与名师对话理平面向量基本定理及坐标表示.docx

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与名师对话理平面向量基本定理及坐标表示

第二节　平面向量基本定理及坐标表示

高考概览：

1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

[知识梳理]

1．平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e2＋λ2e2，其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

（1）向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则

a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），

λa＝（λx1，λy1），|a|＝.

（2）向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1），

||＝.

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，a、b共线⇔x1y2－x2y1＝0.

[辨识巧记]

1．一个关注点

在同一基底下，向量a与数对（λ1，λ2）间建立一一对应关系；在不同的基底下，同一向量a所对应的数对不同．

2．向量坐标的两个注意点

（1）点的坐标和向量坐标形式相似，但意义差异很大．

（2）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．（　　）

（2）同一向量在不同基底下的表示是相同的．（　　）

（3）设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.（　　）

（4）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件可以表示成＝.（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×

2．已知点A（0,1），B（3,2），向量＝（－4，－3），则向量＝（　　）

A．（－7，－4）B．（7,4）

C．（－1,4）D．（1,4）

[解析]　设C（x，y），∵A（0,1），＝（－4，－3），

∴解得∴C（－4，－2），又B（3,2），

∴＝（－7，－4），故选A.

[答案]　A

3．（必修4P99例8改编）设P是线段P1P2上的一点，若P1（1,3），P2（4,0）且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为（　　）

A．（2,2）B．（3，－1）

C．（2,2）或（3，－1）D．（2,2）或（3,1）

[解析]　设P点坐标为（x，y），由P是线段P1P2的三等分点得＝3或＝3.若＝3，得（3，－3）＝3（x－1，y－3），所以得所以P（2,2）；若＝3，得（－3,3）＝3（x－4，y），所以得所以P（3,1），故选D.

[答案]　D

4．（必修4P108A组T7改编）已知向量a＝（2,3），b＝（－1,2），若ma＋nb与a－2b共线，则＝（　　）

A.B．2C．－D．－2

[解析]　由向量a＝（2,3），b＝（－1,2），得ma＋nb＝（2m－n,3m＋2n），a－2b＝（4，－1）．由ma＋nb与a－2b共线，得＝，所以＝－，故选C.

[答案]　C

5．（2019·长沙模拟）已知点A（1,3），B（4，－1），则与向量同方向的单位向量为________．

[解析]　＝（4－1，－1－3）＝（3，－4），则||＝＝5.与同方向的单位向量为＝（3，－4）＝.

[答案]　

考点一　平面向量基本定理的应用

【例1】　如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b，＝λa＋μb，则λ＋μ＝________.

[思路引导]　

[解析]　由题意知＝＋，又∵A、M、D三点共线，∴存在唯一实数t使得＝t，∴＝＋t＝＋t（－）＝（1－t）＋t＝（1－t）a＋tb；

而也可被表示为＝＋，又∵B、M、C三点共线，∴存在唯一实数m使得＝m，∴＝＋m＝＋m（－）＝m＋（1－m）＝ma＋（1－m）b，

又∵a与b不共线，∴解得

∴＝a＋b，即λ＝，μ＝，

∴λ＋μ＝＋＝.

[答案]　

应用平面向量基本定理表示向量的方法

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：

（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．

（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．

[对点训练]

1．（2019·河南百校联盟质检）在四边形ABCD中，M为BD上靠近D的三等分点，且满足＝x＋y，则实数x，y的值分别为（　　）

A.，B.，

C.，D.，

[解析]　＝＋＝＋

＝＋（－）＝＋，

所以x＝，y＝.故选A.

[答案]　A

2．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝（　　）

A．a－b

B.a－b

C．a＋b

D.a＋b

[解析]　

（1）连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.故选D.

[答案]　D

考点二　平面向量的坐标运算

【例2】　

（1）已知A（1,4），B（－3,2），向量＝（2,4），D为AC的中点，则＝（　　）

A．（1,3）B．（3,3）

C．（－3，－3）D．（－1，－3）

（2）已知平面向量a＝（1,1），b＝（1，－1），则向量a－b＝（　　）

A．（－2，－1）B．（－2,1）

C．（－1,0）D．（－1,2）

[解析]　

（1）设C（x，y），则＝（x＋3，y－2）＝（2,4），所以解得即C（－1,6）．

由D为AC的中点可得点D的坐标为（0,5），

所以＝（0＋3,5－2）＝（3,3）．故选B.

（2）a＝，b＝，故a－b＝（－1,2）．故选D.

[答案]　

（1）B　

（2）D

平面向量坐标运算的2个技巧

（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．

[对点训练]

1．（2018·贵州调研）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝（2,4），＝（1,3），则＝（　　）

A．（2,4）B．（3,5）C．（1,1）D．（－1，－1）

[解析]　在▱ABCD中，＝＋，所以＝－＝（2,4）－（1,3）＝（1,1），故选C.

[答案]　C

2．设点A（2,0），B（4,2），若点P在线段AB上，且||＝2||，则P的坐标为（　　）

A．（3,1）B．（1，－1）

C．（3,1）或（1，－1）D无数多个

[解析]　设P（x，y），由题得＝2，而＝（2,2），＝（x－2，y），故（2,2）＝2（x－2，y），解得x＝3，y＝1，所以P的坐标为（3,1）．故选A.

[答案]　A

考点三　平面向量共线的坐标表示

【例3】　平面内给定三个向量a＝（3,2），b＝（－1,2），c＝（4,1）．

（1）求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

（2）若（a＋kc）∥（2b－a），求实数k；

（3）若d满足（d－c）∥（a＋b），且|d－c|＝，求d的坐标．

[思路引导]　→→

[解]　

（1）由题意得（3,2）＝m（－1,2）＋n（4,1），

所以解得

（2）a＋kc＝（3＋4k,2＋k），2b－a＝（－5,2），

由题意得2×（3＋4k）－（－5）×（2＋k）＝0，解得k＝－.

（3）设d＝（x，y），则d－c＝（x－4，y－1），

又a＋b＝（2,4），|d－c|＝，

所以解得或

所以d的坐标为（3，－1）或（5,3）．

（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：

①若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b（b≠0），则a＝λb.

（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．

[对点训练]

1．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A（1,2），B（2,1），C（4,2），则点D的坐标为________．

[解析]　因为在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，所以＝2.

设点D的坐标为（x，y），

则＝（4,2）－（x，y）＝（4－x,2－y），

又＝（2,1）－（1,2）＝（1，－1），

所以（4－x,2－y）＝2（1，－1），即（4－x,2－y）＝（2，－2），

所以解得故点D的坐标为（2,4）．

[答案]　（2,4）

2．已知向量a＝（3,1），b＝（1,3），c＝（k,7），若（a－c）∥b，则k＝________.

[解析]　依题意得a－c＝（3－k，－6），由（a－c）∥b得－6＝3（3－k），解得k＝5.

[答案]　5

课后跟踪训练（二十九）

基础巩固练

一、选择题

1．e1，e2为不共线的两个向量，下列命题正确的个数为（　　）

①λe1＋ue2（λ，u∈R）可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋ue2的实数对（λ，u）有无穷多个；③若向量λ1e1＋u1e2与λ2e1＋u2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋u1e2＝λ（λ2e1＋u2e2）；④若实数λ，u使得λe1＋ue2＝0，则λ＝u＝0.

A．1B．2C．3D．4

[解析]　对于①、②，由平面向量基本定理可知①正确，②错误；对于③，满足条件的λ有无数多个，故③错误；对于④，因为e1与e2不共线，λe1＋μe2＝0，得λ＝μ＝0，故④正确．故选B.

[答案]　B

2．已知向量a＝（1,2），b＝（－1,1），则2a＋b的坐标为（　　）

A．（1,5）B．（－1,4）

C．（0,3）D．（2,1）

[解析]　∵a＝（1,2），b＝（－1,1），∴2a＋b＝（2,4）＋（－1，1）＝（1,5）．故选A.

[答案]　A

3．若向量a＝（2,1），b＝（－2,3），则以下向量中与向量2a＋b共线的是（　　）

A．（－5,2）B．（4,10）

C．（10,4）D．（1,2）

[解析]　因为向量a＝（2,1），b＝（－2,3），所以2a＋b＝（2,5）．因为4×5－10×2＝0，故向量（4,10）与向量2a＋b共线，故选B.

[答案]　B

4．（2018·广西柳州模拟）已知向量a＝（1,2），b＝（－3，2），若（ka＋b）∥（a－3b），则实数k的取值为（　　）

A．－B.C．－3D．3

[解析]　ka＋b＝k（1,2）＋（－3,2）＝（k－3,2k＋2）．

a－3b＝（1,2）－3（－3,2）＝（10，－4），

则由（ka＋b）∥（a－3b）得

（k－3）×（－4）－10×（2k＋2）＝0，所以k＝－.故选A.

[答案]　A

5．在平面直角坐标系xOy中，已知A（1,0），B（0,1），C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝（　　）

A．2B.C．2D．4

[解析]　因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C（，），又＝λ＋μ，所以（，）＝λ（1,0）＋μ（0,1）＝（λ，μ），所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.故选A.

[答案]　A

二、填空题

6．已知平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A（4,2），B（5,7），C（－3,4），则顶点D的坐标是________．

[解析]　设D（x，y），

∵A（4,2），B（5,7），C（－3,4），

∴＝（1,5），＝（－3－x,4－y）．

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴＝，得

解得x＝－4，y＝－1.

∴点D的坐标为（－4，－1）．

[答案]　（－4，－1）

7．设向量a，b满足|a|＝2，b＝（2,1），且a与b的方向相反，则a的坐标为________．

[解析]　∵b＝（2,1），且a与b的方向相反，∴设a＝（2λ，λ）（λ<0）．

∵|a|＝2，

∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.

∴a＝（－4，－2）．

[答案]　（－4，－2）

8．已知A（－1,2），B（a－1,3），C（－2，a＋1），D（2,2a＋1），若向量与平行且同向，则实数a的值为________．

[解析]　解法一：

由已知得＝（a,1），＝（4，a），因为与平行且同向，故可设＝λ（λ>0），则（a,1）＝λ（4，a），所以解得故所求实数a＝2.

解法二：

由已知得＝（a,1），＝（4，a），由∥，得a2－4＝0，解得a＝±2.又向量与同向，易知a＝－2不符合题意．故所求实数a＝2.

[答案]　2

三、解答题

9．已知A（－2,4），B（3，－1），C（－3，－4）．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，

（1）求3a＋b－3c；

（2）求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

（3）求M，N的坐标及向量的坐标．

[解]　由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1,8）．

（1）3a＋b－3c＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1,8）

＝（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）．

（2）∵mb＋nc＝（－6m＋n，－3m＋8n），

∴解得

（3）设O为坐标原点，∵＝－＝3c，

∴＝3c＋＝（3,24）＋（－3，－4）＝（0,20），

∴M（0,20）．

又∵＝－＝－2b，

∴＝－2b＋＝（12,6）＋（－3，－4）＝（9,2），

∴N（9,2）．∴＝（9，－18）．

10．已知a＝（1,0），b＝（2,1），

（1）当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；

（2）若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．

[解]　

（1）ka－b＝k（1,0）－（2,1）＝（k－2，－1），a＋2b＝（1,0）＋2（2,1）＝（5,2）．

∵ka－b与a＋2b共线，∴2（k－2）－（－1）×5＝0，

即2k－4＋5＝0，得k＝－.

（2）解法一：

∵A、B、C三点共线，∴＝λ，

即2a＋3b＝λ（a＋mb），∴解得m＝.

解法二：

＝2a＋3b＝2（1,0）＋3（2,1）＝（8,3），

＝a＋mb＝（1,0）＋m（2,1）＝（2m＋1，m），

∵A、B、C三点共线，∴∥，

∴8m－3（2m＋1）＝0，即2m－3＝0，∴m＝.

能力提升练

11．（2019·江西南昌十校二模）已知向量a＝（1，－2），b＝（x,3y－5），且a∥b，若x，y均为正数，则xy的最大值是（　　）

A．2B.

C.D.

[解析]　∵a∥b，∴（3y－5）×1＋2x＝0，即2x＋3y＝5.

∵x>0，y>0，∴5＝2x＋3y≥2，

∴xy≤，当且仅当3y＝2x时取等号．故选C.

[答案]　C

12．（2019·湖南长沙模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1,2）．动点P满足＝λ＋μ，其中λ，μ∈[0,1]，λ＋μ∈[1,2]，则所有点P构成的图形的面积为（　　）

A．1B．2C.D．2

[解析]　以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，

∵＝λ＋μ，且λ，μ∈[0,1]，λ＋μ∈[1,2]，

∴点P位于△ABC内部（包含边界）．

∴所有点P构成的图形的面积为××2＝.故选C.

[答案]　C

13．（2019·九江模拟）P＝{a|a＝（－1,1）＋m（1,2），m∈R}，Q＝{b|b＝（1，－2）＋n（2,3），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．

[解析]　P中，a＝（－1＋m,1＋2m），Q中，b＝（1＋2n，－2＋3n）．

则得

此时a＝b＝（－13，－23）．

[答案]　{（－13，－23）}

14．已知点O（0,0），A（1,2），B（4,5）且＝＋t.

（1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围；

（2）四边形OABP能否为平行四边形？

若能，求出相应的实数t；若不能，请说明理由．

[解]　∵O（0,0），A（1,2），B（4,5），

∴＝（1,2），＝（4－1,5－2）＝（3,3）．

（1）设P（x，y），则＝（x，y），若点P在第二象限，

则且（x，y）＝（1,2）＋t（3,3），

∴∴∴－

（2）因为＝（1,2），＝－＝（3－3t,3－3t），

若四边形OABP为平行四边形，则＝.

由得此方程组无解，

∴四边形OABP不可能为平行四边形．

拓展延伸练

15．（2018·广东化州二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2,3），B（3,2），C（1,1），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）内，设＝m－n（m，n∈R），则2m＋n的最大值为（　　）

A．－1B．1C．2D．3

[解析]　由已知得＝（1，－1），＝（1,2），设＝（x，y），

∵＝m－n，∴∴2m＋n＝x－y.

作出平面区域如图所示，令z＝x－y，则y＝x－z，由图象可知当直线y＝x－z经过点B（3,2）时，截距最小，即z最大．

∴z的最大值为3－2＝1，即2m＋n的最大值为1.故选B.

[答案]　B

16．设＝（1，－2），＝（a，－1），＝（－b,0），a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是________．

[解析]　据已知可知∥，又∵＝（a－1,1），＝（－b－1,2），∴2（a－1）－（－b－1）＝0，

∴2a＋b＝1，∴＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，∴＋的最小值是8.

[答案]　8