西安石油大学现代数值计算方法第6章.ppt
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第六章最小二乘法与曲线拟合,6.0问题的提出6.1用最小二乘法求解矛盾方程组6.2多项式拟合,如果实际问题要求解在a,b区间的每一点都“很好地”逼近f(x)的话,运用插值函数有时就要失败。
另外,插值所需的数据往往来源于观察测量,本身有一定的误差。
要求插值曲线通过这些本身有误差的点,势必使插值结果更加不准确。
如果由试验提供的数据量比较大,又必然使得插值多项式的次数过高而效果不理想。
6.0问题的提出,从给定的一组试验数据出发,寻求函数的一个近似表达式y=(x),要求近似表达式能够反映数据的基本趋势而又不一定过全部的点(xi,yi),这就是曲线拟合问题,函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。
本章介绍用最小二乘法求拟合曲线。
6.1用最小二乘法求解矛盾方程组,一、矛盾方程组的定义,设线性方程组,或写为,其矩阵形式为,当方程组的系数矩阵合增广矩阵的秩不相等时,方程组无解,此时方程组称为矛盾方程组。
对于rankAn(A的秩为n)的矛盾方程组(Nn),我们寻求其最小二乘意义下的解。
二、用最小二乘法求解矛盾方程组,1.最小二乘原则,由于矛盾方程组的精确解不存在,我们转而寻求其某种意义下,即最小二乘意义下的解。
令,称为偏差。
达到最小值,这一条件称为最小二乘原则。
工程实际中的许多问题都可以归结为矛盾方程组,实际中需要寻求矛盾方程组的一组解,以使得偏差的绝对值之和尽可能地小。
为了便于分析计算和应用,常采用使偏差的平方和,按照最小二乘原则来选择未知数x1,x2,xn的一组取值的方法称为求解矛盾方程组的最小二乘法。
符合条件的一组取值称为矛盾方程组的最小二乘解。
把Q看成是n个自变量x1,x2,xn的二次函数,记为Qf(x1,x2,xn),因此,求矛盾方程组的最小二乘解就是求二次函数Qf(x1,x2,xn)的最小值点。
问题:
二次函数Qf(x1,x2,xn)是否存在最小值?
若最小值存在,如何求出该最小值点?
2.最小二乘解的存在唯一性,引理1:
设n元实函数f(x1,x2,xn)在点P0(a1,a2,an)的某个邻域内连续,且有一阶及二阶连续的偏导数,如果,
(1),
(2)矩阵,是正(负)定矩阵,则f(a1,a2,an)是n元实函数f(x1,x2,xn)的极小(大)值。
引理2:
设非齐次线性方程组的系数矩阵A=(aij)mn,若rankA=n,(mn)则,
(1)矩阵ATA是对称正定矩阵;,
(2)n阶线性方程组有唯一的解。
证明:
(1)矩阵ATA显然是对称矩阵。
设齐次线性方程组,因为rankA=n,故齐次方程组有唯一零解。
因此,对于任意的,有,从而,故矩阵ATA是对称正定矩阵。
(2)因为矩阵ATA是正定矩阵,故rank(ATA)=n,从而线性方程组有唯一的解。
证毕,定理:
设矛盾方程组的系数矩阵的秩为n,则二次函数,一定存在最小值。
证明:
因为Q是x1,x2,xn的二次函数,故Q不仅是连续函数,且有连续的一阶及二阶偏导数。
因为,引理2说明,在条件RankA=n下,无论线性方程组Ax=b是否有解,构造的n阶方程组ATAx=ATb一定有唯一解。
故,令,即,(*),因为rankA=n,故由引理2知,上式有唯一解。
设解为x1=a1,x2=a2,xn=an,记为点P0(a1,a2,an),即二元函数Q存在点P0,使。
故满足引理1的条件
(1)。
因为,故,由引理2知,当rankA=n时,矩阵M是对称正定阵,M满足引理1的条件
(2),故由引理1知,二次函数Q存在极小值。
又因方程组(*)式有唯一解,故Q存在的极小值就是最小值,线性方程组(*)式的解就是最小值点。
证毕,Remark1:
线性方程组(*)式称为正则方程组。
Remark2:
该定理说明,只要矛盾方程组的系数矩阵A的秩rankA=n,则
(1)矛盾方程组的最小二乘解存在;
(2)正则方程组有唯一解,此解就是矛盾方程组的最小二乘解。
3.最小二乘法解矛盾方程组,计算步骤:
(1)判断方程组的秩是否满足rankA=n?
(2)写出正则方程组;,(3)求解正则方程组,其解就是矛盾方程组的最小二乘解。
解矛盾方程组例题:
一、曲线拟合模型,确定曲线的类型:
一般选取简单的低次多项式。
6.2多项式拟合,求一个次数不高于n1次的多项式:
(其中a0,a1,am待定),使其“最好”的拟合这组数据。
“最好”的标准是:
使得(x)在xi的偏差,的平方和,达到最小。
由于拟合曲线y=(x)不一定过点(xi,yi),因此,把点(xi,yi)带入y=(x),便得到以a0,a1,am为未知量的矛盾方程组,其矩阵形式为,其中,(x)在xi的偏差就是矛盾方程组各方程的偏差。
曲线拟合的条件就是确定a0,a1,am,使得偏差的平方和Q达到最小值。
据此可知,a0,a1,am就是矛盾方程组的最小二乘解,也就是正则方程组的解。
二、曲线拟合的最小二乘解法,正则方程组为:
三、解的存在唯一性,定理:
设x1,x2,xn互异,且nm+1,则上面的正则方程组有唯一的解。
证明:
只需证明矛盾方程组的系数矩阵A的秩rankA=m1。
矛盾方程组的系数矩阵A是n(m+1)的矩阵,记A的前m1行构成m1阶子矩阵,该矩阵是范德蒙矩阵,由x1,x2,xn互异知行列式不为零,从而有rankA=m1。
由引理2知,正则方程组有唯一解。
证毕,四、最小二乘法拟合曲线的步骤,1.通过观察、分析得到拟合曲线的数学模型,或根据经验公式确定数学模型。
2.将拟合曲线的数学模型转换为多项式。
3.写出矛盾方程组。
4.写出正则方程组。
(可由多项式模型直接得到),5.求解正则方程组,得到拟合曲线的待定系数。
6.将正则方程组的解带回到数学模型中,得到拟合曲线。
Remark,1.同一问题可以有不同的拟合曲线,通常根据均方误差和最大偏差的大小来衡量拟合曲线的优劣。
均方误差和最大偏差较小的拟合曲线为较优的拟合曲线。
2.在解决实际问题时,有时通过观察选择多个函数类型进行计算、分析、比较,最终获得较好的数学模型;有时把经验公式作为数学模型,只是用最小二乘法来确定公式中的待定常数。
Remark,3.当拟合曲线(x)中的待定常数是线性形式时,可直接根据矛盾方程组得到正则方程组而求解。
当待定常数不是线性形式时,则应该先将待定常数线性化,再根据矛盾方程组写出正则方程组而求解。
例1:
例2:
曲线拟合应用实例:
例1:
试用最小二乘法求一个形如(a,b为常数)的经验公式,使它与下列数据相拟合(取四位小数),解:
由于经验公式中待定常数a,b是非线性形式,故做如下变形:
令:
则有:
将x,u带入得到关于A,B的矛盾方程组,进而得正规方程组并求出A,B,由A,B得到a,b即可。
(具体计算数据见书P192页例1,2),则矛盾方程组为:
得正则方程组为:
解得:
则:
则拟合方程为:
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