=1.,当x变化时,y的变化情况如下表:
因此,当x=-1时有极小值,并且y极小=-3;当x=1时有极大值,并且y极大=3.,例3:
已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求a、b的值.
(2)若,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜率为k,若k-1恒成立,试求a的取值范围.,解:
(1)由得x=0或x=2a/3.故2a/3=4,a=6.,由于当x0时,故当x=0时,f(x)有极小值f(0)=b,所以b=-1.,
(2)等价于当时,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)=3x2-2ax-10对一切恒成立.,由于g(0)=-10,结合图像知只需g
(1)=2-2a0,即a1.,例4:
已知f(x)=ax5-bx3+c在x=1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.,解:
由题意,应有根,故5a=3b,于是:
(1)设a0,列表如下:
由表可得,即.,又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.,
(2)设a0,列表如下:
由表可得,即.,又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.,四、课堂总结,2.若函数f(x)可导,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:
(1)如果在x0附近的左侧右侧那么f(x0)是极大值;,
(2)如果在x0附近的左侧右侧那么,f(x0)是极小值.,
(1)确定函数的定义域
(2)求导函数f(x);(3)求解方程f(x)=0;(4)检查f(x)在方程f(x)=0的根的左右的符号,并根据符号确定极大值与极小值.,1.用导数法求解函数极值的步骤:
(1.3.3)函数的最大(小)值与导数,一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们就说f(x0)是函数的一个极大值,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们就说f(x0)是函数的一个极小值。
极大值与极小值统称为极值.,函数极值的定义,复习:
如果x0是f(x)=0的一个根,并且在x0的左侧附近f(x)0,那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.,如果x0是f(x)=0的一个根,并且在x0的左侧附近f(x)0,在x0右侧附近f(x)0,那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值,
(1)求导函数f(x);
(2)求解方程f(x)=0;(3)列表:
检查f(x)在方程f(x)=0的根的左右的符号,并根据符号确定极大值与极小值.,口诀:
左负右正为极小,左正右负为极大。
用导数法求解函数极值的步骤:
在某些问题中,往往关心的是函数在整个定义域区间上,哪个值最大或最小的问题,这就是我们通常所说的最值问题.,函数最值问题.,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质。
极大值点,,极小值点,你能说出函数的最大值点和最小值点吗?
最大值点:
a,,最小值点:
d,观察区间a,b上函数y=f(x)的图象,,你能找出它的极大值点,极小值点吗?
最小值是f(b).,单调函数的最大值和最小值容易被找到。
函数y=f(x)在区间a,b上,最大值是f(a),1)在某些问题中,往往关心的是函数在整个定义域区间上,哪个值最大或最小的问题,这就是我们通常所说的最值问题.,2)在闭区间a,b上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.,o,x,y,a,b,o,x,y,a,b,o,x,y,a,b,o,x,y,a,b,y=f(x),y=f(x),y=f(x),y=f(x),在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.,导数的应用之三、求函数最值.,
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个最小值.,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤,1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值),例1、求函数f(x)=x3-12x+12在0,3上的最大值,最小值。
例1、求函数f(x)=x3-12x+12在0,3上的最大值,最小值。
解:
由上节课的例4知,在0,3上,,当x=2时,f(x)=x3-12x+12有极小值,,并且极小值为f
(2)=-4.,又由于f(0)=12,f(3)=3,因此,函数f(x)=x3-12x+12在0,3上的最大值为12,最小值为-4。
例2、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1,5内的最大值和最小值,法一、将二次函数f(x)=x2-4x+6配方,利用二次函数单调性处理,例2求函数f(x)=x2-4x+6在区间1,5内的
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 选修 213 导数 研究 函数 中的 应用 精品 文档