02第二章直线运动.docx
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02第二章直线运动
第二章直线运动
第一节运动学的基本概念
●高考再现
【题1】(2000年上海)一架飞机水平匀速地在某同学头顶飞过,当他听到飞机的发动机声从头顶正上方传来时,发现飞机在他前上方约与地面成60°的方向上,据此可估算出此飞机的速度约为声速的倍。
[解析]如图所示,依题意,当飞机发出的声音从A传到O时,飞机从A运动到B。
设声速为v,飞机速度为v′,则
OA=vt
AB=v′t,
≈0.58.
[答案]0.58
【题2】(2000年全国)一辆实验小车可沿水平地面(图中纸面)上的长直轨道匀速向右运动。
有一台发出细光束的激光器装在小转台M上,到轨道的距离MN为d=10m,如图所示。
转台匀速转动,使激光束在水平面内扫描,扫描一周的时间为T=60s。
光束转动方向如图中箭头所示。
当光束与MN的夹角为45°时,光束正好射到小车上。
如果再经过△t=2.5s光束又射到小车上,则小车的速度为多少?
(结果保留二位数字)
[解析]△t内,光线转过角度
△θ=
×360°≈15°①
如右图,有两种可能
(1)光线照射小车时,小车正接近N点,△t内光束与MN的夹角从45°变成30°,小车走过L1,
小车速度应为vl=L1/△t②
由图知L1=d(tan45°-tan30°)③
由②③得v1=1.7m/s。
(2)光线照射小车时,小车正离开N点,△t内光束与MN夹角从45°变成60°,小车走过L2
小车速度v2=L2/△t④
由图知L2=d(tan60°-tan45°)⑤
由④⑤得v2=2.9m/s。
[答案]1.7m/s或2.9m/s
●考点扫描
一、参考系:
1.概念:
为了研究物体的运动,而假定为不动的物体,叫参考系。
2.选取:
参考系的选取可以是任意的,通常以地面为参考系。
3.质点:
用来代替物体的有质量的点。
二、路程和位移
1.路程:
等于物体的运动轨迹的长度,是标量.
2.位移:
①意义:
描述物体位置改变,是矢量.
②表示方法:
用由起点指向末点的有向线段来表示.
③位移大小等于路程条件:
单方向的直线运动.
三、速度和速率
1.速度:
描述物体运动快慢的物理量.分平均速度和瞬时速度.
大小:
2.平均速度:
意义:
粗略描述物体运动快慢
对应:
某一段时间(或某一段
位移)
大小:
v=
3.瞬时速度意义:
能精确描述物体运动快慢
对应:
某一时刻(或一位置)
4.瞬时速率(简称速度):
是瞬时速度大小、标量
5.平均速率:
v=
标量,不等于平均速度大小.
四、加速度
1.定义:
描述速度变化快慢的物理量,是速度对时间的变化率.
2.大小:
a=
3.物体做直线运动条件:
a∥v或F合∥v
物体做曲线运动条件:
a∥v或F合∥v
●方法点拨
1.位移和路程的区别
位移和路程是两个不同的概念,位移是矢量,与物体运动的具体路径无关,只与初、末位置有关;路程是标量,是物体运动所经过的路径的长度,故只有在单向直线运动中位移的大小才与路程相等。
2.关于平均速度和瞬时速度的理解
(1)在匀速直线运动中,由于速度不变,即,跟s的t的比值s/t不变,平均速度与瞬时速度相同,即v=s/t,既是平均速度,也是物体各个时刻的速度。
在变速运动中,
=s/t随s或t的选取的不同而不同,而且是反映这段位移上的平均速度,它只能粗略地描述这段位移上运动的快慢程度。
对做匀变速运动的物体,在它过某个位置附近选很小一段位移△s,△s小到在这段位移上察觉不到速度有变化,即在△s上物体是匀速。
那么这段位移上的平均速度与这段位移上各个时刻的瞬时速度相等。
即定义为:
物体在一位置的速度等于在这一位置附近取一小段位移△s,与这段△s所用时间△t之比值。
即△t趋近于0时,
=v。
(2)平均速度的大小和方向跟时间间隔的选择有关。
不同阶段的平均速度一般不同,所以求平均速度时,必须明确是求哪一段位移或哪一段时间内的平均速度。
(3)平均速度公式
对任何运动都成立,而
仅对匀变速直线运动成立。
3.关于加速度的理解
(1)加速度不是速度的增加,加速度是描述速度变化快慢与变化方向的物理量。
(2)加速度与速度无直接关系,只要速度在变化,无论速度大小,都有加速度;只要速度不变化(匀速),无论速度多大,加速度总是零;只要速度变化快,无论速度是大、是小或是零,物体加速度都大。
(3)加速度大小是描述速度变化快慢的物理量,只与速度的变化△v与发生这一变化所用时间△t的比值△v/△t有直接关系,而与速度的变化△v无直接关系。
物体有了加速度,经过一段时间速度有一定变化,因此速度的变化△v是一个过程量,它的大小与具体的物理过程密切相关。
因此a大,△v不一定大;反过来,△v大,a也不一定大。
(4)物体有一定大小的加速度,加速度方向的不同,物体的运动情况(轨迹,速度方向)也不相同。
当加速度方向与速度方向平行时,物体做直线运动;当加速度方向与速度方向不平行时,物体做曲线运动;当加速度方向与速度方向一致,物体做加速直线运动;当加速度方向与速度方向相反,物体做减速直线运动。
因此物体速度是增大还是减小,视加速度与速度方向关系,方向一致速度增大,方向相反速度减小。
4.关于平均速度和平均速率
(1)公式:
平均速度=
,平均速率=
。
(2)两者大小一般不相等,只有当物体做单向直线运动时,平均速度的大小才等于平均速率。
(3)平均速度是矢量,其方向与位移的方向相同,平均速率为标量。
5.对a=
的理解
(1)此公式是—矢量公式,说a与速度的变化率
大小相等,方向相同。
(2)此公式说明a与
两者相等,但不能认为a由△v/△t来确定。
据牛顿第二定
律F=ma,物体的加速度由合外力F和物体的质量m共同确定。
●典例分析
【例l】甲、乙两辆汽车沿平直公路从某地同时驶向同一目标,甲车在前一半时间内以速度v1做匀速运动,后一半时间内以速度v2做匀速运动;乙车在前一半路程中以速度v1做匀速运动,后一半路程中以速度v2做匀速运动,则()
A.先到达B.先到达
C.乙同时到达D.不能确定
[解析]设甲、乙车从某地到目的地距离为s,则对甲车有s=v1·
+v2·
,即t甲=2s/(v1+v2),对乙车有t2=
,所以
,由数学知识知(v1+v2)2>4vlv2,故
<1,t甲 [答案]A。 【例2】如图是物体s—t图象, (1)求前3s内的位移? (2)求1—3s内的位移? [解析] (1)前3s内,s=s3-s0=-5-10=-15(m) (2)1~3s内: s=s3-s1=-10(m) 【例3】一质点沿x方向作直线运动,位移x=5+2t3,求 (1)0~2s内平均速度? (2)2~3s内平均速度? [解析] (1) = =8m/s (2) = =38m/s 【例4】天文观测表明,几乎所有远处的恒星(或星系)都在以各自的速度背离我们而运动,离我们越远的星体,背离我们运动的速度(称为退行速度)越大;也就是说,宇宙在膨胀,不同星体的退行速度w和它们离我们的距离r成正比,即v=Hr,式中H为一常量,称为哈勃常数,已由天文观察测定。 为解释上述现象,有人提出一种理论,认为宇宙是从一个大爆炸的火球开始形成的,假设大爆炸后各星体即以不同的速度向外匀速运动,并设想我们就位于其中心,则速度越大的星体现在离我们越远,这一结果与上述天文观测一致。 由上述理论和天文观测结果,可估算宇宙年龄T,其计算式为T=。 根据近期观测,哈勃常数H=3×10-2m/(s·光年),其中光年是光在一年中行进的距离,由此估算宇宙的年龄约为 年。 [解析]由题意可知,可以认为宇宙中的所有星系均从同一点同时向外做匀速直线运动。 由于各自的速度不同,所以星系间的距离都在增大。 以地球为参照物,所有星系以不同的速度均在匀速远离。 则由s=vt可得r=vT 所以,宇宙年龄T= 若哈勃常数H=3×10—2m/(s·光年) 则T= = ×3.0×108年=1010年。 [答案] 1010 ●思考讨论 1.能否认为大的物体不能看作质点,小的物体能看作质点? [答案]不能。 一个物体能否看作质点应与研究的问题有关,不能以大小而论。 同一物体,在不同的问题情景中,有时能看作质点,有时不能看作质点。 2.速度计指示的速度是平均速度还是瞬时速度? [答案]瞬时速度。 3.“日出东方,夕阳西下”是以什么为参考系的? “坐地日行八万里”是以什么作为参考系的? [答案]分别以地球和太阳为参考系。 4.平均速率等于平均速度的大小,这种说法对吗? [答案]平均速度等于位移与时间的比值,而平均速率等于路程与时间的比值,而位移的大小不一定等于路程。 只有单向直线运动中才相等。 5.有人说“速度大,加速度一定大”,这种说法对吗? [答案]这种说法不对。 因为速度是描述物体运动状态的物理量,而加速度是描述物体运动状态改变快慢的物理量,加速度的大小和速度大小没有直接关系,加速度大只能说明速度变化的快,而不能说明物体运动速度就大,加速度很大速度可能很大,也可能很小,甚至可能为零;反之速度很大,加速度可能很大,也可能很小,甚至可能为零(例匀速行驶的汽车)。 6.平均速度一定等于初、末速度的平均值吗? 如何求平均速度? [答案]不一定,对匀变速直线运动可以。 求平均速度时应该用位移除以时间。 ●能力训练 1.下列关于质点的说法中,正确的是(D) A.只要是体积很小的物体都可看成质点 B.只要是质量很小的物体都可看成质点 C.质量很大或体积很大的物体都一定不能看成质点 D.由于所研究的问题不同,同一物体有时可以看作质点,有时不能看作质点 [解析]一个物体能否看成质点,取决于它的形状和大小在所研究的问题中是否可以忽略不计,跟它体积的大小、质量的大小以及运动速度的大小无关。 本题正确答案为D。 2.下列所描述的运动中,可能的是(D) A.速度不变,加速度很小 B.速度变化方向为正,加速度方向为负 C.速度变化越来越快,加速度越来越小 D.速度越来越大,加速度越来越小 [解析]因为△v=a·△t,尽管a很小,只要△t足够大,△v可以很大,选项A错误。 当a与v同方向时,质点做加速运动,尽管a逐渐减小,但a与△v还是同方向,所以v还要增大,一直增大到a减小到零为止,故选项D正确。 加速度方向和速度变化方向一定相同,所以选项B是错误的。 加速度a=△v/△t是描述速度变化快慢的物理量,速度变化快,加速度一定大,所以选项C错误。 3.一个质点沿半径为R的两半圆弧由A运动到C,如图所示,在此过程中,它的位移大小和路程分别为(A) A.4R,2πRB.4R,-2πR C.-4R,2πRD.-4R,-2πR [解析]位移是矢量,大小等于AC,方向由A指向C;路程是标量,等于沿两个半圆计算的弧长,无方向。 4.短跑运动员在100m竞赛中,测得7s末的速度是9m/s,10s末到达终点时的速度是10.2m/s,则运动员在全程内的平均速度为(C) A.9m/sB.9.6m/s C.10m/sD.10.2m/s [解析]题目中的“7s末”“9m/s”和"10.2m/s”都是多余的条件,100m竞赛中当然是变速运动。 “100m”和"10s末到达终点”才是根据定义式求平均速度的必要条件 m/s=10m/s。 5.在百米决赛时,甲、乙两位记时员同时记录第一名的成绩。 甲看到发令枪的烟雾时开始记时,乙听到发令枪响开始记时,当运动员到达终点,甲、乙同时停止记时。 已知光在空气中的传播速度约为3.0×108m/s,声音在空气中的传播速度约为340m/s,那么(B) ①甲、乙两位记时员所记录的时间相同②甲记时员所记录的时间比乙所记录的时间大约多了0.3s③甲记时员所记录的时间比乙所记录的时间大约少了0。 3s④甲记时员所记录的时间是正确的 A.①B.②④ C.③④D.①③ [解析]发令枪响、冒烟、运动员起跑是同时发生的,但由于光速远大于声速,所以以看到烟雾为记时起点比较准确。 声音传播100m大约用时100/340s≈0.3s。 6.太阳从东边升起,西边落下,是地球上的自然现象有,但在某些条件下,在纬度较高地区上空飞行的飞机上,旅客可以看到太阳从西边升起的奇妙现象.这些条件是 A.时间必须是在清晨,飞机正在由东向西飞行,飞机的速度必须较大 B.时间必须是在清晨,飞机正在由西向东飞行,飞机的速度必须较大 C.时间必须是在傍晚,飞机正在由东向西飞行,飞机的速度必须较大 D.时间必须是在傍晚,飞机正在由西向东飞行,飞机的速度不能太大 [答案]C [解析]本题解题关键: ①弄清地球上的晨昏线,②理解飞机顺着地球自转方向运动称为向东,逆着地球自转方向运动称为向西.右图上标明了地球的自转方向.ObO′为晨线,OdO′为昏线(右半球上为白天,左半球上为夜晚).若在纬 度较高的b点,飞机向东(如图上向右),旅客看到的太阳仍是从东方升起,设飞机飞行速度为v1,地球在该点的自转线速度为v2,在b点,飞机向西飞行时,若v1>v2,飞机处于地球上黑夜区域;若v1 在同纬度的d点(在昏线上),飞机向东(如图上向左)飞行,飞机处于地球上黑夜区域,旅客看不到太阳;飞机向西(如图上向右)飞行,若v1>v2,旅客可看到太阳从西边升起,若v1 7.两木块自左向右运动,现用高速摄影机在同一底片上多次曝光,记录下每次曝光木块的位置,如图所示,连续两次曝光的时间间隔是相等的.由图可知 A.在时刻t2以及时刻t3两木块速度相同 B.在时刻t3两木块速度相同 C.在时刻t3和时刻t4之间某瞬时两木块速度相同 D.在时刻t1和时刻t5之间某瞬时两木块速度相同 [答案]C. [解析]设连续两次曝光的时间间隔为t,记录木位置的直尺最小刻度间隔长为l,由图可以看出下面木块间隔均为4l,木块匀速直线运动,速度v= .上面木块相邻的时间间隔时间内木块的间隔分别为2l、3l、4l、5l、6l、7l、,相邻相等的时间间隔t内的位移之差为Δl=l=恒量.所以上面木块做匀变速直线运动,它在某段时间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度分别为: v2= ;v3= 、 v4= ;v5= 8.第四次提速后,出现了“星级列车”.从其中的T14次列车时刻表可知,列车在蚌埠至济南区间段运行过程中的平均速率为______km/h. T14次列车时刻表 停靠站 到达时刻 开车时刻 里程(km) 上海 … 18: 00 0 蚌埠 22: 26 22: 34 484 济南 03: 13 03: 21 966 北京 08: 00 … 1463 [答案]103.66 [解析]运动路程s=960km-484km=482km,运行时间t=4.65h,则平均速率 =103.66km/h.本题属于基础知识的直接应用,以生活为背景,物理方法简单,但处理数据容易出错. 9.如图所示,图A是高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图,测速仪发出并接收超声波脉冲信号.根据发出和接收的信号间的时间差,测出被测物体的速度.图B中P1、P2是测速仪发出的超声波号,n1、n2分别P1,P2由汽车反射回来的信号.设测速仪匀速扫描,P1、P2之间间隔Δt=0.1s,超声波在空气中传播速度是v=340m/s,若汽车是匀速行驶的,则根据图B可知,汽车在接收到P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离是__________m. [解析]设汽车在接收到P1、P2两个信号时距测速仪的距离分别为s1、s2,则有: 2s1-2s2=vΔt′,其中Δt′= Δt=0.1s. 汽车在接收到P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离为: s1-s2= m=17m. 已知测速仪匀速扫描,由图B计录数据可求出汽车前进(s1-s2),这段距离所用时间Δt′′=Δt- s=0.95s,汽车运动速度v= = m/s=17.9m/s. 10.如果甲、乙两列火车相距为d,并分别以v1和v2的速度相向行驶,在两火车间有一信鸽以v3的速率飞翔其间,当这只鸽子以v3的速率遇到火车甲时,立即调头飞向火车乙,遇到火车乙时又立即调头飞向火车甲,如此往返飞行,当火车间距d减为零时,谜只信鸽共飞行了多少路程? [解析]两车相遇的时间即是信鸽飞行的时间t= [答案] 11.若空气阻力f=kv2,试问从高空落下的雨滴,a、v大小如何变化? [解析]由a= 又由mg>f,故v↑ 则a↓,即雨滴a先a↓,v↓后a=0,v不变. 第二节匀变速直线运动的规律 ●高考再现 【题1】一跳水运动员从离水面10m高的平台上向上跃起,举双臂直体离开台面,此时其重心从手到脚全长的中点,跃起后重心升高0.45m达到最高点.落水时身体竖直,手先入水(在此过程中运动水平方向的运动忽略不计).从离开跳台到手触水面,他可用于完成空中运作的时间是_____________s.(计算时,可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点.g取为10m/s2, 结果保留两位数字). [解析]如图所示,可以把运动员简化成一根直棒ab,重心在中点O.把全部质量集中在O点,质点做竖直上抛运动,设上升时间为t1,有h= gt12,下降时间为t2,h+H= gt12,将h=0.45m,H=10m代入,解得t1=0.3s,t2=1.4s,运动员完成空中动作的时间是t=t1+t2=1.7s. ●考点扫描 匀变速直线运动 1.定义: 物体在一条直线上运动,如果在相等时间内通过位移相等. 2.特点: ①相等时间内,速度变化相等; ②a恒定且不等于0 ③v—t图象是一条倾斜直线,v随时间t均匀变化( 恒定) 3.分类: 匀加速直线运动: a与v同向且a恒定不等于0,如: ①② 匀减速直线运动: a与v反向且a恒定不等于0,如③④ 4.常用式: 位移公式: s=v0t+ at2 速度公式: vt=v0+at 推论: vt2-v02=2as ●方法点拨 1.研究匀变速直线运动的一般思路 公式vt=v0+at,s=vot+ at2,vt2-v02=2as是研究匀变速直线运动的最基本的规律, 合理地运用和选择三式中的任意两式是求解运动学问题最常用的基本方法,但是,若巧妙地运用上述要点中各个推论,可能使得求解过程更简捷方便。 (1)平均速度法 定义式 =s/t对任何性质的运动都适用,而 = 只适用于匀变速直线运动。 在匀变速直线运动的题目中,有一类是质点在其中某段时间t内走过位移为s(或某段时间t内的平均速度),要求某一未知物理量的题型,如果巧用“vt/2= ”这一关系式便可以简化解题过程。 (2)利用△s=aT2 在匀变速直线运动中,第n个T时间内的位移和第N个时间内的位移之差sN-sn=(N—n)aT2。 (3)巧选参考 一个物体相对于不同参考系,运动性质一般不同,通过变换参考系,可以将物体的运动简化为容易研究的运动。 (4)“逆向思维”法 逆向过程处理(逆向思维法)是把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法。 如物体做加速运动看成反向的减速运动,物体做减速运动看成反向的加速运动处理,该方法一般用在末状态已知的情况。 2.初速度为零的匀加速直线运动的特点(T为等分的时间间隔) (1)1T末、2T末、3T末……瞬时速度之比为 v1: v2: v3: …: vn=1: 2: 3: …n (2)1T内、2T内、3T内……位移之比为 s1: s2: s3: …: sn=12: 22: 32: …: n2 (3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比为 sⅠ: sⅡ: sⅢ: …: SN=1: 3: 5: …: (2N一1) (4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为 t1: t2: t3: …: tn=1: ( -1): ( - ): …: ( - ) 3.对匀变速直线运动的主要公式的说明 (1)主要公式: ①vt=v0+at②s=v0t+ at2③vt2-v02=2as④s= t (2)说明: ①以上公式只适用于匀变速直线运动。 ②四个公式中只有两个是独立的,即由任意两式可推出另外两式。 四个公式中有五个物理量,而两个独立方程只能解出两个未知量,所以解题时需要三个已知条件,才能有解。 ③式中v0、vt、a、s均为矢量,应用时要规定正方向,凡与正方向相同者取正值,相反者取负值;所求矢量为正值者,表示与正方向相同,为负值者表示与正方向相反。 通常将v0的方向规定为正方向,以v0的位置做初始位置。 ④以上各式给出了匀变速直线运动的普遍规律。 一切匀变速直线运动的差异就在于它们各自的v0、a不完全相同。 例如: a=0时,匀速直线运动,以vo的方向为正方向,a>0时,匀加速直线运动;a<0时,匀减速直线运动;a=g、v0=0时,自由落体运动。 4.追及、相遇问题的分析思路 (1)根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质,列出两个物体的位移方程,并注意两物体运动时间之间的关系。 (2)通过对运动过程的分析,画出简单的图示,找出两物体的运动位移间的关系式。 迫及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同。 (3)寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,在两物体速度相等时有最小距离,等等。 利用这些临界条件常能简化解题过程。 (4)求解此类问题的方法,除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外,还有利用二次函数求极值,二次方程的判别式等数学方法以及应用图象法和应用相对运动的知识求解等方法。 ●典例分析 【例l】一物体做匀变速直线运动,某时刻速度大小为4m/s后速度大小为10m/s。 在这1s内,该物体() ①位移的大小,可能大于10m②位移的大小,可能小于4m③加速度的大小可能大于10m/s2④加速度的大小可能小于4m/s2 A.①②B.②③ C.①③D.①④ [解析]速度是矢量,1s后的速度方向与初速方向可能相同,也可能相反。 若方向相同,则 a= m/s2=6m/s2 s= ×lm=7m 若方向相反,则 a= m/s2=-14m/s2 s= ×lm=-3m (式中负号表示a、s方向与初速方向相反) 所以②③正确。 故选B [答案]B。 【例2】(1999年全国)为了安全,在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离。 已知某高速公路的最高限速v=120km/h。 假设前方车辆突然停止,后车司机从发现这一情况,经操纵刹车,到汽车开始减速所经历的时间(即反应时间)t=0.50s。 刹车时汽车受到阻力的大小Ff为汽车重力的0.40倍。 该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少? 取重力加速度g=10m/s2。 [解析]汽车在司机反应时间内做匀速运动,然后做匀减速直线运动,所求即两种运动的位移和。 在司机反应时间内,汽车做匀速运动,位移 sl=vt① 由牛顿第二定律知汽车刹车的加速度 a=Ff/m=0.4g② 由匀变速直线运动规律知刹车位移 s2=v2/2a③ 所求s=s1+s2④ 解以上四式得s=vt+v2/0.8g代入v=120km/h= m/s=0.5s得s=1.6×102m。 [答案]1.6×10
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