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与名师对话理正态分布
第九节 正态分布
高考概览:
1.了解正态分布的定义,正态曲线的特征,会求服从正态分布的随机变量的概率;2.记住正态总体在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ)和(μ-3σ,μ+3σ)上取值的概率,并能在一些简单的实际问题中应用该原则.
[知识梳理]
1.正态曲线的定义
函数φμ,σ(x)=e-,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数,称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
2.正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a,b(a
3.正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴的上方,与x轴不相交;
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
(3)曲线在x=μ处达到峰值;
(4)曲线与x轴之间的面积为1;
(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿着x轴平移;
(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定:
σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散。
4.正态分布中的3σ原则
(1)P(μ-σ (2)P(μ-2σ (3)P(μ-3σ [辨识巧记] 一条曲线 正态曲线如图所示. P(x<μ)=P(x>μ)=. [双基自测] 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)曲线关于直线x=μ对称,这个曲线在x轴上方.( ) (2)曲线关于直线x=σ对称,这个曲线只有当x∈(-3σ,3σ)时才在x轴上方.( ) (3)曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低.( ) (4)曲线的对称轴由μ确定,曲线的形状由σ确定.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=( ) A.0.954B.0.977C.0.488D.0.477 [解析] P(-2≤ξ≤2)=1-2P(ξ>2)=1-0.023×2=0.954. [答案] A 3.已知某批零件的长度误差(单位: 毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附: 若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.) A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74% [解析] 由已知μ=0,σ=3.所以P(3<ξ<6)=[P(-6<ξ<6)-P(-3<ξ<3)]=(95.44%-68.26%)=×27.18%=13.59%.故选B. [答案] B 4.设X~N(μ1,σ),Y~N(μ2,σ),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( ) A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t) D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t) [解析] 由正态分布密度曲线的性质可知,X~N(μ1,σ),Y~N(μ2,σ)的密度曲线分别关于直线x=μ1,x=μ2对称,因此结合题中所给图象可得,μ1<μ2,所以P(Y≥μ2) P(X≤σ1),B错误.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t),P(X≥t)≤P(Y≥t),C正确,D错误. [答案] C 5.已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64),则成绩在140分以上的考生所占的百分比为__________. (注: P(μ-σ [解析] 依题意,得μ=116,σ=8,所以μ-3σ=92,μ+3σ=140,而服从正态分布的随机变量在(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率约为0.997,所以成绩在区间(92,140)内的考生所占的百分比约为99.7%,从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为=0.15%. [答案] 0.15% 考点一 正态分布的性质 【例1】 已知三个正态分布密度函数φi(x)=e-(x∈R,i=1,2,3)的图象如图所示,则( ) A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3 [解析] 由正态曲线关于直线x=μ对称,知μ1<μ2=μ3;σ的大小决定曲线的形状,σ越大,总体分布越分散,曲线越矮胖;σ越小,总体分布越集中,曲线越瘦高,则σ1=σ2<σ3.故选D. [答案] D 对X~N(μ,σ2)中的μ,σ的意义不清楚,特别是对μ的认识不清楚,就会在解题时无从下手,导致随便给出一个结果.这里μ是随机变量X的均值,σ是标准差,x=μ是正态分布密度曲线的对称轴. [对点训练] (2019·南宁二中、柳州高中第二次联考)甲、乙两类水果的质量(单位: kg)分别服从正态分布N(μ1,σ),N(μ2,σ),其正态分布密度曲线如图所示,则下列说法错误的是( ) A.甲类水果的平均质量为0.4kg B.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于水均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99 [解析] 由图象可知甲的正态曲线关于直线x=0.4对称,乙的正态曲线关于直线x=0.8对称,所以μ1=0.4,μ2=0.8,故A正确,C正确.由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右,故B正确.因为乙的正态曲线的最大值为1.99,即=1.99,所以σ2≠1.99,故D错误,选D. [答案] D 考点二 正态分布的计算 【例2】 (1)若随机变量ξ服从正态分布N(0,1),已知P(ξ<-1.96)=0.025,则P(|ξ|<1.96)=( ) A.0.025B.0.050 C.0.950D.0.975 (2)为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态曲线如图所示.若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况,则这1000名男生中体重属于正常情况的人数是( ) A.997B.954C.819D.683 [思路引导] (1)→→ (2)→→ [解析] (1)由随机变量ξ服从正态分布N(0,1),得 P(ξ<1.96)=1-P(ξ≤-1.96),所以P(|ξ|<1.96)=P(-1.96<ξ<1.96)=P(ξ<1.96)-P(ξ≤-1.96)= 1-2P(ξ≤-1.96)=1-2P(ξ<-1.96)=1-2×0.025=0.950. (2)由题意,可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5 [答案] (1)C (2)D 正态分布的计算要点 (1)熟记P(μ-σ (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. (3)正态分布的计算可结合图象进行,并可根据μ和σ的不同取值得到不同的图象,特别地,当μ=0时,图象关于y轴对称. [对点训练] 1.(2019·惠州市二调)设随机变量ξ服从正态分布N(4,3),若P(ξa+1),则实数a等于( ) A.7B.6C.5D.4 [解析] 由随机变量ξ服从正态分布N(4,3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x=4,又P(ξa+1),∴x=a-5与x=a+1关于直线x=4对称,∴(a-5)+(a+1)=8,即a=6.选B. [答案] B 2.(2019·合肥市高三一检)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位: 克)服从正态分布N(100,4).现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品,其中质量在[98,104]内的产品估计有( ) 附: 若X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ A.3413件B.4772件 C.6826件D.8186件 [解析] 由题意知μ=100,σ=2,则P(98 [答案] D 考点三 正态分布的综合应用 【例3】 (2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位: cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2). (1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性; ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得=i=9,97,s==≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16. 用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查? 剔除(-3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01). 附: 若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ 0.997416≈0.9592,≈0.09. [思路引导] (1)→ (2)→ [解] (1)由题可知,抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974, 则在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026, 所以X~B(16,0.0026). 又P(X=0)=C0.00260×0.997416≈0.9592, 所以P(X≥1)=1-P(X=0)≈1-0.9592=0.0408. 由于X~B(16,0.0026),所以E(X)=16×0.0026=0.0416. (2)①一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026, 由 (1)知,一天内抽检零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率为0.0408,为小概率事件, 因此监控生产过程的方法合理. ②由=9.97,s≈0.212,得μ的估计值=9.97,σ的估计值=0.212,所以-3=9.97-3×0.212=9.334,+3=9.97+3×0.212=10.606. 所以(-3,+3)=(9.334,10.606). 因为9.22∉(9.334,10.606),所以需对当天的生产过程进行检查. 因此剔除9.22, 剔除数据之后,==10.02, s2=[(9.95-10.02)2+(10.12-10.02)2+(9.96-10.02)2+(9.96-10.02)2+(10.01-10.02)2+(9.92-10.02)2+(9.98-10.02)2+(10.04-10.02)2+(10.26-10.02)2+(9.91-10.02)2+(10.13-10.02)2+(10.02-10.02)2+(10.04-10.02)2+(10.05-10.02)2+(9.95-10.02)2]× ≈0.008, 所以=≈0.09, 所以估计μ和σ分别为10.02和0.09. 本题考查正态分布、概率统计问题的综合,是在知识网络的交汇处命制的一道较为新颖的试题.正态分布与统计案例的知识在近几年高考中都有体现,由于考生对这些知识重视不够,复习不全面,一旦这些知识出了考题,虽然简单但也做错,甚至根本不会做,因而错误率相当高,应重视全方位复习. [对点训练] (2019·合肥市高三二检)为了解A市高三学生的数学复习备考情况,该市教研机构组织了一次检测考试,并随机抽取了部分高三理科学生的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图,试估计该市参加此次检测考试的理科学生的数学平均成绩μ0;(精确到个位) (2)研究发现,本次检测考试的理科数学成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ=μ0,σ=19.3. ①按以往的统计数据,理科数学成绩能达到升一本分数要求的学生约占46%,据此估计在本次检测考试中达到升一本的理科数学成绩是多少分? (精确到个位) ②已知A市高三理科学生约有10000名,某理科学生在此次检测考试中数学成绩为107分,则该学生在全市的排名大约是多少? (说明: P(x≥x1)=1-Φ表示x≥x1的概率,Φ用来将非标准正态分布化为标准正态分布,即X~N(0,1),从而利用标准正态分布表Φ(x0),求x≥x1时的概率P(x≥x1),这里x0=.相应于x0的值Φ(x0)是指总体取值小于x0的概率,即Φ(x0)=P(x Φ(0.7045)=0.54,Φ(0.6772)=0.46,Φ(0.21)=0.5832). [解] (1)由题意估计该市此次检测考试中理科学生的数学平均成绩μ0=65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03=103.2≈103(分). (2)①记在本次检测考试中达到升一本的理科数学成绩为x1分, 根据题意,P(x≥x1)=1-Φ()=1-Φ()=0.46, 即Φ()=0.54. 由Φ(0.7054)=0.54得,=0.7054⇒x1≈116.6≈117, 所以,在本次检测考试中达到升一本的理科数学成绩约为117分. ②P(x≥107)=1-Φ()=1-Φ(0.2073)≈1-0.5832=0.4168, 所以10000×0.4168=4168, 所以,理科数学成绩为107分的该学生在全市的排名大约是第4168名. 课后跟踪训练(七十八) 基础巩固练 一、选择题 1.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且P(X≥3)=P(X≤1),若P(0 A.0.35B.0.25C.0.15D.0.05 [解析] 由P(X≥3)=P(X≤1)可知,正态曲线的对称轴为直线μ=×(1+3),即直线μ=2,故P(0 [答案] C 2.如果随机变量X~N(2,22),若P(X A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8 [解析] 根据正态分布密度曲线的对称性,知P(X>4-a)=P(X4-a)=0.8. [答案] D 3.设随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),则函数f(x)=2x2-4x+ξ不存在零点的概率为( ) A.B.C.D. [解析] 由函数f(x)=2x2-4x+ξ不存在零点,令f(x)=0得Δ=16-8ξ<0,解得ξ>2,又随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),所以P(ξ>2)=,即函数f(x)=2x2-4x+ξ不存在零点的概率为,故选A. [答案] A 4.如果随机变量X~N(μ,σ2),且E(X)=3,D(X)=1,则P(0 A.0.210B.0.003C.0.681D.0.0215 [解析] X~N(3,12),因为0 [答案] D 5.已知(+x6)4展开式中的常数项为a,且X~N(1,1),则P(3 (附: 若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ A.0.043B.0.0214 C.0.3413D.0.4772 [解析] 因为(+x6)4展开式中的常数项为a,所以a=C3x6=4.因为X~N(1,1),所以正态曲线关于直线x=1对称,因为P(-1 [答案] B 二、填空题 6.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为________. [解析] 由正态分布N(1,σ2)(σ>0)的图象关于直线x=1对称,且ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,知ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4,故ξ在(0,2)内取值的概率为0.8. [答案] 0.8 7.(2019·云南省高三统一检测)某校1000名高三学生参加了一次数学考试,这次考试考生的分数服从正态分布N(90,σ2).若分数在(70,110]内的概率为0.7,估计这次考试分数不超过70的人数为________. [解析] 记考试成绩为ξ,则考试成绩的正态曲线关于直线ξ=90对称.因为P(70<ξ≤110)=0.7,所以P(ξ≤70)=P(ξ>110)=×(1-0.7)=0.15,所以这次考试分数不超过70的人数为1000×0.15=150. [答案] 150 8.已知随机变量X服从正态分布,其正态分布密度曲线为函数f(x)=e-(x∈R)的图象,若f(x)dx=,则P(X<0)=________. [解析] 因为正态分布密度曲线为函数f(x)=e-(x∈R)的图象,所以总体的期望μ=1,标准差σ=1,故函数f(x)的图象关于直线x=1对称.又f(x)dx==P(0 [答案] 三、解答题 9.已知某厂生产的电子产品的使用寿命X(单位: 小时)服从正态分布N(1000,σ2),且P(X<800)=0.2,P(X≥1300)=0.02. (1)现从该厂随机抽取一件产品,求其使用寿命在[1200,1300)的概率; (2)现从该厂随机抽取三件产品,记抽到的三件产品的使用寿命在[800,1200)的件数为Y,求Y的分布列和数学期望E(Y). [解] (1)因为X~N(1000,σ2),P(X<800)=0.2,P(X≥1300)=0.02, 所以P(1200≤X<1300)+P(X≥1300)=P(X≥1200)=P(X<800)=0.2. 所以P(1200≤X<1300)=0.2-0.02=0.18. 故抽取的产品的使用寿命在[1200,1300)的概率为0.18. (2)因为P(800≤X<1200)=1-2P(X<800)=1-2×0.2=0.6, 所以Y~B(3,0.6). P(Y=0)=C×0.60×(1-0.6)3=0.064,P(Y=1)=C×0.6×(1-0.6)2=0.288, P(Y=2)=C×0.62×(1-0.6)=0.432,P(Y=3)=C×0.63×(1-0.6)0=0.216. 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 所以E(Y)=3×0.6=1.8. 10.(2019·银川统考)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图: (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2. ①利用该正态分布,求P(187.8 ②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用①的结果,求E(X). 附: ≈12.2. 若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ [解] (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为 =170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200, s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150. (2)①由 (1)知,Z~N(200,150),从而P(187.8 ②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知X~B(100,0.6826),所以E(X)=100×0.6826=68.26. 能力提升练 11.(2019·海南海口期末)已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X>1)=0.5,P(X>2)=0.3,则P(X<0)=( ) A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8 [解析] 随机变量X服从正态分布N(a,4),所以曲线关于x=a对称,且P(X>a)=0.5.由P(X>1)=0.5,可知a=1,所以P(X<0)=P(X>2)=0.3,故选B. [答案] B 12.(2019·湖北荆门,荆州,襄阳,宜昌四地七校联盟模拟)设随机变量η服从正态分布N(1,σ2),若P(η<-1)=0.2,则函数f(x)=x3+x2+η2x没有极值点的概率是( ) A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8 [解析] ∵函数f(x)=x3+x2+η2x没有极值点, ∴f′(x)=x2+2x+η2=0无解或只有一解, ∴Δ=4-4η2≤0, ∴η≤-1或η≥1, ∵随机变量η服从正态分布N(1,σ2),P(η<-1)=0.2. ∴P(η<-1或η>1)=0.2+0.5=0.7,故选C. [答案] C 13.(2019·湖北孝感期末)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ>3)=0.028,则P(-1
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