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第八章加权余量法,加权余量法是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法,它也是一种通用的数值计算方法前面叙述的有限元法,后面将要介绍的边界元法和无网格法都是加权余量法的一种特殊情况由于这三种方法都有自己的特点,所以,都发展成为一种独立的方法,加权余量法早期用于流体力学、传热和传质等科学领域,后来在固体力学中也有很大的发展本章将介绍加权余量法的基本概念,求解步骤和不同形式加权余量法的特点,8.1微分方程的弱形式,一般的科学和工程问题往往可以归结为在一定边界条件和初始条件下,求解微分方程式或微分方程组微分方程式(组)可以是常微分方程或偏微分方程,可以是线性的或非线性的加权余量法是一种直接从微分方程和边界条件出发进行求解的一种近似计算方法,在数学上,一般把微分方程的形式称为强形式(strongform)在理论求解微分方程有困难时就借助于数值解而在求数值解时,往往把微分方程和边界条件转换成变分形式(variationalform)或弱形式(weakform)前面已经详细叙述了弹性力学问题的各种变分原理,这里将介绍微分方程对应的弱形式,以第六章的稳态热传导方程为例说明它的弱形式稳态热传导方程和边界条件为,在域内,在边界上,在边界上,式中为边界上的已知温度,为边界上的已知热流,是有关边界上的外法线方向为简单起见,这里只考虑第一类边界条件和第二类边界条件,由于微分方程是在域内任意一点都要满足的,所以下式成立,其中是任意的函数由上式可以看出,若此积分式对于任意的函数都能满足,则微分方程必然在域内任一点都得到满足,这个结论是很显然的,假使微分方程在域内的某些点或一部分支域中不满足,即在这些地方,则可以找到适当的函数,使上式的积分不等于零因此,上述的结论是正确的同理,若边界条件在各自的边界上的任一点都得到满足,则对任意的函数应当满足,综合以上三式可得,上面第一式是对所有的函数均成立的,通常把它称为微分方程等效的积分形式或弱形式上面后二式和前面的第一式则是在全部边界条件或部分边界条件预先满足下的弱形式在上述讨论中,隐含地假定了式中的积分是能够进行计算的,这就对场函数和任意函数的选取有一定的限制,以免积分中出现无穷大的情况,在上面第一式中,是以函数自身的形式出现在积分中的,因此,对它们的选择只要是单值的,且分别在域内和边界和上可积的函数就可以了这种限制并不影响上述微分方程弱形式提法的有效性,场函数在积分中一般是以导数或偏导数的形式出现的,它的选择将取决于微分方程的最高阶次,本例是以二阶偏导数出现的,假如一个连续函数在方向有一个斜率不连续点,则在不连续点附近,函数的一阶导数是不定的,但一阶导数是可积的,即函数一阶导数的积分是存在的,但在不连续点附近,函数的二阶导数趋于无穷大,使它的积分不能进行因此,在本例中,要求场函数的一阶导数是连续的,这时它的二阶导数在域内可以有不连续点,但在域内是可积的,一般而言,一个函数在域内函数本身(即它的零阶导数)直到它的阶导数连续,它的第阶导数具有有限个不连续点,但在域内可积,则这个函数称之为具有连续性的函数,具有连续性的函数将使包含函数直至阶导数的积分成为可能在本例中,要求函数具有阶连续性,现在用分部积分法将积分式化成另外的形式,其中,若,则上式可化为,从上面两个积分式可以看出,通过分部积分后,场函数从二阶偏导数降为一阶偏导数,而任意函数则从零阶导数(即函数本身)变为一阶偏导数的形式出现,也就是说,对场函数的连续性要求降低了阶数,而这种降低是以提高对的连续性条件为代价的.,由于原来对函数的连续性并无要求,所以适当提高对它们的连续性要求是可以做到的,因为它们是可以选择的已知函数.这种降低对场函数连续性要求的做法在近似计算中是十分重要的.,从形式上看,积分形式对场函数的连续性要求降低了,但对实际物理问题常常较原来的微分方程更逼近真实性,因为原来的微分方程往往对解提出了过分平滑的要求.,微分方程等效的积分形式通常称为弱形式(weakform),在一些文献上也称为:
积分提法(integralstatement),变分方程(variationalequation),伽辽金方程(Galerkinequation)和加权余量方程(weightedresidualequation).,若在上式中设第一类边界条件是预先满足的,再令,则此式与第六章的变分方程是相同的.在第十章中将介绍上述这两种弱形式在无网格法的应用.,8.2加权余量法的计算过程,加权余量法实际上就是基于上一节的弱形式的一种微分方程的近似解法在求解域中,若场函数是精确解,在域中每一点都满足微分方程,同时,若场函数在边界和上的任意点都分别满足边界条件,此时,弱形式必然将得到严格满足,但是,对于复杂的实际问题,这样的精确解是很难找到的,因此,需要设法寻找具有一定精度的近似解用加权余量法求微分方程的近似解时,首先是假设一组试函数(TrialFunction)作为微分方程的近似解,这个近似解有已确定的试函数项,也有待定的系数或待定的函数接着将这一组试函数代入微分方程和边界条件,一般不能满足微分方程和边界条件,这就出现了余量,于是在一定的域内按某种平均的意义将余量加以消除,这就组成了消除余量的方程组,在消除余量方程组中引入了一个权函数去乘余量,以体现按某种平均意义消除余量的意思消除余量方程组是线性或非线性代数方程组,未知数是待定的系数联立求解这些代数方程组便得到了待定系数试函数中的待定系数确定后,试函数就成为满足微分方程及边界条件的近似解,我们设一个试函数(TrialFunction)为:
式中为待定系数,为试函数项,(域),(边界),(边界),在将上式代入微分方程及边界条件后,一般不满足,于是分别出现了内部余量和边界余量:
为了消除余量,我们选择内部权函数和边界权函数分别与和相乘,列出消除内部余量的方程及消除边界余量的方程:
(1),
(2),(3),也即有,(4),(5),(6),上面的加权余量方程
(1),(4),(5),(6)就是前面的弱形式从这些加权余量方程可以得到求解待定系数的代数方程组在试函数满足两种边界条件时,用式
(1),在试函数不满足两种边界条件时,用式(4),在试函数只满足一种边界条件时,则用式(5)或式(6),在试函数满足微分方程时,用式
(2)或式(3),求得解后,将解代入试函数,则的形式便确定这就是微分方程及相应边界条件的近似解,试函数如何假设以后介绍,但不管怎样假设,试函数有三种类型:
(a)试函数已满足边界条件,但不满足微分方程,这种试函数为边界型,在计算时只需消除微分方程在域内的余量,即只用
(1)式消除内部余量即可,故称这种方法为内部法,(b)试函数已满足微分方程,但不满足边界条件这种试函数为内部型只需消除边界条件在边界上的余量即可,也即只用
(2)或(3)式来消除余量这种方法称为边界法,(c)试函数既不满足微分方程,也不满足边界条件,则称为混合型这时需同时应用式(4)或式(5)或式(6)来消除内部及边界的余量这种方法称为混合法,8.3加权余量法的权函数,从加权余量法的求解过程可以看出,除了试函数以外,权函数也是重要的一个因素常用的选取权函数的方法有五种:
(1)最小二乘法(LeastSquareMethod),在域内余量的平方积分式为:
为使最小,应用求函数的极值条件:
可得消除余量的方程式:
由此可见,最小二乘法中,权函数为显而易见式可以化为个代数方程式足以求出个系数,
(2)配点法(CollocationMethod),配点法是以笛拉克函数(DiracDeltaFunction)作为权函数函数又称为单位脉冲函数,一维的单位脉冲函数的主要性质如下:
(a),(b),(c),(d),二维的单位脉冲函数的主要性质为:
(a),(b),(c),(d),于是,对一维问题的配点法为:
对于二维问题的配点法为,配点法就是在个点使其余量为零上二式分别构成个代数方程的方程组,由此可解出,(3)子域法(SubdomainMethod)将物体的域分为个子域,权函数确定如下:
在域内,在域外,列出的消除余量方程组为:
由此可得到个代数方程以求得,这个方法与有限元在概念上颇为相似,但不设立节点在此方法中,若试函数适用于全区,则不需要列出跨子域的连续条件若在每一个子域设立一个单独的函数,则必须考虑子域间的连续条件,(4)伽辽金法伽辽金是大家熟悉的方法按加权余量法的观点理解伽辽金法的试函数与权函数相同以薄板弯曲问题为例,待解方程为:
设挠度函数的解为:
其中为试函数,在伽辽金法中,试函数必须满足结构的所有边界条件在用伽辽金法时就有:
上式中圆括号内的量实际上是薄板内部的余量方程:
从上式可见,即为权函数,(5)矩量法(MethodofMoment),在一维问题中,矩量法的权函数为,二维问题中矩量法的权函数为所以,一维问题矩量法的消除余量的方程组为:
二维问题矩量法的消除余量方程组为:
上述五种加权余量法可以结合使用,如最小二乘配点法,伽辽金配点法等等,8.4加权余量法的试函数,由前面的介绍可见,在加权余量法中,试函数是十分重要的试函数必须是完备的,并且各试函数项之间是线性无关的,试函数的完备性能够保证在取足够多的试函数项时可以逼近精确解根据使用情况,试函数大致有下列八种:
(1)多项式,以幂级数形式表示,有单重和双重的;
(2)三角级数;(3)样条函数,一般是三次与五次样条函数;(4)梁振动函数;(5)杆的稳定函数;(6)正交多项式,例切比雪夫(Chebychev)多项式,勒让德(Legendre)多项式等;(7)贝塞尔函数;(8)克雷洛夫函数,8.5应用实例,下面介绍一些例子说明加权余量法的应用
(1)两端固支受均布载荷的梁一条跨度为受均布载荷作用的梁,两端均为固定支撑(图8.1)梁的挠度微分方程为:
图8.1两端固支受均布载荷的梁,式中为材料的弹性模量,为梁的惯性矩,为挠度我们选择挠度试函数为:
很容易证明这个函数满足二端的固支边界条件,将此式代入前面的微分方程计算余量:
(a)用最小二乘法消除余量:
由此解得:
于是得到解,(b)用配点法消除余量令余量即得到与上面相同的值,现在我们设另外一种试函数:
这里取多项式为五项是基于如下的考虑,因为我们有一个控制方程和四个边界条件,而梁的控制方程为四阶,为常数,故中变量的最高幂次只能是4,将所设的解代入边界条件和控制方程:
由此可得出:
于是得出与前面相同的挠度函数用子域法、辽金法和矩量法都得到同样的结果这个解实际上是问题的精确解,图8.2受均布载荷作用的简支矩形板,
(2)简支矩形板受均布载荷作用(图8.2)薄板弯曲问题的控制微分方程和简支边界条件为:
作为一级近似,我们设薄板弯曲后的挠度试函数为:
很容易证明这个函数满足简支边界条件将上式代入微分方程后可得余量方程,用最小二乘法列出消除余量的方程:
由上面两式可得出:
于是挠度函数为:
在时:
当时得到板中心点的挠度为:
与精确解相比,误差为2.5%,假如作多级近似计算,取挠度试函数为:
其中,于是余量方程为:
将上式代入最小二乘法消除余量的方程组,联立求解上述四个联立方程可得:
于是挠度函数为:
对于正方形板,得到,当时得到板中心点的挠度为:
与精确解相比误差仅为0.113%,上面的二个例子所得的解是解析形式给出的此外在加权余量法中,也可以有数值计算类型的下面以最小二乘法为例,说明连续型(得到解析形式的解)和离散型(得到数值形式的解),
(1)连续型最小二乘法:
设固体力学问题的控制微分方程及边界条件分别为:
其中及是微分算子,是边界条件的数目,和是已知的函数我们设近似解为:
其中为待求系数的集合,为自变量的集合,即有,于是该问题的内部余量和边界余量分别为:
该问题所有余量平方之和称为该问题的方差泛函:
其中及分别称为内部余量及边界余量的权函数当及为常数时,又以所除,则上
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