第2章211第1课时归纳推理.docx
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第2章211第1课时归纳推理
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
第1课时 归纳推理
1.了解归纳推理的含义,能用归纳推理进行简单的推理.(重点、难点)
2.体会归纳推理在数学发现中的作用,归纳推理结论的真假.(易错点)
[基础·初探]
教材整理 归纳推理
阅读教材P63~P65“链接”以上部分,完成下列问题.
1.推理
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.
2.归纳推理的特点
(1)归纳推理的定义:
从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理.
(2)归纳推理的思维过程如图:
实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论.
3.归纳推理
(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.
(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验.
(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.
1.判断正误:
(1)由个别到一般的推理为归纳推理.( )
(2)由归纳推理得出的结论一定正确.( )
(3)从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,这种估计属于归纳推理.( )
【答案】
(1)√
(2)× (3)√
2.如图211所示,第n个图形中,小正六边形的个数为______.
图211
【解析】 a1=7,a2=7+5=12,a3=12+5=17,
∴an=7+5(n-1)=5n+2.
【答案】 5n+2
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
_______________________________________________
解惑:
_______________________________________________
疑问2:
_______________________________________________
解惑:
_______________________________________________
疑问3:
_______________________________________________
解惑:
_______________________________________________
[小组合作型]
数与式的归纳
(1)已知=2·,=3·,=4·,=2014·,则=________.
(2)观察下列等式:
1+1=2×1,
(2+1)(2+2)=22×1×3,
(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5,
…
照此规律,第n个等式可为________.
【精彩点拨】 结合数与式子的特征,提炼结论.
【自主解答】
(1)由已知的3个等式知一般式为=(n+1)·.所以m=2014,n=20143-1,所以==1.
(2)(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1).
【答案】
(1)1
(2)(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)
进行数、式中的归纳推理的一般规律
1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律;
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征;
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点;
(4)运用归纳推理得出一般结论.
2.数列中的归纳推理
在数列问题中,常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.
(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和;
(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解;
(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.
[再练一题]
1.
(1)已知数列{an}中,a1=1,an+1=(a∈N*),则可归纳猜想{an}的通项公式为________.
(2)已知<,<,<,…,推测猜想一般性结论为________.
【解析】
(1)由已知得a1=1,a2==,a3===,a4===,…,由此可猜想an=.
(2)每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数,因此可猜测:
<(a,b,m均为正数,且a>b).
【答案】
(1)an=
(2)<(a,b,m均为正数,且a>b)
图形中的归纳推理
(1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图212的规律拼成若干个图案,则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________.
【导学号:
01580031】
图212
(2)根据图213中线段的排列规则,试猜想第8个图形中线段的条数为_____.
① ② ③ ④
图213
【精彩点拨】
(1)观察图案知,每多一块白色地面砖,则多5块黑色地面砖,从而每个图案中白色地面砖的块数,组成首项为6,公差为5的等差数列.
(2)先求出前4个图形中线段的数目,再归纳.
【自主解答】
(1)观察图案知,从第一个图案起,每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6,公差为5的等差数列,从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6+(n-1)×5=5n+1.
(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29,因为1=22-3,5=23-3,13=24-3,29=25-3,因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29-3=509.
【答案】
(1)5n+1
(2)509
归纳推理在图形中的应用策略
通过一组平面或空间图形的变化规律,研究其一般性结论,通常需形状问题数字化,展现数学之间的规律、特征,然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是:
[再练一题]
2.如图214,第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,…),则第n个图形中的顶点个数为________.
图214
【解析】 第一个图形共有12=3×4个顶点,第二个图形共有20=4×5个顶点,第三个图形共有30=5×6个顶点,第四个图形共有42=6×7个顶点,故第n个图形共有(n+2)(n+3)个顶点.
【答案】 (n+2)(n+3)
[探究共研型]
归纳推理在数列中的应用
探究1 数列的通项an与序号n是一种什么关系?
【提示】 是一种对应关系,也是一种特殊的函数关系.
探究2 如何寻求an与n的关系?
【提示】 利用递推式写出数列的前几项化为统一的形式,再观察解决.
已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=.求出a1,a2,a3,a4,并推测an.
【精彩点拨】 由递推关系写出前4项,化为统一形式,观察即可.
【自主解答】 ∵Sn=,∴a1=,∴a=1.
又∵an>0,∴a1=1;
a1+a2=,即1+a2=,∴a2=-1;
a1+a2+a3=,
即+a3=,∴a3=-;
a1+a2+a3+a4=,
∴+a4=,∴a4=2-;
观察可得,an=-.
在求数列的通项与前n项和时,经常用归纳推理得出结论.这就需要在进行归纳推理时要先转化为一个统一的形式,分出变化部分和不变部分,重点分析变化规律与n的关系,往往会较简捷地获得结论.
[再练一题]
3.已知数列{an}中,a2=6,=n.
(1)求a1,a3,a4;
(2)猜想数列{an}的通项公式.
【解】
(1)由a2=6,=1,得a1=1.
由=2,得a3=15.
由=3,得a4=28.
故a1=1,a3=15,a4=28.
(2)由a1=1=1×(2×1-1);a2=6=2×(2×2-1);a3=15=3×(2×3-1);a4=28=4×(2×4-1),
…
猜想an=n(2n-1).
[构建·体系]
1.已知f1(x)=cosx,f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),f4(x)=f3′(x),…,fn(x)=fn-1′(x),则f2014(x)=________.
【解析】 f1(x)=cosx,f2(x)=f1′(x)=-sinx,
f3(x)=f2′(x)=-cosx,f4(x)=f3′(x)=sinx,
f5(x)=f4′(x)=cosx,…再继续下去会重复出现,周期为4,
∴f2014(x)=f2(x)=-sinx.
【答案】 -sinx
2.根据三角恒等变换,可得到如下等式:
cosθ=cosθ;
cos2θ=2cos2θ-1;
cos3θ=4cos3θ-3cosθ;
cos4θ=8cos4θ-8cos2θ+1;
cos5θ=16cos5θ-20cos3θ+5cosθ
依照规律猜想cos6θ=32cos6θ+mcos4θ+ncos2θ-1.
则m+n=________.
【解析】 根据三角恒等变换等式可知,各项系数与常数项的和是1,
即32+m+n-1=1.
∴m+n=-30.
【答案】 -30
3.已知an=n,把数列{an}的各项排成如下的三角形:
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
……
记A(s,t)表示第s行的第t个数,则A(11,12)=________.
【解析】 每行对应的元素个数分别为1,3,5,…,那么第10行最后一个数为a100,则第11行的第12个数为a112,
即A(11,12)=a112=112.
【答案】 112
4.当x>0时,x+≥2=2,
x+=++≥3=3,
x+=+++≥4=4,根据上述不等式,在x>0的条件下,可归纳出一个一般性的不等式为________(直接写结论).
【解析】 根据已知的3个不等式,找出规律知,一般性的不等式为x+≥(n+1)·=n+1.
【答案】 x+≥n+1
5.已知在数列{an}中,a1=,an+1=.
(1)求a2,a3,a4,a5的值;
(2)猜想an.
【解】
(1)a2===,
同理a3==,a4=,a5=.
(2)由a2=,a3=,a4=,a5=,可猜想an=.
我还有这些不足:
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案:
(1)_______________________________________________
(2)_______________________________________________
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- 211 课时 归纳推理
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