等差与等比数列专题复习.docx
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等差与等比数列专题复习
等差与等比数列专题复习
等差与等比数列是最重要且应用广泛的有通项公式的数列,在高考中占有重要地位,成为每年必考的重点内容,这部分内容的基础知识有:
等差、等比数列的定义及通项公式,前几项和公式以及等差、等比数列的性质,在解决有关等差,等比数列问题时,要注意运用方程的思想和函数思想以及整体的观点,培养分析问题与解决问题的能力。
一、知识结构与要点:
等差、等比数列的性质推广
等比数列-
L定义:
且
an
基本概念-
通项
_qan2an1
1an1an
qnm
Sn
前n项和
1等比中项:
abc成等比数列
b2ac
aw(q1)
印(1qn)
ai
L与首末两端等距离的两项之积相等
a1ana2an1
aiani1
—基本性质一
二、典型例题
amanapaq
{an}成等比,若n「n2,…nk成等差贝Va1,an2,...ank
当a10或
q
成等比
a1q1
a10时{an}为递增数列
0q1
0或a10时{an}为递减数列
0q1
q<0时
q=1时
{an}为摆动数列
{an}为常数数列
例1•在等差数列中a6a9a12a1520求S20
解法
ana1
(nl)d
a6a9a12
2(2a119d)
a15
20
(a15d)(a18d)(a111d)(a114d)
2a119d10
那么S20
10(2a119d)100
解法二:
由mn
qamanapaq
a6a9ai2ai52(a6ai5)2(aia2o)20
点评:
在等差数列中,由条件不能具体求出a1和d,但可以求出a1与d的组合式,而所求的量
往往可以用这个组合式表示,那么用“整体代值”的方法将值求出
(2)利用:
mnpqamanapaq将所求量化为已知量也是“整体代值”的思
想,它比用a1和d表示更简捷。
例2.等差数列前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为
解法一用方程的思想,由条件知
...(a1am)m30
\2(aiam)m60①
⑻a2m)2m100(aia2m)m100②
2
ama2ma3m也成等数列
解:
在等差数列中由性质知sms2msmS3ms2m成等差数列
S3mS2m2(S2mSm)SmS3m3(S2mSm)210
解法三等差数列{an}中Sna〔n丄n(n1)d爼a(n1)—
2n2
即{§斗为以a1为首项公差为—的等差数列依题意条件知
n12
m2m3m
2EmS2mSm
2m3mm
S3m3(S2mSm)210
点评:
三种解法从不同角度反映等差数列所具有的特性,运用方程的方法、性质或构造新的等差数列都是数列中解决问题的常用方法且有价值,对解决某些问题极为方便。
例3在等比数列中S593a2a3a4a5a6186求a8
因此
解法一
a2a3
a4
a5a6
186
S5
a6
a1186
a6
a193
a1q5
a193
又S5
a1a1q5
93
a〔a〔
93
93
q2a13
1q
1q
则a8
a1q7384
解法二
S593
而
a2a3
a4a5
a6
(a1
a2a3a4a5)q186
q
2代入a1(1
1
q5)
q
93
中得a〔
3
故a8a1q7384
点评:
根据等比数列定义运用方程的方法解决数列问题常用解法二更为简捷。
例4•在等差数列{an}中S936Sn104等比数列{bn}中
解:
S9
a1a9x
(129)
9
a59
36
a5
4
S13
a1
a13
2
13
a7
13
104
a7
8
b5
b7
a5a7
32
b
)232
4.3
b5a5b7a7贝廿b6
点评:
此题也可以把
ai和d看成两个未知数,通过
S9
例5•设等差数列{an}前n项和为Sn已知a312S120S130
(1)求公差d的范围
(2)指出S1S2……S12中哪一个值最大,并说明理由
解:
(1)由题义有
S13
13a1
由a3
12
a112
2d
(2Sn
a〔n
d<0
所以[n
1(5
24
12(121)d0
2
13(131)d0
则代入上式有
1
n(122d)2n(n
24)]2最小时Sn最大
d
24
1)d
7d0
1-.
62(5T)
6.5
所以当n=6时[n
1
2(5
点评:
本题解法体现了函数思想在处理数列问题中的运用,法与判断函数增减性的方法相同。
例6已知a>0a1数列{an}是首项5元比都为
2a111d
a16d
1
2(5
242
d1242
2[2(5尹
24)]2最小
d
判断数列随
a的等比数列,
数列{bn}中每一项总小于它后面的项,求a的取值范围。
解:
由已知有
anaan1
所以bnanlgan
n.n
alga
bn
因此由题意
对任意n
bn
bn1成立
即nan
a
lg
(n
即anlga[(n
1)an]
对任
N总成立,
那么由a>0
即(i)
由i知a>1
故a的取值范围为
1)an
1)n
s6最大
N增大而变化规律的方
anlgan(nN)如果
n.
nalga
1)an
1a
lg
知an
—为递增的函数
n1
所以「)min
1
a或a>1
2
点评:
这是道数列与不等式综合的题目,既含有字母分类讨论又要运用极限的思想和函数最值
的观点来解决问题,同时还要判断函数
的单调性,具有一定的综合性。
数列求和的基本方法和技巧
数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础•在高考和各种数学竞赛中都占有
重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部
分数列的求和都需要一定的技巧•下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和
的基本方法和技巧.
一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
3、
Sn
n
k
k1
^n(n
2
1)
4、
Sn
n
k2
h(n
1)(2n1)
k1
6
n
3
1
2
5、
Sn
k
[二n(n
1)]
k1
2
xn的前n项和.
123
[例1]已知log3x,求XXx
log23
解:
由log3x
1
log23
log3x
log32
由等比数列求和公式得
Snxx2x3
xn(利用常用公式)
x(1xn)
1x
11
1(1戶
11
2
1
=1—
2n
&
(n32)Sn1
[例2]设S=1+2+3+…+n,n€N,求f(n)
解:
由等差数列求和公式得S
11
丄n(n1),Sn丄51)(n2)(利用常用公式)
22
Sn
…f(门)(n32)Sn1
n
~2~
n34n
64n
1_
64二
34(.,n
n
丄
25050
n=8时,
f(n)max
1
50
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前
项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列
{an•bn}的前n项和,
其中
}分别是等差数列和等比数列
[例3]求和:
Sn1
3x
5x2
7x3
(2n1)xn1
解:
由题可知,
{(2n
1)xn
1}的通项是等差数列{2n—1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积
设xSn1x
3x25x37x4
(2n
1)xn
.②(设制错位)
①一②得(1
x)Sn12x
2x2
2x3
2x4
2xn1
(2n
1)xn(错位相减)
再利用等比数列的求和公式得:
(1
X)Sn
n1
1x
2x-
1x
(2n
1)xn
Sn
n1
(2n1)x
1)xn
(1x)2
(2n
(1
x)
[例4]求数列-
2
46
22,23,
尹前n项的和.
解:
由题可知,{军}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列
2n
}的通项之积
设Sn
2n
2n
(设制错位)
①一②得(1
;)Sn2
22
22
2223
_2_
24
第
_2
2n
页共17页
(错位相减)
2【iI
12n
2
n1n1
22
2n
、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再
把它与原数列相加,就可以得到n个(印an).
[例5]求证:
C3C:
5C;
(2n1)C:
(n1)2
n
证明:
设Sn
c:
3C:
5Cn2(2n
1)C;••…
•…①
把①式右边倒转过来得
Sn
(2n
1)C;
(2n1)Cnn1
3C:
Co(反序)
又由cmc
1m可得
Sn(2n
1)C°(2n
1)C;
n1n
3Cncn
……..②
①+②得
2Sn
(2n
2)(C:
c:
c:
1c:
)
2(n1)2n
(反序相加)
Sn(n1)
2n
[例6]求sin
21sin
22
sin23
sin288
sin89
的值
解:
设Ssin21sin22sin23
sin288sin289…①
将①式右边反序得
22
Ssin89sin88
non、、,
sin3sin2sin1…②(反序)
222
2S(sin1cos1)(sin2
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可
111
[例7]求数列的前n项和:
11,4,—7,,十3n2,
aaa
11
解:
设Sn(11)(—4)(飞7)
aa
1
(F3n2)将其每一项拆开再重新组合
a
111
Sn(1--2―)(1473n2)(分组)
aaa
当a=1时,Snn(3n1)n=(3n1)n(分组求和)
2
2
当a
1!
1时,Sn即
1-a
(3n1)n
1naa
(3n1)n
2
—a1
2
[例8]
求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n
项和.
解:
设akk(k
1)(2k1)
2k33k2
k
n
Snk(k1)(2k1)=
k1
n
(2k33k2k)
k1
将其每一项拆开再重新组合得
s=
nnn
2k33k2k
(分组
)
——
k1k1k1
33
2(12
n3)3(1222n2)(12
n)
=
n2(n1)2
n(n1)(2n1)n(n1)(分组求和)
n(n1)2(n2)
2
22
2
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用•裂项法的实质是将数列中的每项(通项)
通项分解(裂项)如:
分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的
sin1
(2)
cosncos(n1)
(3)an
1-1
n(n1)nn1
(2n)21丄(丄丄
(2n1)(2n1)22n12n1
(5)an
11]n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
an
n2
n(n1)
2(n1)n1
n
n(n
1)2
1,则S"1儿
(n1)2n
[例9]
1
求数列1,,
1223
的前
n项和.
解:
Sn
an
(2.J)
■/n
(裂项)
(裂项求和)
(.3,2)
C.n
•n)=
、n1
10]在数列{an}中,an
,又bn
,求数列{bn}的前n
项的和.
解:
tan
•••bn
数列{bn}的前n项和
anan1
(裂项)
Sn8[(1
1111
2)1)(1
(丄
n
[例11]求证:
解:
设S
cosOcos1
cos1cos2
cosOcos1
cos1cos2
sin1
由
cosncos(n
1)
tan(n1)
•S
cos0cos1
cos1cos2
1
{(tan1tan0)(tan2sin1
1)]
(裂项求和)
1
8(1冷
8n
n1
cos88cos89
cos1
sin21
cos88cos89
tann
(裂项)
cos88cos89
(裂项求和)
tan1)(tan3tan2)
[tan89tan88]}
sin1
(tan89
tanO)=
sin1
cosl
cotl=2—
sin1
原等式成立
六、合并法求和
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求S.
[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+•…+cos178°+cos179°的值.解:
设Sn=cos1°+cos2°+cos3°+•…+cos178°+cos179°
•••cosncos(180n)(找特殊性质项)
•S=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+(cos3°+cos177°)+•••+(cos89°+cos91°)
+cos90°(合并求和)=0
解:
设
S2002=
a1
a2
a3
a:
2002
由a1
1,a2
3,a3
2,an
2
an1an可得
a4
1,a5
3,a6
2,
a7
1,a83,a92,aw1,an
3,a12
2
a6k1
1,
a6k2
3,a
6k3
2,a6k4
1,a6k53,a6k6
2
'a6k
1a6k
2
a6k3
a6k4
a(
5k5a6k60
(找特殊性质项)
•-Se002=
=a1
a2
a3
a2002
(合并求和)
=(a-i
a2
a3
a6
)(a7
a8
a12)
(a6k1a6k2a6k
6)
[例13]数列{an}:
a11,a2
3,a32,a.2a.1a*,求S2002.
(a1993a1994
a1998)a1999a2000
a2001a2002
=a1999a2000a2001a2002
由等比数列的性质mnpqamanapaq(找特殊性质项)
和对数的运算性质logaMlogaNlogaMN得
Sn(log3a1
log3a10)
(log3a2
log3a9)(log3a5log3a6)
(合并求和)
=(log3a1a10)
(log3a2
a9)
(log3a5a6)
=log39log39log39
=10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭
9n)
(裂项)
=4(池
(n
1)(an
an
1111
1)4(1')8('')(分组、裂项求和)
n1
n1n2n4n1n3n4
,1
1、c
1
13
=4(-
—)8
3
4
4
3
等差与等比数列
1(北京)已知数列{an}中,ai
11
2,Sn为数列的前n项和,且Sn与二的一个等比中项为
n(nN'),则limSn的值为()
n
/八332
(A)(B)(C)(D)1
423
2(黄冈)在等差数列{an}中,a1+a2+
+a50=200,a51+a52+…+a1oo=2700,贝Va1等于(
(A)—1221(B)—21.5(C)—20.5
(D)—20
1
2an(0an—)6
3(合肥)
数列a
n满足an
…、6
一、5
3
(A)-
(B)-
(C)3
7
7
7
4(北京)
在数列
{an}中,
(A)0
(B)1
i2若3i-,贝Ua8()
17
—an1(an1)
—
1
(D)-
7
—
a11,an1an1,则此数列前4项之和为()
(C)—(D)-—
5(天津)在等差数列{an}中,n—,公差d<0,前n项和是Sn,则有()
(A)nanSnnaj(B)najSnnan(C)Snnaj(D)Snnan
1
6(北京)等差数列{an}中,已知a1,a—+a5=4,an=33,贝Un为()
3
A、48B、
49C、50
D、51
7、如果数列
满足
是首项为1,公比为—的等
比数列,则
。
8、已知数
则
的值依次是
=
9、若数列
满足
且
则
的值为
。
10、(天津)设数列{—}是等差数列,且a—a4+a4a6+a6a—=1,a—a4a6-,则a10=
an6
1
11、在等差数列{an}中,a1=—,第10项开始比1大,则公差d的取值范围是.
—5
12、(本题满分14分)
—
已知函数f(x)=—3x+3,x€[―,1]
3
(1)求f(x)的反函数y=g(x);
⑵在数列{an}中,a1=1,a—=g(a”,a3=g(a—),…an=g(an—1)
3
求证:
数列{an4}是等比数列.
(3)解关于n的不等式:
an-
9
13、本小题满分12分)
2
已知数列an的首项aia(a是常数),an2an1n4n2(nN,n2).
(i)an是否可能是等差数列•若可能,求出an的通项公式;若不可能,说明理由;
(n)设bib,bnann2(nN,n2),&为数列bn的前n项和,且&是等比
数列,求实数a、b满足的条件.
等差与等比数列答案
1.D
2.C
3.B4.A
5.A
6.C
7.8.
1
19.10210.
5
8
3
11.
〈〈 75 25 12、 (1)解: 因为函数 f(x)=- 3x+3, 2 x[2,1]的值域是[0,1] 3 所以f(X)的反函数为 g(x)=1 X x [0,1] 3分 3 (2)解: 依题意得an 所以a (3)an 1 g(an1)(3)an11 3) J(1 an1 an 即— 3 an1 4 (n2,nN) 根据等比数列的定义得: 数列 {an 31 4}是公式为的等比数列 所以 所以 3 4 3 4 1 4( 3)(l)n1 4)(3) 1、n1 3) (n 所以 lim n an 3) 11 4(3) N) 1(nN) 31,1n1 nim[(-)] n443 11分 1) 1 27 显然当n是偶数时,此不等式不成立; 当n是奇数时,($n丄(! ) 3273 n=1或n=3•… 丄 27 (3)n27 所以原不等式的解为 14分 13.解: (I)v a1 a,依an2an1 n24n2(n2,3, 2a4 2a2 a3 2a29122 4a 5a42a3 8a8 2a a2,a3 a2 2a3,a4a3 4a 是等差数列,则 a3 a2,得a1但由 a3 a2 a4a3, 得a=0,矛盾. 二{a*}不可能是等差数列 22 (n)•/bnann/.bn1an1(n1)2an (n1)2 4(n1) 2 2(n1) 2 2an2n2bn(n>2) 二b2a2 42a2 当-1时, bn0{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列 Snb1(2a2)(灯°b(2a2)(2m1)8分 (a1)2nb2a22b2a2 (a1)2n1__b2a2(a1)
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