西城一模数学试题答案逐题解析.docx
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西城一模数学试题答案逐题解析
2020 年北京市西城区初三一模数学考试逐题解析
数学试卷2020.5
一、选择题(本题共 16分,每小题 2 分)
第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.
1.北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场,2019 年9月25日正式通航预
计到 2022年机场旅客吞吐量将达到 45 000 000人次,将 45 000 000用科学记数法
表示为
(A) 45 ⨯ 106(B) 4.5 ⨯ 107(C) 4.5 ⨯ 108(D) 0.45 ⨯ 108
【答案】B
【解析】将 45000000 用科学计数法表示为 4.5 ⨯ 107 .故 B 正确.
2.右图是某个几何体的三视图,该几何体是
(A)圆锥(B)圆柱(C)长方体(D)正三棱柱
【答案】B
【解析】俯视图为圆的只有 A 和 B,A 选项圆锥的主视图为三角形,B 选项圆柱的主
视图为矩形.故 B 正确.
3.下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是
(A)(B)(C)
(D)
1
【答案】C
【解析】A 选项与 D 选项是轴对称图形,选项 B 为中心对称图形,只有 C 选项满足
中心对称图形以及轴对称图形的特征.故 C 正确.
4.在数轴上,点 A,B 表示的数互为相反数,若点 A 在点 B 的左侧,且AB= 2 2 ,
则点 A,点 B 表示的数分别是
(A) − 2 , 2(B) 2 , − 2(C)0, 2 2(D) −2 2 , 2 2
【答案】A
【解析】 AB = 2 2 且 A,B 互为相反数,故 AO = 2 ,点 A 在点 B 的左侧 A 表示的
数为- 2 ,故 A 正确.
5.如图,AB 是☉O 的直径,C,D 是☉O 上的两点.若∠CAB= 65︒,则∠ADC的度
数为
C
O
D
(A) 65︒(B)35︒(C) 32.5︒(D) 25︒
【答案】D
【解析】由题意知,AB 为直径,故∠ACB=90°,∠ABC=∠ACB-∠ACB=25°.圆中
同弧所对的圆周角相等,∠ADC=∠ABC=25°.故 D 正确.
6.甲、乙两名运动员 10 次射击成绩(单位,环)如图所示,甲、乙两名运动员射击成
绩平均数记为 x , x ,射击成绩的方差依次记为 s
甲乙
2
甲
, s
乙
2
,则下列关系中完全正
确的是
2
4
3
2
1
次数 次数
4
3
2
1
8
9 10 成绩/环
8
9 10 成绩/环
甲
(A) x =x , s 2>s
甲乙甲乙
2
(B) x =x , s 2
甲 乙 甲 乙
乙
2
(C) x > x , s 2>s
甲乙甲乙
2
(D) x < x , s 2
甲 乙 甲 乙
2
【答案】A
【解析】由图可知,甲的平均数为 (8 ⨯ 4+9 ⨯ 2+10⨯ 4) ÷ 10=9 ,乙的平均数为
(8 ⨯ 3+9 ⨯ 4+10⨯ 3) ÷ 10=9 ,故甲、乙的平均数相等.由图可知,乙比甲稳定,故乙
的方差小于甲的方差.故 A 正确.
7.如图,在数学实践活动课上,小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度,阳光
下他测得长 1m 的竹竿落在地面上的影长为0.9m,在同一时刻测量树的影长时,他
发现树的影子有一部分落在地面上,还有一部分落在墙面上,他测得这棵树落在地
面上的影长 BD 为 2.7m,落在墙面上的影长 CD 为 1.0m,则这棵树的高度是
(A)6.0m(B)5.0m(C)4.0m(D)3.0m
【答案】C
【解析】利用相似性质得出,影长 BD 对应的树高为 2.7 ⨯
3
1
0.9
=3m ,加上落在墙上的
影长 CD 对应的树高 1m,树高应为 4m.故 C 正确.
8.设 m 是非零实数, 给出下列四个命题:
①若 −1 < m < 0 ,则 1
1
③若 m < 1
1
其中命题成立的序号是
(A)①③(B)①④(C)②③(D)③④
【答案】B
【解析】此题实际考察函数图象的应用.在同一个坐标系内作 y = x, y = x 2 , y = 1
x
函数图象.
三个
1
m
②m>1 时, 1
由 m< 1
1
得出公共部分为 m<-1,故③错误.
同理可得④正确.故 B 正确.
4
二、填空题(本题共 16分,每小题 2 分)
9.若 x − 1 在实数范围内有意义,则实数 x 的取值范围_________.
【答案】x≥1
【解析】二次根式在实数范围内有意义,则被开方数≥0,即 x-1≥0,解得 x≥
1.故答案为 x≥1.
10.若多边形的内角和是外角和的 2 倍,则该多边形是_____边形.
【答案】六
【解析】多边形的外角和为 360°,由题意可知,该多边形内角和为 720°,根据多边形
内角和公式, (n − 2)⨯180︒=720︒ ,n=6.故答案为六.
11.已知 y 是以 x 为自变量的二次函数,且当 x=0 时,y 的最小值为 −1 ,写出一
个满足上述条件的二次函数表达式__________.
【答案】答案不唯一,如:
y = x2 − 1 .
【解析】当 x=0 时,y 的最小值为-1,该二次函数表达式顶点为(0,-1)且二次
项系数大于零.故答案可以为 y = x2 − 1 .
1a − 1
aa 2 − 1
的值是__________.
【答案】1
1a-11a-1a
a−aaaa
13.如图,在正方形 ABCD 中,BE 平分∠CBD,EF⊥BD 于点 F,若 DE= 2 ,则
BC 的长为_________.
AB
F
D
E C
5
【答案】 2+1
【解析】因为正方形 ABCD,所以 BC=CD,BC⊥CD, ∠BDC=45°.因为 BE 平分∠
CBD,EF⊥
,可证BCE≌△BFE(AAS),所以 CE=
.又BDC 为等腰直
角三角形,DE=2,所以 FE=1,所以 EC=1,所以 DC=DE+EC= 2+1.故答案
为 2+1.
14.如图,∆ABC 的顶点 A,B,C 都在边长为 1 的正方形网格的格点上,BD⊥AC
于点 D,则 AC 的长为________,BD 的长为_________.
A
D
BC
【答案】5;3.
【解析】作 AE⊥BC 于 E.则 AE=3,CE=4,在
AEC 中,由勾股定理可得
2 2 2 2
AC=5.利用等面积法可求 BD, S
∆ABC
1 15 1 15
= ⨯ BC ⨯ AE = , S = ⨯ AC ⨯ BD = ,
∆ABC
可得 BD=3.故答案为 5;3.
15.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A,B,C 的坐标分别是(0,4),
(4,0),(8,0),M 是 ∆ABC 的外接圆,则点 M 的坐标为___________.
y
6
5
4 A
3
2
1
–1 O
1 2 3
B
4 5
6 7
C
8 x
–1
【答案】(6,6)
6
【解析】三角形外接圆圆心为三边垂直平分线交点.分别作 AB、BC 的垂直平分线,
可得交点为(6,6).故答案为(6,6).
16.某景区为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了某月(30
天)接待游客人数(单位:
万人)的数据,绘制了下面的统计图和统计表.
游客人数/万人
20
15
10
5
每日接待游客人数
(单位:
万人)
0 ≤ x < 5
5 ≤ x < 10
10 ≤ x < 15
游玩环境
评价
好
一般
拥挤
0
1 5
10 15 20 25 30 日期 15 ≤ x < 20
严重拥挤
根据以上信息,以下四个判断中,正确的是_______(填写所有正确结论的序号)
①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤” 的天数仅有 4 天;
②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在 5~10 万人之间;
③该景区这个月平均每日接待游客人数低于 5 万人;
④这个月 1 日至 5 日的五天中,如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游
玩,那么他“这两天游玩环境评价均为好” 的可能性为 3
10
.
【答案】①④
【解析】游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”对应的每日接待游客人数为≥10,由图一
可知仅有四天,①正确.总天数为 30,中位数应按照从小到大排序后选取第 15 位
和 16 位取平均数.而每日接待游客人数在 0(含)~5 之间的天数为 16,故中位
数应落在此区间,②错误.每日接待游客人数在 5(含)~10 之间的天数为 10,
每日接待游客人数≥10 的天数为 4,可以看成每日接待游客人数≥5 的天数总和为
7
10+4×2=18>16,因此平均数应大于 5,③错误.游玩环境评价为“好”对应的每日
接待游客人数为 0(含)~5 之间,满足条件的日期为 1、4、5 日,首先在五天中
33
5410
④正确.也可以列出所有可能的结果,满足条件的结果共三种,分别为 1+4、
1+5、4+5,总结果为 10,所以概率为 3 .故答案为①④.
10
三、解答题(本题共 68 分,第 17-21 题,每小题 5 分,第 22-24 题,每小题 6 分,第
25 题 5 分, 第 26 题 6 分,第 27-28 题,每小题 7 分)解答题应写出文字说明、
演算步骤或证明过程.
⎝ 2 ⎭
【答案】3
【解析】
1
( )−1 + (1− 3) 0 + | − 3 | −2sin60 o
2
= 2 + 1 + 3 − 2 ⨯
3
2
=3
⎧3(x − 2 ) < 2 x − 2,
⎪
⎪
5
2
【解析】
⎧3(x − 2)<2 x − 2 ①
⎪
<x ②
8
解不等式①,得 x<4
解不等式②,得 x>
5
2
YABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,OA=OB,过点 B 作 BE⊥
5
2
19.关于 x 的一元二次方程 x2 − (2m +1)x + m2 = 0 有两个实数根.
(1)求 m 的取值范围;
(2)写出一个满足条件的 m 的值,求此时方程的根.
【答案】
(1) m≥ − 1
(2)答案不唯一,见解析.
【解析】
(1)依题意,得△= [−(2 m + 1)]2 − 4 ⨯ 1 ⨯ m2 = 4m + 1≥0
解得 m≥ − 1
4
(2)答案不唯一,如:
m=0,
此时方程为 x2 − x = 0
解得 x = 0 , x = 1
12
20.如图,在
AC 于点 E.
(1)求证:
YABCD 是矩形;
(2)若 AD= 2 5 ,cos∠ABE= 2 5
9
A
D
E
O
BC
【答案】
(1)见解析;
(2)AC=5
【解析】
(1)证明:
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ OA=OC,OB=OD.
∵ OA=OB,
A
E
D
∴ OA=OC=OB=OD.
O
∴ AC=BD.
B
C
∴ABCD 是矩形.
(2)解:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠BAD=∠ADC=90°.
∴ ∠BAC +∠CAD=90°.
∵ BE⊥AC,
∴ ∠BAC +∠ABE=90°.
∴∠CAD=∠ABE.
2 5
5
∴ AC=5.
10
21.先阅读下列材料, 再解答问题.
尺规作图
已知:
△ABC,D 是边 AB 上一点,如图 1,
求作:
四边形 DBCF,使得四边形 DBCF 是平行四边形.
小明的做法如下:
(1)设计方案
先画一个符合题意的草图,如图 2,
再分析实现目标的具体方法,
依据:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
A
D
F
B
(2)设计作图步骤,完成作图
作法:
如图,
①延长 BC 至点 E;
②分别作∠ECP=∠ABE,∠ADQ=∠ABE;
③DQ 与 CP 交于点 F.
∴四边形 DBCF 即为所求.
图2
C
A
P
D
F
Q
BC
E
11
(3)推理论证
证明:
∵∠ECP=∠ABE,
∴CP∥BA.
同理,DQ∥BE.
∴四边形 DBCF 是平行四边形.
请你参考小明的做法, 再设计一种尺规作图的方法(与小明的方法不同),使得画出的
四边形 DBCF 是平行四边形,并证明.
【答案】
答案不唯一,见解析.
【解析】
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(2)如图.
A
(3)证明:
∵ CF=BD,DF=BC,
D
F
B
C
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形.
22.运用语音识别输入统计可以提高文字输入的速度,为了解 A,B 两种语音识别输
入软件的可读性,小秦同学随机选择了 20 段话,其中每段话都含有 100 个字(不
计标点符号),在保持相同语速条件下,他用标准普通话朗读每段话来测试这两种语
音识别输入软件的准确性,整个测试分析过程如下,请补充完整.
(1)收集数据两种软件每次识别正确的字数记录如下:
A
B
98
84
99
88
98
84
96
85
92
83
96
80
92
83
96
78
92
79
96
72
92
79
96
72
92
78
96
71
89
78
94
65
89
69
92
58
85
58
89
55
12
(2)整理、描述数据根据上面得到的两组样本数据,绘制了分布直方图:
(3)分析数据两组样本数据的平均数,众数,中位数,方差如下表所示
平均数
众数
中位数
方差
A
84.7
84.5
88.91
B
83.7
96
184.01
(4)得出结论 根据以上信息,判断____种语音识别输入软件的准确性较好,理由如
下:
_______________(至少从两个不同的角度说明判断的合理性).
【答案】
见解析.
【解析】
(2)
频数
10
9
4
2
1
0
50 60 70
B
80 90 100 字数
(3)
平均数众数
中位数
方差
A
92
B
(4)答案不唯一,理由须支撑推断的结论.
13
88.5
23.如图,四边形 OABC 中,∠OAB = 90︒,OA=OC,BA=BC.以 O 为圆心,以
OA 为半径作☉O.
(1)求证:
BC 是☉O 的切线;
(2)连接 BO 并延长交☉O 于点 D,延长 AO 交☉O 于点 E,与 BC 的延长线交
»»
于点 F 若 AD = AC .
①补全图形;
②求证:
OF=OB.
【答案】
(1)见解析;
(2)①
A
BO
CE
D
F
②见解析.
【解析】
(1)证明:
连接 AC,
∵ OC = OA,
∴点 C 在⊙O 上.
∵ OA = OC,BA = BC,
∴ ∠OAC =∠OCA,∠BAC =∠BCA.
∴ ∠OCB =∠OAB =90°.
14
∴ OC⊥BC 于点 C.
∴ BC 是⊙O 切线.
(2) ① 补全图形.
A
B
O
D
C
E
∴ CE = DE .
F
②证明:
∵BA,BC 是⊙O 的两条切线,切点分别为 A,C
∴ BA=BC,∠DBA=∠DBC.
∴ BD 是 AC 的垂直平分线.
∵ OA=OC,
∴ ∠AOB=∠COB.
»»
∵ AD = AC ,AE 为⊙O 的直径,
»»
∴ ∠COE=∠DOE.
∵ ∠AOB=∠DOE,
∴ ∠AOB=∠BOC=∠COE=60°.
∵ BC 是⊙O 的切线,切点为 C,
∴ ∠OCB =∠OCF =90°.
∴ ∠OBC=∠OFC =30°.
∴ OF = OB.
15
24.如图,在△ABC 中,AB=4cm,BC=5cm,P 是 AB 上的动点.设 A,P 两点间的
距 离为 xcm,B,P 两点间的距离为 y1cm,C,P 两点间的距离为 y2 cm.
小腾根据学习函数的经验,分别对函数 y1,y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了
探究.
下面是小腾的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量,分别得到了 y1,y2 与 x 的几
组对应值:
x/cm
y1 /cm
y2 /cm
0
4.00
3.00
1
3.69
3.91
2
4.71
3
2.13
5.23
4
0
5
(2)在同一平面直角坐标系 xOy 中,描出补全后的表中各组数值所对应的点
(x,y1 ),(x,y2 ),并画出函数 y1,y2 的图象:
(3)结合函数图象,
①当△PBC 为等腰三角形时,AP 的长度约为____cm;
»
②记 AB 所在圆的圆心为点 O,当直线 PC 恰好经过点 O 时,PC 的长度约为
_____cm.
【答案】
(1)
x/cm
y1/cm
0 1 2
3.09
3 4
y2/cm
(2)画出函数 y1 的图象;
16
y
6
5
4
3
2
1
y2
y1
–1 O
1 2 3 4
5 6
x
–1
(3)① 0.83 或 2.49 .
② 5.32.
25.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l :
y=kx+2k(k>0)与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于
1
点 B,与函数 y = m (x>0)的图象的交点 P 位于第一象限.
x
(1)若点 P 的坐标为(1,6),
①求 m 的值及点 A 的坐标;
② PB =_________;
PA
y
(2)直线 l :
=2kx − 2 与 y 轴交于点 C,与直线 l 交于点 Q,若点 P 的横坐标为 1,
21
①写出点 P 的坐标(用含 k 的式子表示);
②当 PQ≤PA 时,求 m 的取值范围.
【答案】
(1)① m = 6,点 A 的坐标为(—2,0);②
(2)① P (1,3k );② m≥3.
【解析】
(1)
17
1
3
;
①令 y=0,则 kx+2k=0.
∵ k>0 ,解得 x = —2.
∴ 点 A 的坐标为(—2,0) .
∵ 点 P 的坐标为(1,6),
∴ m = 6.
②1 .
3
(2)
① P (1,3k ) .
② 依题意,得 kx +2k=2kx-2,
2
k
y
7
6
5
4 P
3
B
2
Q
2
k
A
–6 –5 –4 –3 –2 –1
1
–1
M
1 2
N
3 4
5 6 x
2
k
∴ 点 Q 在点 P 的右侧.
–2
–3
–4
–5
–6
如图,分别过点 P,Q 作 PM⊥x 轴于 M,QN⊥x 轴于 N,
2
k
PQ
PA
∴
PQ MN
PA MA
∴ MN=MA.
∴ 2 + 2 − 1 = 3 ,解得 k =1.
k
18
∵ MA = 3,
PQMN
PAMA
∴ m =3k≥3.
∴ 当 PQ≤PA 时,m≥3.
26.已知抛物线 y=ax2+bx+a+2(a≠0)与 x 轴交于点 A(x1,0),点 B(x2,0),(点 A 在点
B 的左侧),抛物线的对称轴为直线 x= − 1.
(1)若点 A 的坐标为( − 3,0),求抛物线的表达式及点 B 的坐标;
(2)C 是第三象限的点,且点 C 的横坐标为 − 2,若抛物线恰好经过点 C,直接写出
x2 的取值范围;
(3)抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D,点 P 在抛物线上,且∠DOP =45°,若抛物线
上满足条件的点 P 恰有 4 个,结合图象,求 a 的取值范围.
【答案】
13
22
(2)-1<x2<0
(3)a<-2
【解析】
(1)∵ 抛物线 y = ax2 + bx + a + 2 的对称轴为直线 x = -1,
∴ − b= −1.
2a
∴ b=2a .
∴ y = ax2 + 2ax + a + 2 化为 y = a( x + 1)2 + 2 .
1
2
19
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