函数极限与连续_精品文档.ppt
- 文档编号:2572054
- 上传时间:2022-11-02
- 格式:PPT
- 页数:89
- 大小:2.83MB
函数极限与连续_精品文档.ppt
《函数极限与连续_精品文档.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《函数极限与连续_精品文档.ppt(89页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
,1.1函数1.2极限的概念1.3极限的运算1.4函数的连续性,第1章函数极限与连续,结束,当自变量x取数值时,与对应的因变量y的值称为函数在点处的函数值,记为或.当x取遍D内的各个数值时,对应的变量y取值的全体组成,定义1设x与y是两个变量,若当变量x在非空数集D内任取一个数值时,变量x按照某种对应法则f总有一个确定的数值y与之对应,则称变量y为变量x的函数,记作,称D为该函数的定义域.记为Df称x为自变量,称y为因变量.,1.1.1函数的概念,数集称做这个函数的值域.记为Zf。
1.1函数,1.1.2函数的表示法,例1已知某商品的总成本函数为:
例2某工厂全年16月原材料进货数量如下表,这里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系,
(1)公式法用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关系,是函数的公式表示法.如例1是用公式法表示函数.,
(2)表格法自变量x与因变量y的一些对应值用表格列出,(3)图示法用函数y=f(x)的图形给出自变量x与因变量y,之间的关系.,例3需求函数与供给函数.,如图.P表示商品价格,Q表示需求量,供给量,E点为需求和供给平衡点,说明三种表示法各有所长,缺一不可,如三角函数,三角函数表,三角函数图像,都是表示三角函数,可以相互补充。
例4求函数的定义域,
(1)函数的定义域和对应法则是函数的两个主要要素。
注:
(2)如果两个函数具有相同的定义域和对应法则,则它们是相同的函数,(4)在研究由公式表达的函数时,我们约定:
函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组成的数集.,(3)在实际问题中,函数的定义域是由实际意义确定的.,解当分母时,此函数式都有意义,因此函数的定义域为,例5求函数的定义域.,所以函数的定义域为与.,解要使函数y有定义,必须使,这两个不等式的公共解为,解当时,函数值,设有函数,问它们是否为同一个函数.,例6,由于与的定义域不同,所以它们不是同一个函数.,但是的定义域,而在点无定义其定义域为,在实际问题中,有时会遇到一个函数在定义域的不同范围内,用不同的解析式表示的情形,这样的函数称为分段函数,例如符号函数,是一个分段函数,它的定义域为,分段函数是用几个公式合起来表示一个函数,而不是表示几个函数.,f(x)的定义域是0,2,,例7,当时,当时,定义设y是u的函数,y=f(u),而u是x的函数,并且的值域包含f(u)的定义域,即,则y通过u的联系也是x的函数,称此函数是由y=f(u)及复合而成的复合函数,记作,1.1.3复合函数,并称x为自变量,称u为中间变量.,例8分析函数是由哪几个函数复合而成.,解,复合而成,并易知其定义域为,例9求由函数组成的复合函数并求其定义域.,解由于的定义域为与u=3x1的值域有公共部分,,由于必须,从而,,故复合函数的定义域是.,所以由它们可以组成复合函数,例10设,解,
(1)幂函数,幂函数的定义域随的不同而不同.,1.基本初等函数,(是常数),当为无理数时,规定的定义域为,指数函数的定义域为.当a1时,它严格单调增加;当0a1时,它严格单调减少.对于任何的a,的值域都是,函数的图形都过(0,1)点.,对数函数是指数函数的反函数,它的定义域为.当a1时,它严格单调增加;当0a1时,它严格单调减少.对于任何限定的a,的值域都是,函数的图形都过(1,0)点.,
(2)指数函数是常数),在高等数学中,常用到以e为底的指数函数和以e为底的对数函数(记作lnx),lnx称为自然对数.这里e=2.7182818,是一个无理数.,(4)三角函数,常用的三角函数有:
正弦函数y=sinx;,余弦函数y=cosx;,y=sinx与y=cosx的定义域均为,它们都是以为周期的函数,都是有界函数.,数,并且在开区间内都是无界函数.,正切函数y=tanx;,余切函数y=cotx;,tanx与cotx是以为周期的周期函数,并且在其定义域内是无界函数.sinx,tanx及cotx是奇函数,cosx是偶函数.,此外还有正割函数y=secx,余割函数y=cscx,其中.它们都是以为周期的函,(5)反三角函数,三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx和y=cotx的反函数都是多值函数,我们按下列区间取其一个单值分支,称为主值分支,分别记作,反正弦函数,反余弦函数,反正切函数,反余切函数,2初等函数,定义由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或经过有限次复合运算所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,初等函数都可以用一个公式表式,大部分分段函数不是初等函数,是非初等函数,定义3设函数y=f(x)是定义在Df上的一个函数,其值域为Zf,对任意yZf,如果有唯一确定的满足y=f(x)的xDf与之对应,则得到一个定义在Zf上以y为自变量的函数,我们称它为函数y=f(x)的反函数,记作,1.1.5反函数与隐函数,1反函数,习惯上,常用x来表示自变量,y表示因变量,所以我们可以将反函数改写成,在直角坐标系中的图形与y=f(x)的图形是,关于直线y=x对称的.,例11设函数y=2x3,求它的反函数并画出图形.,解,于是得反函数,变量之间的函数关系,是由某个二元方程给出的,这样的函数称为隐函数例有些隐函数可以改写成显函数的形式,而有些隐函数不能改写成显函数的形式,把隐函数改写成显函数叫做,隐函数的显化,2隐函数,1奇偶性,设函数y=f(x)的定义域D是关于原点对称的,即当时,有.,则称f(x)为偶函数,偶函数的图形关于y轴对称;,如果对于任意的,均有,则称函数f(x)为奇函数.奇函数的图形关于坐标原点对称.,如果对任意的,均有,1.1.6函数的基本性质,例12讨论下列函数的奇偶性:
解,设函数y=f(x),如果存在正常数T,使得对于定义域内的任何x均有f(x+T)=f(x)成立,则称函数y=f(x)为,显然,若T是周期函数f(x)的周期,则kT也是f(x)的周期(k=1,2,3),通常我们说的周期函数的周期就是指最小正周期.,2周期性,周期函数,T为f(x)的周期.,例如,函数y=sinx及y=cosx都是以为周期的周期函数;,函数y=tanx及y=cotx都是以为周期的周期函数.,解设所求的周期为T,由于,例13,求函数的周期,其中为常数,并注意到的周期为,只需,使上式成立的最小正数为,所以函数的周期为,3单调性,设函数y=f(x)在区间I上有定义(即是函数y=f(x)的定义域或者是定义域的一部分).如果对于任意的,当时,均有,则称函数y=f(x)在区间上单调增加(或单调减少).,单调增加(或单调减少)的函数又称为单调递增(单调递减)函数,统称为单调函数,使函数保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单调区间.,函数内是单调减少的,在区间上是单调增加的,而在区间内则不是单调函数.,单调增加的函数的图形是沿x轴正向上升的;,单调减少的函数的图形是沿x轴正向下降的;,例如,函数内是单调增加的.,4有界性,设函数y=f(x)的定义域为D,数集,如果存在正数M,使得对于任意的,都有不等式,成立,则称f(x)在X上有界,如果这样的M不存在,就称函数f(x)在X上无界.,如果M为f(x)的一个界,易知比M大的任何一个正数都是f(x)的界.,如果f(x)在x上无界,那么对于任意一个给定的正数M,X中总有相应的点,使.,当函数y=f(x)在区间a,b上有界时,函数y=f(x)的图形恰好位于直线y=M和y=之间.,这里取=1.函数y=sinx的图形位于直线y=1与y=1之间.,例如,函数f(x)=sinx在内是有界的.这是因为对于任意的,都有成立,,应该注意,函数的有界性,不仅仅要注意函数的特点,还要注意自变量的变化范围.,例如,函数在区间(1,2)内是有界的.,事实上,若取=1,则对于任何,而在区间(0,1)内是无界的.,1.1.7函数关系的建立,例14某运输公司规定货物的吨千米运价为:
在千米以内,每千米k元;超过千米,超过部分每千米元,求运价P和运送里程s之间的函数关系,解根据题意可列出函数关系如下,这里运价P和运送里程s之间的函数关系是用分段函数表示的,总成本函数,平均成本函数,1总成本函数某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或费用总额,它由固定成本与可变成本组成,平均成本是生产一定数量的产品,平均每单位产品的成本在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下,产品的总成本与平均成本都是产量的函数,1.1.8常见的经济函数,2总收益函数总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入,是销售量的函数设p为商品价格,为Q销售量,为总收益,则有,总收益函数,平均收益函数,3总利润函数设某商品的成本函数为C,销售收益函数R为,则销售某商品个单位时的总利润函数为,例15已知某产品的总成本函数为求当生产100个该种产品时的总成本和平均成本,平均成本为,4需求函数与供给函数,解由题意,产量为100时的总成本函数为,1数列的概念,定义1自变量为正整数的函数,将其函数值按自变量n由小到大排成一列数,称为数列,将其简记为,称为数列的通项或一般项,1.2.1数列的极限,1.2极限的概念,
(1),(3),(4),
(2),即,数列,数列,数列,2.数列的极限,数列
(1)当n无限增大时,无限趋近于0,即数列
(1)以0为它的变化趋向;,数列
(2)当n无限增大时,un=无限趋近于常数1,即数列
(2)以1为它的变化趋向;,数列(3),当n无限增大时,其奇数项为1,偶数项为-1,随着n的增大,它的通项在-1,+1之间变动,所以当n无限增大时,没有确定的变化趋向;,数列(4)当n无限增大时,un也无限增大,定义2如果当n无限地增大时,通项un无限地趋向于某个确定的常数a,则说当n趋于无穷大时,un以a为极限,记成,但是,像数列等,当n越来越大时,它们各自是否有确定的变化趋势?
如果有,极限是什么?
直观上可以看出,单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.,成立,则称数列是单调减少的.,若有,3.单调数列与有界数列,数列
(2)(4)是单调增加的,数列
(1)单调减少的.,对于数列,若有,成立,则称数列是单调增加的;,对于数列,若存在正数M,使得对于一切的n都有,成立,则称数列是有界的,否则称是无界的.,容易验证数列
(1)
(2)(3)是有界的;而数列(4)是无界的.,无界数列一定是发散的.,注意数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件.,例如,数列是有界的,而却是发散数列.,定理1单调有界数列必有极限,1.当x时,函数f(x)的极限,函数,当x+时,函数f(x)无限趋近于常数1,此时我们称1为当x+时函数f(x)的极限.,定义3如果当自变量x无限增大时,函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A,则称常数A为函数f(x)当x+时的极限,记为,或,1.2.2函数的极限,-1,1,当x-时,函数f(x)无限趋近于常数1,此时我们称1为当x-时函数f(x)的极限.,定义4如果当无限增大时,函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A,则称常数A为函数f(x)当x+时的极限,记为,(x),或,定理2,的充要条件是,2当xx0时,函数f(x)的极限,当x1时,的值无限趋近于常数2,此时我们称当x趋近于1时,函数,极限为2,定义5设函数f(x)在的某邻域内有定义(x0可以除外),如果当自变量x趋近于x0时,函数f(x)的函数值无限趋近于某个确定的常数A,则称A为函数f(x)当xx0时的极限,,或,考查函数,记为,2在定义5中,x是以任意方式趋近于的,但在有些问题中,往往只需
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数 极限 连续 精品 文档
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)