1
14.设平面区域D由y=x,y=0和x=2所围成,二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布,则(x,y)关于X的边缘概率密度在x=1处的值为。
15.已知X~N(-2,0.42),则E(X+3)2=16.设X~N(10,0.6),Y~N(1,2),且X与Y相互独立,则
17.设X
的概率密度为f(x)=D(3X-Y)=-x,则D(X)=2
18.设随机变量X1,X2,X3相互独立,其中X1在[0,6]上服从均匀分布,X2服从正态分布N(0,2),X3服从参数为l=3的泊松分布,记Y=X1-2X2+3X3,则D(Y)=2
19.设D(X)=25,D(Y)=36,rxy=0.4,则D(X+Y)=20.设X1,X2,×××,Xn,×××是独立同分布的随机变量序列,且均值为m,方差为s,那么当n充分大时,近似有X~或
2。
特别是,当同为正态分布时,
对于任意的n,都精确有X~
.
21.设X1,X2,×××,Xn,×××是独立同分布的随机变量序列,且EXi=m,DXi=s2(i=1,2,×××)1n2那么åXi依概率收敛于.ni=1
22.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2)的样本,令Y=(X1+X2)2+(X3-X4)2,
2则当C=时CY~c
(2)。
2
23.设容量n=10的样本的观察值为(8,7,6,9,8,7,5,9,6),则样本均值=,样本方差=
24.设X1,X2,„Xn为来自正态总体C:
N(m,s)的一个简单随机样本,则样本均值2
1n
C=åCi服从ni=1
2
二、选择题
1.设A,B为两随机事件,且BÌA,则下列式子正确的是
(A)P(A+B)=P(A);(B)P(AB)=P(A);
(C)P(B|A)=P(B);(D)P(B-A)=P(B)-P(A)
2.以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A为
(A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”;(B)“甲、乙两种产品均畅销”
(C)“甲种产品滞销”;(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
3.袋中有50个乒乓球,其中20个黄的,30个白的,现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。
则第二人取到黄球的概率是
(A)1/5(B)2/5(C)3/5(D)4/5
4.对于事件A,B,下列命题正确的是
(A)若A,B互不相容,则A与B也互不相容。
(B)若A,B相容,那么A与B也相容。
(C)若A,B互不相容,且概率都大于零,则A,B也相互独立。
(D)若A,B相互独立,那么A与B也相互独立。
5.若P(BA)=1,那么下列命题中正确的是
(A)AÌB(B)BÌA(C)A-B=Æ(D)P(A-B)=0
6.设X~N(m,s),那么当s增大时,P{X-m
A)增大B)减少C)不变D)增减不定。
7.设X的密度函数为f(x),分布函数为F(x),且f(x)=f(-x)。
那么对任意给定的a都有
A)f(-a)=1-2òa
0f(x)dxB)F(-a)=a1-òf(x)dx02
C)F(a)=F(-a)D)F(-a)=2F(a)-1
8.下列函数中,可作为某一随机变量的分布函数是
3
A)F(x)=1+111F(x)=+arctanxB)x22p
ì1-xx+¥ï(1-e),x>0C)F(x)=í2D)F(x)=òf(t)dt,其中òf(t)dt=1-¥-¥ï0,x£0î
9.假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与-X有相同的分布函数,则下列各式中正确的是
A)F(x)=F(-x);B)F(x)=-F(-x);
C)f(x)=f(-x);D)f(x)=-f(-x).
ìAe-x,x³l10.已知随机变量X的密度函数f(x)=í(l>0,A为常数),则概率P{l(a>0)的值
A)与a无关,随l的增大而增大B)与a无关,随l的增大而减小
C)与l无关,随a的增大而增大D)与l无关,随a的增大而减小
11.X1,X2独立,且分布率为(i=1,2),那么下列结论正确的是A)X1=X2B)P{X1=X2}=1C)
P{X1=X2}=1D)以上都不正确12.设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为且X,Y相互独立,则A)a=2/9,b=1/9B)a=1/9,b=2/9
C)a=1/6,b=1/6D)a=8/15,b=1/18
2213.若X~(m1,s1),Y~(m2,s2)那么(X,Y)的联合分布为
A)二维正态,且r=0B)二维正态,且r不定
C)未必是二维正态D)以上都不对
14.设X,Y是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则Z=max{X,Y}的分布函数是
A)FZ(z)=max{FX(x),FY(y)};B)FZ(z)=max{|FX(x)|,|FY(y)|}
C)FZ(z)=FX(x)·FY(y)D)都不是
15.下列二无函数中,可以作为连续型随机变量的联合概率密度。
4
ppìcosx,-£x£,0£y£1A)f(x,y)=í22î0,其他
pp1ìcosx,-£x£,0£y£B)g(x,y)=í2220,î其他
C)j(x,y)=íìcosx,0£x£p,0£y£1其他î0,
1ìcosx,0£x£p,0£y£D)h(x,y)=í20,î其他
16.掷一颗均匀的骰子600次,那么出现“一点”次数的均值为
A)50B)100C)120D)150
17.设X1,X2,X3相互独立同服从参数l=3的泊松分布,令Y=1(X1+X2+X3),则3
E(Y2)=
A)1.B)9.C)10.D)6.
18.对于任意两个随机变量X和Y,若E(XY)=E(X)×E(Y),则
A)D(XY)=D(X)×D(Y)B)D(X+Y)=D(X)+D(Y)
C)X和Y独立D)X和Y不独立
19.设C:
P(l)(Poission分布),且Eéë(X-1)(X-2)ùû=1,则l=
A)1,B)2,C)3,D)0
20.设随机变量X和Y的方差存在且不等于0,则D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X和Y的
A)不相关的充分条件,但不是必要条件;B)独立的必要条件,但不是充分条件;
C)不相关的充分必要条件;D)独立的充分必要条件
21.设X~N(m,s)其中m已知,s未知,X1,X2,X3样本,则下列选项中不是统计量的是
A)X1+X2+X3B)max{X1,X2,X3}C)22åsi=13Xi22D)X1-m
5
22.设X~b(1,p),X1,X2,×××,Xn,是来自X的样本,那么下列选项中不正确的是A)当n充分大时,近似有X~Nçp,æ
èp(1-p)ö÷nø
kkB)P{X=k}=Cnp(1-p)n-k,k=0,1,2,×××,n
C)P{X==Cnp(1-p)k
nkkn-k,k=0,1,2,×××,n
kkD)P{Xi=k}=Cnp(1-p)n-k,1£i£n
23.若X~t(n)那么c2~A)F(1,n)B)F(n,1)C)c2(n)D)t(n)
24.设X1,X2,LXn为来自正态总体N(m,s2)简单随机样本,X是样本均值,记
1n1n1n2222S=(Xi-X),S2=å(Xi-X),S3=(Xi-m)2,åån-1i=1ni=1n-1i=121
1n
S=å(Xi-m)2,则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是ni=124
A)t=X-mS1/n-1B)t=X-mS2/n-1C)t=2X-mS3/nD)t=X-mS4/n25.设X1,X2,„Xn,Xn+1,„,Xn+m是来自正态总体N(0,s)的容量为n+m的样本,则统计量
V=måCi2
nåCi2
i=n+1i=1n+mn服从的分布是
A)F(m,n)B)F(n-1,m-1)C)F(n,m)D)F(m-1,n-1)
三、解答题
1.10把钥匙中有3把能打开门,今任意取两把,求能打开门的概率。
2.任意将10本书放在书架上。
其中有两套书,一套3本,另一套4本。
求下列事件的概率。
1)3本一套放在一起。
2)两套各自放在一起。
6
3)两套中至少有一套放在一起。
3.调查某单位得知。
购买空调的占15%,购买电脑占12%,购买DVD的占20%;其中购买空调与电脑占6%,购买空调与DVD占10%,购买电脑和DVD占5%,三种电器都购买占2%。
求下列事件的概率。
1)至少购买一种电器的;
2)至多购买一种电器的;
3)三种电器都没购买的;
4.仓库中有十箱同样规格的产品,已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的,且甲厂,乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品,求取得正品的概率。
5.一箱产品,A,B两厂生产分别个占60%,40%,其次品率分别为1%,2%。
现在从中
任取一件为次品,问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大?
6.有标号1∼n的n个盒子,每个盒子中都有m个白球k个黑球。
从第一个盒子中取一个
球放入第二个盒子,再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子,依次继续,求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。
7.从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品,各种产品被抽到的可能性相同,求在二种情况下,直到取出合格品为止,所求抽取次数的分布率。
(1)放回
(2)不放回
8.设随机变量X的密度函数为f(x)=Ae
求
(1)系数A,
(2)P{0£x£1}
(3)分布函数F(x)。
9.对球的直径作测量,设其值均匀地分布在[a,b](-¥X:
N(168,72),问车门的高度应如何确定?
12.设随机变量X的分布函数为:
F(x)=A+Barctanx,(-¥7
求:
(1)系数A与B;
(2)X落在(-1,1)
(2)(X,Y)的联合密度,(3)判断X、Y的独立性。
ìAe-(3x+4y),x>0,y>015.设连续型随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)=í,其他0,î
求
(1)系数A;
(2)落在区域D:
{016.设(X,Y)的联合密度为f(x,y)=Ay(1-x),0£x£1,0£y£x,
(1)求系数A,
(2)求(X,Y)的联合分布函数。
17.上题条件下:
(1)求关于X及Y的边缘密度。
(2)X与Y是否相互独立?
18.在第16)题条件下,求f(yx)和f(xy)。
19.盒中有7个球,其中4个白球,3个黑球,从中任抽3个球,求抽到白球数X的数学期望E(X)和方差D(X)。
20.有一物品的重量为1克,2克,﹒﹒﹒,10克是等概率的,为用天平称此物品的重量准备了三组砝码,甲组有五个砝码分别为1,2,2,5,10克,乙组为1,1,2,5,10克,丙组为1,2,3,4,10克,只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量,问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少?
21.公共汽车起点站于每小时的10分,30分,55分发车,该顾客不知发车时间,在每小时内的任一时刻随机到达车站,求乘客候车时间的数学期望(准确到秒)。
22.设排球队A与B比赛,若有一队胜4场,则比赛宣告结束,假设A,B在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负?
23.一袋中有n张卡片,分别记为1,2,﹒﹒﹒,n,从中有放回地抽取出k张来,以X表
8
示所得号码之和,求E(X),D(X)。
24.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为:
f(x,y)=í
求:
①常数k,②E(XY)及D(XY).ìk,025.设供电网有10000盏电灯,夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7,并且彼此开闭与否相互独立,试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。
26.一系统是由n个相互独立起作用的部件组成,每个部件正常工作的概率为0.9,且必须至少由80%的部件正常工作,系统才能正常工作,问n至少为多大时,才能使系统正常工作的概率不低于0.95?
27.甲乙两电影院在竞争1000名观众,假设每位观众在选择时随机的,且彼此相互独立,问甲至少应设多少个座位,才能使观众因无座位而离去的概率小于1%。
228.设总体X服从正态分布,又设与S分别为样本均值和样本方差,又设
且Xn+1与X1,X2,×××,Xn相互独立,求统计量
Xn+1:
N(m,s2),的分布。
29.在天平上重复称量一重为a的物品,假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布
若以n表示n次称量结果的算术平均值,为使Pn-a<0.1³0.95成立,N(a,0.22),求n的最小值应不小于的自然数?
30.证明题设A,B是两个事件,满足P(BA)=P(BA),证明事件A,B相互独立。
31.证明题设随即变量X的参数为2的指数分布,证明Y=1-e
从均匀分布。
-2X()在区间(0,1)上服
9
<数理统计>试题
一、填空题
21.设X1,X2,L,X16是来自总体X~N(4,s2)的简单随机样本,s已知,令
4X-16116
服从分布为(必须写出分布的参数)。
=åXi,则统计量16i=1s
2.设X~N(m,s2),而1.70,1.75,1.70,1.65,1.75是从总体X中抽取的样本,则m的矩估计值为。
3.设X~U[a,1],X1,L,Xn是从总体X中抽取的样本,求a的矩估计为
4.已知F0.1(8,20)=2,则F0.9(20,8)=
ˆ和bˆ是比bˆ都是参数a的无偏估计,如果有成立,则称qˆ有效的估计。
5.q
6.设样本的频数分布为
则样本方差s2=_____________________。
7.设总体X~N(μ,σ²),X1,X2,„,Xn为来自总体X的样本,X为样本均值,则D(X)=________________________。
8.设总体X服从正态分布N(μ,σ²),其中μ未知,X1,X2,„,Xn为其样本。
若假设
检验问题为H0:
s2=1«H1:
s2¹1,则采用的检验统计量应________________。
9.设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H0成立时,样本值(x1,x2,„,xn)落
入W的概率为0.15,则犯第一类错误的概率为_____________________。
10.设样本X1,X2,„,Xn来自正态总体N(μ,1),假设检验问题为:
H0:
m=0«H1:
m¹0,
则在H0成立的条件下,对显著水平α,拒绝域W应为______________________。
10
11.设总体服从正态分布N(m,1),且m未知,设X1,L,Xn为来自该总体的一个样本,记
1n
=åXini=1,则m的置信水平为1-a的置信区间公式是;若已知1-a=0.95,则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2,则样本容量n至少要取____。
22X,X,L,XN(m,s)的一个简单随机样本,12n12.设为来自正态总体其中参数m和s均n1n2=åXiQ=å(Xi-)2
Hni=1,i=1未知,记,则假设0:
m=0的t检验使用的统计
量是。
(用和Q表示)
2X,X,X13.设总体X~N(m,s),且m已知、s未知,设123是来自该总体的一个样本,2
1(X1+X2+X3)+s2222X+2mX+3sXX+X+X-m,X
(1)+2m中是统计3123123则,,
量的有。
14.设总体X的分布函数F(x),设
则X1,X2,L,Xn为来自该总体的一个简单随机样本,X1,X2,L,Xn的联合分布函数。
X,K,Xn是15.设总体X服从参数为p的两点分布,p(0
设1
来自该总体的一个样本,则
的有。
åX,å(Xii=1i=1nni-)2,Xn-6,max{Xi},Xn+pX11£i£n中是统计量
16.设总体服从正态分布N(m,1),且m未知,设X1,L,Xn为来自该总体的一个样本,记
1n
=åXini=1,则m的置信水平为1-a的置信区间公式是。
22X~N(m,s)Y~N(m,s),且X与Y相互独立,设X1,L,Xm为来自总体XXYY17.设,
X的一个样本;设Y1,L,Yn为来自总体Y的一个样本;SX和SY分别是其无偏样本方差,22SX/sX
22S/sYY则服从的分布是。
218.设X~Nm,0.3n=9,均值=5,则未知参数m的置信度为0.95的置信22()
区间是(查表Z0.025=1.96)
19.设总体X~N(m,s),X1,X2,„,Xn为来自总体X的样本,X为样本均值,则D
11
2
(X)=________________________。
20.设总体X服从正态分布N(μ,σ²),其中μ未知,X1,X2,„,Xn为其样本。
若假设
检验问题为H0:
s2=1«H1:
s2¹1,则采用的检验统计量应________________。
21.设X1,X2,×××,Xn是来自正态总体N(m,s2)的简单随机样本,m和s均未知,记
n1n2X=åXi,q=å(Xi-X)2,则假设H0:
m=0的t检验使用统计量Tni=1i=12
=。
1m1n
22.设X=åXi和Y=åYi分别来自两个正态总体N(m1,s12)和N(m2,s22)的样本mi=1ni=1
2均值,参数m1,m2未知,两正态总体相互独立,欲检验H0:
s12=s2,应用法,其检验统计量是。
23.设总体X~N(m,s2),m,s2为未知参数,从X中抽取的容量为n的样本均值记为X,
*修正样本标准差为Sn,在显著性水平a下,检验假设H0:
m=80,H1:
m¹80的拒绝域
为,在显著性水平a下,检验假设H0:
s2=s02(s0已知),H1:
s1¹s02的拒绝域为。
24.设总体X~b(n,p),0
25.设总体X~U[0,q],(X1,X2,×××,Xn)是来自X的样本,则q的最大似然估计量是。
26.设总体X~N(m,0.9),X1,X2,×××,X9是容量为9的简单随机样本,均值x=5,则未知参数m的置信水平为0.95的置信区间是。
27.测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差(微米)如下:
+2,+1,-2,+3,+2,+4,-2,+5,+3,+4
则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是
28.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2)的样本,令Y=(X1+X2)+(X3-X4),2222
12
则当C=时CY~c2
(2)。
29.设容量n=10的样本的观察值为(8,7,6,9,8,7,5,9,6),则样本均值=,样本方差=
30.设X1,X2,„Xn为来自正态总体C:
N(m,s2)的一个简单随机样本,则样本均值
1n
C=åCi服从ni=1
二、选择题
1)的一部分样本,设:
1.X1,X2,L,X16是来自总体X~N(0,
2222,则Z=X1+L+X8Y=X9+L+X16Z~()Y
(A)N(0,1)(B)t(16)(C)c2(16)(D)F(8,8)
2.已知X1,X2,L,Xn是来自总体的样本,则下列是统计量的是()
11n2(D)X+aX1+5+10X(A)X+X+A(B)(C)X+aåi3n-1i=1
3.设X1,L,X8和Y1,L,Y10分别来自两个相互独立的正态总体N(-1,2)和N(2,5)的样本,
2分别是其样本方差,则下列服从F(7,9)的统计量是()S12和S22
2S124S125S125S12(A)(B)(C)(D)22224S25S25S22S2
1n24.设总体X~N(m,s),X1,L,Xn为抽取样本,则å(Xi-X)是()ni=12
(A)m的无偏估计(B)s2的无偏估计(C)m的矩估计(D)s2的矩估计
5、设X1,L,Xn是来自总体X的样本,且EX=m,则下列是m的无偏估计的是()
1n-11n-11n1n
(A)åXi(B)Xi(D)XiåXi(C)nååni=1n-1i=1n-1i=2i=1
2X,X,L,XN(m,s)的一个样本,若进行假设检验,当__12n6.设为来自正态总体__时,
13
2222m未知,检验s=sm已知,检验s=s00(A)(B)
22s未知,检验m=ms0(C)(D)已知,检验m=m0
7.在单因子方差分析中,设因子A有r个水平,每个水平测得一个容量为列说法正确的是_____(A)方差分析的目的是检验方差是否相等
(B)方差分析中的假设检验是双边检验mi的样本,则下
(C)方差分析中Se=åå(yij-i.)2
i=1j=1
rrmi包含了随机误差外,还包含效应间的差异
(D)方差分析中SA=åmi(i.-)2
i=1包含了随机误差外,还包含效应间的差异
8.在一次假设检验中,下列说法正确的是______
(A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误
(B)如果备择假设是